2023-2024学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）第一次月考数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,5}，集合B={1,3,4,6}，则集合A∩∁UB=( )
A. {3}B. {2,5}C. {1,4,6}D. {2,3,5}
2.已知函数f(x)= 2x−1−2,x≤1 −lg2(x+1),x>1，且f(a)=−3，则f(6−a)=( )
A. −74B. −54C. −34D. −14
3.在△ABC中“AB=BC”是“△ABC为等腰三角形”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设a=lg310，b=20.3，c=0.80.3，则( )
A. c5.已知cs(α+π4)=35，且α∈(0,π4)，则cs(π2−α)等于( )
A. 6− 210B. 6+ 210C. 45D. 210
6.函数f(x)=lg0.5|x|2x+2−x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4A. {m|−13}
C. {m|−44}
8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1：4，则tanα=( )
A. 4− 73
B. 4+ 73
C. 4+ 75
D. 4− 75
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知2A. 410.已知正实数a，b满足lg3a−lg3b<(13)a−(13)b，则下列结论正确的是( )
A. a0
11.已知m为整数，若函数f(x)=sinx+csx+1−sin2x−m2在[3π4,5π4]上有零点，则满足题意的m可以是下列哪些数( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
12.已知f(x)，g(x)是定义在[t,+∞)上的增函数，f(t)=g(t)=M，若对任意k>M，∃x1A. g(x)=2x−1B. g(x)=12x2+12C. g(x)=(32)x−1D. g(x)=2−1x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs75°⋅cs15°= ______．
14.已知函数y=lga(x+3)−89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则b=______．
15.已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，则实数a的取值范围为______．
16.函数f(x)=ex−e−xex+e−x+2，若有f(a)+f(a−2)>4，则a的范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)4(π−134)4+(1649)−12+(−8)23+80.25×42+3(π−2)3；
(2)9lg32+lg52lg510+lg5lg2+(lg5)2．
18.(本小题12分)
已知α，β∈(0,π2)，csα=35，csβ=513．
(1)求sin(π2−α)+cs(3π2−α)sin(3π+α)+cs(π−α)的值；
(2)求sin(α+β)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg2x)2−lg2x−2．
(1)若f(x)<0，求x的取值范围；
(2)当14≤x≤8时，求函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为R(x)万元，且R(x)=100−kx,020.当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出k的值，并写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式及对称中心；
(2)先将函数f(x)的图象上点的纵坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[π12,3π4]上的值域．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)定义域为R，且函数f(x)同时满足下列3个条件：
①对任意的实数x，y，f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成立；
②当x>0时，f(x)<−2；
③f(1)=−3．
(1)求f(0)及f(−1)的值；
(2)求证：函数y=f(x)+2既是R上的奇函数，同时又是R上的减函数；
(3)若f(12t2)−2f(3t2−1)>2，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交、并、补的混合运算，属于基础题．
求出集合B的补集，然后求解交集即可．
【解答】
解：全集U={1,2,3,4,5,6}，集合B={1,3,4,6}，∁UB={2,5}，
又集合A={2,3,5}，
则集合A∩∁UB={2,5}．
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数求值，考查学生的计算能力．
利用分段函数，求出a，再求f(6−a)．
【解答】
解：由题意，a≤1时，2a−1−2=−3，无解；
a>1时，−lg2(a+1)=−3，∴a=7，
∴f(6−a)=f(−1)=2−1−1−2=−74．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：①当AB=BC时，△ABC为等腰三角形，∴充分性成立，
②当△ABC为等腰三角形时，
则AB=BC或AC=BC或AB=AC，∴必要性不成立，
∴AB=BC是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件．
故选：C．
利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵a=lg310>lg39=2，1=200∴c故选：A．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵α∈(0,π4)，∴α+π4∈(π4,π2)，又cs(α+π4)=35，∴sin(α+π4)=45，
