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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题09 三角函数与解三角形小题 （拔高版）
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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题09 三角函数与解三角形小题拔高练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在中，“是钝角三角形”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可.
【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件，
为钝角时，，
由于则，满足条件，所以是充分条件.
时，当时，或为钝角，为钝角三角形.
当时，或，无解，
当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.
故选：A.
2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用二倍角正余弦公式可得，再由二倍角正切公式求即可.
【详解】由，
又.
故选：C
3．（2023·广东梅州·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将改写成的形式，利用诱导公式和二倍角公式即可求得结果.
【详解】由可得，
，
由二倍角公式可得；
即
故选：A
4．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用图象变换结论求出函数的解析式，转化条件关系可得，
再求函数的值域，并根据包含关系验证的取值，确定结论.
【详解】函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象，
因为对于任意的，总存在，使得，
所以，
又当时，，，
所以，即，
所以，
因为，所以，
当时，，，故A不合题意．
当时，，取不到最大值1，故B不合题意．
当时，，，故C符合题意．
当时，，，故D不合题意．
故选：C.
6．（2023·湖南常德·统考一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），
结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.
【详解】由题意得：，
又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，
所以，则（），
函数 在上单调递增，则函数的周期，
解得，则，，
故选：A.
7．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．函数在上有两个极值点
D．方程在上有3个解
【答案】D
【分析】由题可得，.
A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；
B选项，由在上的单调性可判断选项；
C选项，由在上的极值点可判断选项；
D选项，验证在上是否有3个解可判断选项.
【详解】由题.
的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.
A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；
B选项，时，，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.
C选项，时，.令，
因，，则函数在上有两个极值点，故C正确；
D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.
故选：D
8．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10° ≈ 0.985）
A．49.25 mB．50.76 m
C．56.74 mD．58.60 m
【答案】B
【分析】根据三角函数可得，利用求解即可.
【详解】如图，
设球的半径为
，
，
，
故选：B
9．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在区间上是减函数，对进行分类讨论，再分别解之即可.
【详解】函数是区间上的减函数，则
①当时，则，则由得，故，则无解.
②当时，则，则由得，故 ，则有.
综上①②知：.
故选：B
10．（2023·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解.
【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以，
整理可得，
由此可推断出也可构成以下正三角形，
所以，
整理可得，
所以
故选：B
11．（2023·广东广州·统考一模）已知为第一象限角.，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答.
【详解】因为为第一象限角，，则，，
，即，解得，，
所以.
故选：D
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由整体法结合正弦函数性质即可列式求解.
【详解】当时，，
∵在上单调递增，∴，∴，即，
∴，，，
则由得：，解得：.
当时，满足题要求.
故选：D
13．（2023·江苏南通·二模）记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C
二、多选题
14．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增
B．若，则
C．函数的图象可以由向右平移个单位得到
D．若函数在上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；
令，则或，即或，
由，则或，，即或，故选项正确；
向右平移个单位变为故选项错误；
对于，，
在上恰有两个极大值点，即，
即，故选项正确.
故选：
15．（2023·江苏·统考一模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B．若，则当时，的取值范围为
C．若在区间上恰有3个极大值点，则
D．若在区间上单调递减，则
【答案】BC
【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得
对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；
对于B，，，则，，所以，B正确；
对C，由可得，
由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；
对于D，，则，
因为单调递减，
所以，，且即，
解得，，且，
当时，，当时，，D错误.
故选：BC.
16．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ）
A．T可能取
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则
【答案】BCD
【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．
【详解】由图可知，，即，而，所以，
又，所以，即，，
所以．
对A，若，则，，显然，无整数解，错误；
对B，由可得，，因为，所以，
故有解，即在上至少有3个零点，正确；
对C，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，
即，，又，，所以，，符合，正确；
对D，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，，解得：，而，，所以，当时，符合，正确．
故选：BCD．
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的值域为
C．
D．曲线在处的切线斜率为
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象，先求函数的解析式，利用代入法分别判断函数的单调性和值域，即可判断AB；
根据对称性，得，消元后，利用利用，即可判断C；
利用导数的几何意义，求切线的斜率，即可判断D.
【详解】由，即，
而，所以，
由，得（五点法），
所以，则．
对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确；
对于B，当时，，所以，
所以函数在上的值域为，所以B错误；
对于C，令得，由三角函数图象的对称性得，
所以
，所以C正确；
对于D，，则，所以D错误．
故选：AC．
18．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a，都不是偶函数B．存在a，使是奇函数
C．存在a，使D．若的图像关于对称，则
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，其中，，
对于A，要使为偶函数，则，且，即对任意的a，都不是偶函数，故正确；
对于B，要使为奇函数，则，且，即不存在a，使是奇函数，故正确；
对于C，因为，故错误；
对于D，若的图像关于对称，则，，
解得，且，所以，即，故正确.
