2023-2024学年海南省琼海市嘉积中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年海南省琼海市嘉积中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={−1,0,1}，集合B={1,2,3}，则集合A∪B=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1,2}C. {−1,0,2,3}D. {−1,0,1,2,3}
2.若实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是( )
A. |a|>|b|B. a+c>b+cC. a2>b2D. ac2>bc2
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f(x)= x2 , g(x)=( x)2B. f(x)=x，g(x)=3x3
C. f(x)=1，g(x)=x0D. f(x)=x+1 , g(x)=x2−1x−1
4.在△ABC中，“csAB”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.幂函数y=x2,y=x−1,y=x13,y=x−12在第一象限内的图象依次是如图中的曲线( )
A. C1，C2，C3，C4
B. C1，C4，C3，C2
C. C3，C2，C1，C4
D. C1，C4，C2，C3
6.扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图2)AO=120cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为( )
A. 15π2cm2B. 1350πcm2C. 1350cm2D. 1800πcm2
7.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为π6.若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间(单位：min)，则( )
A. cst=12B. sint= 22
C. cs2t=−2 6+16D. sin2t=− 3+2 26
8.已知函数f(2x+1)是定义域为R上的奇函数，满足f(x+1)=f(3−x)，若f(2)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a>0，b>0，已知M=a2+b2ab，N= a2+b2a+b，则下列说法正确的是( )
A. M有最小值B. M有最大值C. N有最大值为 22D. N有最小值为 22
10.若函数y=ax+b−1(a>0，且a≠1)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A. a>1B. 00D. b<0
11.已知函数f(x)=sin2x+cs2x，则( )
A. f(x)的最小值为0
B. f(x)的最小正周期为π
C. 将f(x)向右平移π8个单位所得图象关于原点中心对称
D. 函数f(x)在区间[0,π4]上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2sin(π2x−π2)的最小正周期为______．
13.已知sin(α+π12)=− 23，则sin(2α+2π3)= ______．
14.已知函数f(x)=|lg6x−1|−k(k∈R).若k=0，则f(x)的零点为______；若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)0．064−13−(−23)0+[(−2)4] 34+0．0112
(2)12lg125+2lg23+lg2 2．
16.(本小题15分)
已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=−1，求k的值．
17.(本小题15分)
如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为35．
(1)求tanα的值；
(2)求2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(3π2−α)+cs(−α)的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．
①当x∈[−π3,π2]时，求函数g(x)的值域；
②若方程g(x)−m=0在[0,7π3]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x119.(本小题17分)
如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC=4，点M，N分别在线段AB，CD(含端点)上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM=α．
(1)求角α的取值范围；
(2)求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式f(α)，并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={−1,0,1}，集合B=(1,2,3}，
则A∪B={−1,0,1,2,3}．
故选：D．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由a>b，取a=1，b=−1，则可排除A，C，
当c=0时，ac2=bc2，故D错误，
由a>b，可得a+c>b+c，故B正确．
故选：B．
根据条件分别取a=1，b=−1可排除A，C，取c=0可知D错误，由不等式的性质可知B正确．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
根据定义域和对应法则完全相同的函数才是同一函数，对选项一一判断，即可得到结论．
【解答】
解：A，f(x)= x2=|x|，定义域为R，g(x)=( x)2=x，定义域为0,+∞,
定义域不一样，故不为同一函数；