∴cs(π2−α)=sinα=sin[(α+π4)−π4]=sin(α+π4)csπ4−cs(α+π4)sinπ4
=45× 22−35× 22= 210．
故选：D．
由cs(α+π4)求出sin(α+π4)，再由cs(π2−α)=sinα=sin[(α+π4)−π4]，利用两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和差公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，因为f(x)=lg0.5|x|2x+2−x的定义域为{x|x≠0}，
则f(−x)=lg0.5|−x|2−x+2x=f(x)，所以f(x)为偶函数，
所以排除C、D；
当x∈(0,1)时，lg0.5|x|>0,2x+2−x>0，
所以f(x)=lg0.5|x|2x+2−x>0，排除A．
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除C、D，再分析函数的值域，排除A，即可得出答案．
本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值的判断，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵x>0，y>0，且1x+4y=1，
∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+4xy+y4x≥2+2 4xy⋅y4x=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时，等号成立，
∴x+y4的最小值为4，
∵不等式x+y44，
解得m<−1或m>4，
即实数m的取值范围是{m|m<−1或m>4}，
故选：D．
由题意可知x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+4xy+y4x，利用基本不等式求出x+y4的最小值为4，所以m2−3m>4，从而解出m的取值范围．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了不等式能成立问题，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为a(csα−sinα)，
故a2(csα−sinα)2a2=14，
即1−2sinαcsα=14，sinαcsα=38，sinαcsαsin2α+cs2α=38，即tanαtan2α+1=38，
即3tan2α−8tanα+3=0，解得tanα=4− 73或4+ 73．
因为0°<α<45°，则0故选：A．
设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为a(csα−sinα)，根据已知可得a2(csα−sinα)2a2=14，由同角三角函数关系化简得3tan2α−8tanα+3=0，结合角的范围求tanα．
本题考查三角形的几何计算，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：2则2<2b<6，4−3<−b<−1，则−1213<1b<1，则23故选：AC．
根据已知条件，结合不等式的可加性，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的可加性，以及不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵正实数a，b满足lg3a−lg3b<(13)a−(13)b，∴lg3a−3−a令f(x)=lg3x−3−x，则f(a)=lg3a−2−a，f(b)=lg3b−3−b，
则f(a)∵函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，故由f(a)∴1a>1b，故B错误；
∵a−b<0，∴2a−b<20=1，故C正确；
取a=1，b=2，满足b−a>0，此时ln(b−a)=0，故D错误．
故选：AC．
由题意利用对数函数与指数函数的单调性判断0本题主要考查函数单调性的判断与性质，考查不等式的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：函数f(x)=sinx+csx+1−sin2x−m2在[3π4,5π4]上有零点，
即12m=sinx+csx+1−2sinxcsx，
令t=sinx+csx，则t2=1+2sinxcsx，
因为3π4≤x≤5π4，π≤x+π4≤3π2，−1≤sin(x+π4)≤0，
所以t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2,0]，
所以12m=sinx+csx+1−2sinxcsx=−t2+t+2在[− 2,0]上有零点，
结合二次函数的性质可知y=−t2+t+2在[− 2,0]上单调递增，且t=− 2时，函数值为− 2，t=0时，函数值为2，
所以− 2≤m2≤2，
所以−2 2≤m≤4．
故选：ABC．
由题意得12m=sinx+csx+1−2sinxcsx在[3π4,5π4]上有零点，考虑换元t=sinx+csx，然后结合同角平方关系，二倍角公式，进行化简，再由二次函数性质可求．
本题以函数的零点为载体，主要考查了同角平方关系，二倍角公式的应用，还考查了辅助角公式，正弦函数的性质，二次函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：∵f(x)=x2为[1,+∞)上的增函数，f(1)=1=M，值域为[1,+∞)，
∴对任意k>1，∃x1∴g(x)值域为[1,+∞)，在(1,+∞)上f(x)的图像在g(x)的图像的上方，
选项A：g(x)=2x−1在[1,+∞)上的值域为[1,+∞)，x2−(2x−1)=(x−1)2≥0，定义域上当x=1时等号成立，
则在(1,+∞)上f(x)的图像在g(x)的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项B：g(x)=12x2+12在[1,+∞)上的值域为[1,+∞)x2−(12x2+12)=12(x2−1)≥0，定义域上当x=1时等号成立，
则在(1,+∞)上f(x)的图像在g(x)的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项C：g(21)=(32)21−1=(32)20=[(32)10]2=f[(32)10]，