故选：AD
19．（2023·湖南郴州·统考三模）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.
【详解】由题设，在上，若，
所以在上有5个零点，则，解得，D正确；
在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；
且，故不为0，A错误；
在上，则，故递增，即在上递增，C正确.
故选：CD
20．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．函数在有且仅有2个极值点
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，
所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；
对于D，依题意，，
则
，因此，D正确.
故选：ABD
21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选：ACD．
22．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．的周期为
B．为奇函数
C．的图象关于点对称
D．当时，的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.
【详解】函数，
对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；
对于B选项：函数的定义域为，，
则函数是上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：，
即函数，
对于C选项：令（），解得：（），
当时，，此时，
即函数的图象关于点对称，所以C选项正确；
对于D选项：当时，，
由余弦函数的图象和性质得：，即，
所以D选项错误；
故选：AC.
23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上有且仅有四个零点
【答案】BD
【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
三、填空题
24．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______.
【答案】1或
【分析】由正弦定理结合题设推得，利用条件解方程可得答案.
【详解】在中，由正弦定理得,
而，故，结合可得,
即有，
由，可得，
整理得，解得或，
故或，符合题意，
故答案为：1或
25．（2023·浙江·模拟预测）已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．
【答案】7
【分析】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，当取到最大值时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】，∴直线为图象的对称轴，
，的对称中心为，
，
，
．
又在上单调，．
，，
又，
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上单调，
则正整数的最大值为7．
故答案为：7.
26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.
【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，
又 ，∴ ，令 ，
则 在 的函数图像如下：
所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，
对于 ，即 ，
对于函数，在 时 的值域是 ， ，
对于 ，即 ，
对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；
故答案为： .
27．（2023·山东济南·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由，结合正弦型函数值域可确定整体所处范围，进而解不等式求得结果.
【详解】当时，，
在上的值域为，，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，则___________.
【答案】
【分析】根据已知等式平方后相加可得，即，根据已知角度范围即可得，从而可得，，再根据诱导公式转化即可得所求.
【详解】等式，
两边同时平方得，，
两式相加，得，，整理得，即，
因为，所以，得，
代入，得，即，则，
则.
故答案为：.
29．（2023·湖南张家界·统考二模）已知为锐角，，则__________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解.
【详解】因为
，
所以，
又因为为锐角，
所以.
故答案为：
30．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
∵，且，则为的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题09 三角函数与解三角形小题拔高练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在中，“是钝角三角形”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可.
【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件，
为钝角时，，
由于则，满足条件，所以是充分条件.
时，当时，或为钝角，为钝角三角形.
当时，或，无解，
当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.
故选：A.
2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用二倍角正余弦公式可得，再由二倍角正切公式求即可.
【详解】由，
又.
故选：C
3．（2023·广东梅州·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将改写成的形式，利用诱导公式和二倍角公式即可求得结果.
【详解】由可得，
，
由二倍角公式可得；
即
故选：A
4．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用图象变换结论求出函数的解析式，转化条件关系可得，
再求函数的值域，并根据包含关系验证的取值，确定结论.
【详解】函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象，
因为对于任意的，总存在，使得，
所以，
又当时，，，
所以，即，
所以，
因为，所以，
当时，，，故A不合题意．
当时，，取不到最大值1，故B不合题意．
当时，，，故C符合题意．
当时，，，故D不合题意．
故选：C.
6．（2023·湖南常德·统考一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），
结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.
【详解】由题意得：，
又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，
所以，则（），
函数 在上单调递增，则函数的周期，
解得，则，，
故选：A.
7．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．函数在上有两个极值点
D．方程在上有3个解
【答案】D
【分析】由题可得，.
A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；
B选项，由在上的单调性可判断选项；
C选项，由在上的极值点可判断选项；
D选项，验证在上是否有3个解可判断选项.
【详解】由题.
的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.
A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；
B选项，时，，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.
C选项，时，.令，
因，，则函数在上有两个极值点，故C正确；
D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.
故选：D
8．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10° ≈ 0.985）
A．49.25 mB．50.76 m
C．56.74 mD．58.60 m
【答案】B
【分析】根据三角函数可得，利用求解即可.
【详解】如图，
设球的半径为
，
，
，
故选：B
9．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在区间上是减函数，对进行分类讨论，再分别解之即可.
【详解】函数是区间上的减函数，则
①当时，则，则由得，故，则无解.
②当时，则，则由得，故 ，则有.
综上①②知：.
故选：B
10．（2023·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解.
【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以，
整理可得，
由此可推断出也可构成以下正三角形，
所以，
整理可得，
所以
故选：B
11．（2023·广东广州·统考一模）已知为第一象限角.，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答.
【详解】因为为第一象限角，，则，，
，即，解得，，
所以.