B，f(x)=x，定义域为R，g(x)=3x3=x，定义域为R，
定义域和对应法则均相同，故为同一函数；
C，f(x)=1，定义域为R，g(x)=x0，定义域为xx≠0，定义域不同，
故不为同一函数；
D，f(x)=x+1，定义域为R，g(x)=x2−1x−1=x+1，定义域为xx≠1，
定义域不同，故不为同一函数．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=csx在(0,π)内单调递减，
∴csAB，
∴csAB的充要条件．
故选：C．
利用余弦函数的单调性，再结合充分必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：在第一象限内直线x=1的右侧，幂函数y=xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x−1在第一象限内的图象为C4，
y=x13在第一象限内的图象为C2,y=x−12在第一象限内的图象为C3．
故选：D．
根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系(可在直线x=1右侧)比较从而得出结论．
本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
根据扇形面积S=12αR2，并结合割补法，即可得解．
【解答】
解：因为AO=120cm，且C为AO的中点，
所以CO=60cm，
所以该扇形窗子的面积S=S扇形OAB−S扇形OCD
=12|AO|2⋅∠AOB−12|CO|2⋅∠AOB
=12×1202×π4−12×602×π4=1350πcm2．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，
由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系如下：
d=3sin(2t+π6)+1，
令d=0，即3sin(2t+π6)+1=0，解得sin(2t+π6)=−13，
又0∴cs(2t+π6)=−2 23，
∴cs2t=cs[(2t+π6)−π6]
=cs(2t+π6)csπ6+sin(2t+π6)sinπ6
=−2 23× 32+(−13)×12
=−2 6+16，故C正确；
∵0∴sin2t= 1−(2 6+16)2=2 2− 36，故D错误；
又cs2t=1−2sin2t，解得sint= 3+3 26，故B错误；
cs2t=2cs2t−1，解得cst=3− 66，故A错误．
故选：C．
根据题意求出盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系式，令d=0进而利用三角函数恒等变换即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为函数f(2x+1)是定义域为R上的奇函数，
则f(−2x+1)=−f(2x+1)，即f(2−x)=−f(x)，
由f(x+1)=f(3−x)，得f(4−x)=f(x)，
因此f(4−x)=−f(2−x)，即f(x+2)=−f(x)，
则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
于是函数f(x)是以4为周期的周期函数，
由f(2−x)=−f(x)，得f(1)=0，
由f(x+2)=−f(x)，得f(4)=−f(2)=−2，f(3)=−f(1)=0，
从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)
=505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=2．
故选：A．
根据给定条件，探讨函数f(x)的周期性，求出f(1)，f(3)，f(4)即可求解作答．
本题主要考查抽象函数及其应用，涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：a>0，b>0，M=a2+b2ab=ab+ba≥2 ab⋅ba=2，
当且仅当ab=ba即a=b时，等号成立，A选项正确，B选项错误；
又a>0，b>0时，(a+b2)2=a2+b2+2ab4≤a2+b22，即a+b2≤ a2+b22，
所以N= a2+b2a+b≥ 22，当且仅当a=b时，等号成立，C选项错误，D选项正确；
故选：AD．
利用基本不等式直接判断M与N的最值情况．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：x=0时，函数y=ax+b−1=b，
由函数y的图像经过第一、三、四象限，
根据指数函数的性质知，该指数函数是增函数，且与y轴的交点(0,b)在x轴的下方，
所以b<0，且a>1．
故选：AD．
根据指数函数的性质，结合题意即可得出b与a应满足的条件．
本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，也考查了指数函数图象过定点(0,1)，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
所以当2x+π4=−π2+2kπ，k∈Z，即x=−3π8+kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值为− 2，故A不正确；
于是函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故B正确；
因为将f(x)向右平移π8个单位可得：g(x)= 2sin[2(x−π8)+π4]= 2sin2x，
所以g(x)为奇函数，其图像关于原点对称，故C正确；
当x∈[0,π4]时，2x+π4∈[π4,3π4]，
所以由正弦函数的图像与性质及复合函数的单调性可得：函数f(x)在[0,π4]上有增有减，故D不正确．
故选：BC．
将已知函数f(x)化为f(x)= 2sin(2x+π4)，利用三角函数的图像与性质可判断各选项的正误．
本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12.【答案】4