但(32)10=81×81×932×32>21，即f(x1)=g(x2)=(32)20时，x1>x2，
则g(x)不是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”.判断错误；
选项D：g(x)=2−1x在[1,+∞)上的值域为[1,2)，
则k=3时，不存在x1则g(x)不是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”.判断错误．
故选：AB．
g(x)是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”，则在(1,+∞)上f(x)的图像在g(x)的图像的上方，进而判断选项AB；举反例否定选项CD．
本题考查新定义，函数的性质，恒成立问题，数形转化思想，属中档题．
13.【答案】14
【解析】解：cs75°⋅cs15°=cs75°⋅sin75°=2sin150°=14
故答案为：14
先利用诱导公式把cs15°转化成sin75°，进而利用二倍角公式整理求得答案．
本题主要考查了二倍角的正弦公式．考查了学生对基础知识的把握和理解．属基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：由题意函数y=lga(x+3)−89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，故得A(−2,−89)，
又点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，
∴−89=3−2+b，解得b=−1
故答案为：−1
由对数函数的性质知y=lga(x+3)−89过定点(−2,−89)，此点也在函数f(x)=3x+b的图象上，代入其解析式即可求得b
本题考查对数函数的性质与图象，解题的关键是根据对数函数的图象一定过定点(1,0)的性质求出本题的函数的图象过的定点A的坐标，再依题意代入，求得b，本题是性质考查题，基本，很典型．
15.【答案】{a|a<3}
【解析】解：因为集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}，
如果命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，
则任意m∈R，A∩B=⌀”为真命题，
当a<0时，A=⌀符合题意；
当a≥0时，因为m2+3≥3，
所以0≤a<3，
综上a的取值范围为{a|a<3}．
故答案为：{a|a<3}．
如果命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，则任意m∈R，A∩B=⌀”为真命题，然后结合集合的交集运算可求．
本题以命题真假为载体，主要考查了集合的包含关系，属于中档题．
16.【答案】(1,+∞)
【解析】解：令函数g(x)=ex−e−xex+e−x，满足g(−x)=−g(x)，
可知：函数g(x)为奇函数，
故f(a)+f(a−2)>4，可化为：g(a)+g(a−2)>0，
即g(a)>−g(a−2)=g(2−a)，
又由g(x)=ex−e−xex+e−x=1−2e−xex+e−x=1−2e2x+1为增函数，
故a>2−a，
解得：a∈(1,+∞)，
故答案为：(1,+∞)．
令函数g(x)=ex−e−xex+e−x，分析函数的单调性和奇偶性，可得f(a)+f(a−2)>4，即a>2−a，可得答案．
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．
17.【答案】解：(1)4(π−134)4+(1649)−12+(−8)23+80.25×42+3(π−2)3=|π−134|+[(47)2]−12+[(−2)3]23+(23)14×214+(π−2)33=134−π+(47)−1+(−2)2+234×214+(π−2)=134+74+4=9；
(2)9lg32+lg52lg510+lg5lg2+(lg5)2=32lg32+lg2+lg5lg2+(lg5)2=4+lg2+lg5lg2+(lg5)2=4+lg2+lg5(lg2+lg5)=4+lg2+lg5=4+1=5．
【解析】(1)根据指数幂的运算法则运算求解即可；
(2)根据对数运算法则运算求解即可．
本题考查指数幂以及对数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵α∈(0,π2)，csα=35，
∴sinα= 1−cs2α=45，
∴sin(π2−α)+cs(3π2−α)sin(3π+α)+cs(π−α)=csα−sinα−sinα−csα=35−45−45−35=17；
(2)∵β∈(0,π2)，csβ=513，
∴sinβ= 1−cs2β=1213，又csα=35，sinα=45，
∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=45×513+35×1213=5665．
【解析】(1)利用同角三角函数间的关系式及诱导公式可求得sin(π2−α)+cs(3π2−α)sin(3π+α)+cs(π−α)的值；
(2)结合题意，利用两角和的正弦可求得sin(α+β)的值．
本题考查了同角三角函数间的关系式及诱导公式、两角和的正弦的应用，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：令lg2x=t，t∈R，f(x)可转化为y=t2−t−2，
则f(x)≤0即t2−t−2≤0，解得−1≤t≤2，
所以−1≤lg2x≤2，解得12≤x≤4，
所以x∈[12,4]．
(2)当14≤x≤8时，−2≤t≤3，
因为y=t2−t−2，且当t=12，y=t2−t−2有最小值−94，即函数f(x)有最小值−94；
当t=−2或3时，y=t2−t−2有最大值4，即函数f(x)有最大值4；
所以f(x)的值域为[−94,4]．
【解析】本题主要考查了二次函数与对数函数性质的应用，属于基础题．
(1)令lg2x=t，然后结合二次函数的性质即可求解；
(2)当14≤x≤8时，−2≤t≤3，然后结合二次函数的性质即可求解．
20.【答案】解：(1)由题意可得W(x)=xR(x)−20x−50，
当x=5时，R(5)=100−5k，
所以W(5)=5R(5)−20×5−50=500−25k−150=300，解得k=2．
所以W(x)=xR(x)−20x−50=−2x2+80x−50,020.