故选：D
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由整体法结合正弦函数性质即可列式求解.
【详解】当时，，
∵在上单调递增，∴，∴，即，
∴，，，
则由得：，解得：.
当时，满足题要求.
故选：D
13．（2023·江苏南通·二模）记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C
二、多选题
14．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增
B．若，则
C．函数的图象可以由向右平移个单位得到
D．若函数在上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；
令，则或，即或，
由，则或，，即或，故选项正确；
向右平移个单位变为故选项错误；
对于，，
在上恰有两个极大值点，即，
即，故选项正确.
故选：
15．（2023·江苏·统考一模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B．若，则当时，的取值范围为
C．若在区间上恰有3个极大值点，则
D．若在区间上单调递减，则
【答案】BC
【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得
对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；
对于B，，，则，，所以，B正确；
对C，由可得，
由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；
对于D，，则，
因为单调递减，
所以，，且即，
解得，，且，
当时，，当时，，D错误.
故选：BC.
16．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ）
A．T可能取
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则
【答案】BCD
【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．
【详解】由图可知，，即，而，所以，
又，所以，即，，
所以．
对A，若，则，，显然，无整数解，错误；
对B，由可得，，因为，所以，
故有解，即在上至少有3个零点，正确；
对C，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，
即，，又，，所以，，符合，正确；
对D，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，，解得：，而，，所以，当时，符合，正确．
故选：BCD．
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的值域为
C．
D．曲线在处的切线斜率为
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象，先求函数的解析式，利用代入法分别判断函数的单调性和值域，即可判断AB；
根据对称性，得，消元后，利用利用，即可判断C；
利用导数的几何意义，求切线的斜率，即可判断D.
【详解】由，即，
而，所以，
由，得（五点法），
所以，则．
对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确；
对于B，当时，，所以，
所以函数在上的值域为，所以B错误；
对于C，令得，由三角函数图象的对称性得，
所以
，所以C正确；
对于D，，则，所以D错误．
故选：AC．
18．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a，都不是偶函数B．存在a，使是奇函数
C．存在a，使D．若的图像关于对称，则
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，其中，，
对于A，要使为偶函数，则，且，即对任意的a，都不是偶函数，故正确；
对于B，要使为奇函数，则，且，即不存在a，使是奇函数，故正确；
对于C，因为，故错误；
对于D，若的图像关于对称，则，，
解得，且，所以，即，故正确.
故选：AD
19．（2023·湖南郴州·统考三模）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.
【详解】由题设，在上，若，
所以在上有5个零点，则，解得，D正确；
在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；
且，故不为0，A错误；
在上，则，故递增，即在上递增，C正确.
故选：CD
20．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．函数在有且仅有2个极值点
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，
所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；
对于D，依题意，，
则
，因此，D正确.
故选：ABD
21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选：ACD．
22．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．的周期为
B．为奇函数
C．的图象关于点对称
D．当时，的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.
【详解】函数，
对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；
对于B选项：函数的定义域为，，
则函数是上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：，
即函数，
对于C选项：令（），解得：（），
当时，，此时，
即函数的图象关于点对称，所以C选项正确；
对于D选项：当时，，
由余弦函数的图象和性质得：，即，
所以D选项错误；
故选：AC.
23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上有且仅有四个零点
【答案】BD
【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
三、填空题
24．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______.
【答案】1或
【分析】由正弦定理结合题设推得，利用条件解方程可得答案.
【详解】在中，由正弦定理得,
而，故，结合可得,
即有，
由，可得，
整理得，解得或，
故或，符合题意，
故答案为：1或
25．（2023·浙江·模拟预测）已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．
【答案】7
【分析】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，当取到最大值时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】，∴直线为图象的对称轴，
，的对称中心为，
，
，
．
又在上单调，．
，，
又，
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上单调，
则正整数的最大值为7．
故答案为：7.
26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.
【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，
又 ，∴ ，令 ，
则 在 的函数图像如下：
所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，
对于 ，即 ，
对于函数，在 时 的值域是 ， ，
对于 ，即 ，
对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；
故答案为： .
27．（2023·山东济南·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由，结合正弦型函数值域可确定整体所处范围，进而解不等式求得结果.
【详解】当时，，
在上的值域为，，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，则___________.
【答案】
【分析】根据已知等式平方后相加可得，即，根据已知角度范围即可得，从而可得，，再根据诱导公式转化即可得所求.
【详解】等式，
两边同时平方得，，
两式相加，得，，整理得，即，
因为，所以，得，
代入，得，即，则，
则.
故答案为：.
29．（2023·湖南张家界·统考二模）已知为锐角，，则__________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解.
【详解】因为
，
所以，
又因为为锐角，
所以.
故答案为：
30．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
∵，且，则为的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.
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