(2)当0所以当x=20时，W(x)取得最大值750万元；
当x>20时，W(x)=2050−20x−18000x=2050−20(x+900x)≤2050−20×2 x⋅900x=850，
当且仅当x=900x，即x=30时，等号成立，此时W(x)取得最大值850万元，
因为850>750，
所以年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【解析】(1)根据利润的定义，结合所给函数R(x)的含义即可求解，
(2)利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解．
本题考查了分段函数在实际中的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
21.【答案】解(1)根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象，
可得A=2，34⋅2πω=5π12+π3，所以ω=2，
由2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，|φ|<π，得φ=−π3，
所以函数f(x)=2sin(2x−π3)．
令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=π6+kπ2，k∈Z，故函数f(x)的对称中心为(π6+kπ2,0)，k∈Z．
(2)先将函数f(x)的图象上点的纵坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位长度，
即可得到函数y=g(x)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cs2x的图象，
所以g(x)=−cs2x，
由x∈[π12,3π4]，可得2x∈[π6,3π2]，x=π2时，g(x)max=1；
当2x=π6，即x=π12时，g(x)取得最小值，即g(x)min=− 32．
综上，函数y=g(x)的值域为[− 32,1]．
【解析】(1)根据零点、最高点的坐标，结合图象求出A、最小正周期、ω的值，根据五点法作图可求得φ=−π3，可得f(x)的解析式，令f(x)=0求出对称中心的坐标．
(2)根据图像变换的规律即可求出g(x)的解析式，进而利用余弦函数的单调性即可求出函数的值域．
本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及余弦函数的单调性，考查了数形结合思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)对于条件①：令x=y=0，则f(0)=2f(0)+2，解得f(0)=−2，
令x=1，y=−1，则f(0)=f(1)+f(−1)+2，又f(1)=−3，解得f(−1)=−1；
(2)证明：由(1)得f(0)=−2，
令y=g(x)=f(x)+2，则g(0)=f(0)+2=0，
则对于任意的实数x，则g(x)+g(−x)=f(x)+2+f(−x)+2=f(x)+f(−x)+2+2=f(x−x)+2=f(0)+2=0，
∴g(−x)=−g(x)，
∴函数y=f(x)+2既是R上的奇函数，
对于任意实数x1，x2，且x1>x2，则x1−x2>0，
由条件②得f(x1−x2)<−2，则g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)∴函数y=f(x)+2是R上的减函数；
(3)对于条件①：令x=y，则f(2x)=2f(x)+2，
∴f(3t−2)=2f(3t2−1)+2，
f(12t2)−2f(3t2−1)>2，转化为f(12t2)>f(3t−2)，
∴f(12t2)+2>f(3t−2)+2，即g(12t2)>g(3t−2)，
由(2)得g(x)在R上单调递减，
∴12t2<3t−2，解得3− 5故实数t的取值范围为(3− 5,3+ 5).
【解析】(1)根据条件①，利用赋值法，即可得出答案；
(2)由(1)得f(0)=−2，令y=g(x)=f(x)+2，则g(0)=f(0)+2=0，根据奇函数的性质和条件①可得g(x)+g(−x)=0，利用单调性的定义，即可证明结论；
(3)令x=y，则f(2x)=2f(x)+2，则f(3t−2)=2f(3t2−1)+2，题意转化为f(12t2)>f(3t−2)，结合(2)的结论，可得关于t的不等式12t2<3t−2，求解即可得出答案．
本题考查抽象函数的应用，考查转化思想和函数思想，考查赋值法和构造法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．