【解析】解：根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数y=2sin(π2x−π2)的最小正周期为T=2πω=2ππ2=4．
故答案为：4．
根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解．
本题主要考查三角函数的周期求解，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】59
【解析】解：由sin(2α+2π3)=sin[π2+2(α+π12)]=cs2(α+π12)=1−2sin2(α+π12)=1−2×(− 23)2=59．
故答案为：59．
注意到2α+2π3=π2+2(α+π12)，利用诱导公式和二倍角公式，将解析式转化为sin(α+π12)的关系式计算即得．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】6 60
【解析】解：(1)|lg6x−1|=0，解得x=6，故f(x)的零点为6；
(2)由题意|lg6x−1|=k有两个零点x1，x2(x1且x1<6故25x1+x2=25x1+36x1≥2 25x1×36x1=60，当且仅当25x1=36x1，即x1=65时取等号．
故答案为：6；60．
(1)求解|lg6x−1|=0即可；
(2)作出y=|lg6x−1|的图象，结合题意可得x1x2=36，再根据基本不等式求解最小值即可．
本题主要考查函数的零点以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)原式=0．4−1−1+8+0.1=52+7+0.1=9.6；
(2)原式=32lg5+3+32lg2=32(lg5+lg2)+3=92．
【解析】(1)进行分数指数幂的运算即可；
(2)进行对数的运算即可．
考查分数指数幂和对数的运算．
16.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根，
∴△≥0，即32−4(k−2)≥0，
解得k≤174，
故实数k的取值范围为{k|k≤174}；
(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−3，x1⋅x2=k−2，
∵(x1+1)(x2+1)=−1，
∴x1x2+x1+x2+1=−1，
∴k−2−3+1=−1，
解得k=3．
【解析】(1)方程有实数根则△≥0，解出即可；
(2)根据韦达定理，求出x1+x2=−3，x1⋅x2=k−2，把题中条件展开，代入求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的分布问题，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)依题意得：sinα=35，因α是第二象限角，
故csα=− 1−sin2α=−45，
于是tanα=sinαcsα=35−45=−34．
(2)由2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(3π2−α)+cs(−α)=2sinα+csα−sinα+csα=2tanα+1−tanα+1，
由(1)得：tanα=−34，
故所求式为2×(−34)+134+1=−1274=−27，即2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(3π2−α)+cs(−α)的值为−27．
【解析】(1)根据角的终边与单位圆相交的三角函数定义可得sinα=35，再利用同角的三角函数基本关系式即可求得；
(2)利用诱导公式化简所求式，得弦的齐次式2sinα+csα−sinα+csα，化弦为切即得．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：由图示得：A=32−122=12，
B=(32+12)÷2=1，
又T2=7π12−π12=π2，
∴T=π，∴ω=2πT=2，
∴f(x)=12sin(2x+φ)+1，又因为f(x)过点(π12,32)，∴32=12sin(2×π12+φ)+1，∴sin(π6+φ)=1，
∴π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=12sin(2x+π3)+1．
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，当x∈[−π3,π2]时，x+π6∈[−π6,2π3]，
sin(x+π6)∈[−12,1]．
∴g(x)=12sin(x+π6)+1∈[34,32]，∴函数g(x)的值域为[34,32]；
②当x∈[0,7π3]时，x+π6∈[π6,5π2]，令t=x+π6∈[π6,5π2]，∴h(t)=12sint+1，
则函数h(t)的图象如下图所示，
且h(π6)=12sinπ6+1=54，h(3π2)=12sin3π2+1=12，
h(5π2)=12sin5π2+1=32，
由图象得h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3(t1所以t1+2t2+t3=4π，即(x1+π6)+2(x2+π6)+(x3+π6)=4π，
所以x1+2x2+x3=10π3，所以tan(x1+2x2+x3)=tan10π3=tan(4π−2π3)= 3，
故tan(x1+2x2+x3)= 3．
【解析】本题考查利用图象求函数的解析式，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移与伸缩变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力．
(1)由图象得A，B，ω，再代入点(π12,32)，求解可得函数的解析式，
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，由x∈[−π3,π2]求得sin(x+π6)∈[−12,1]，继而求得g(x)的值域；
②令t=x+π6∈[π6,5π2]，h(t)=12sint+1，做出函数h(t)的图象，设h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3，(t119.【答案】解：(1)由题意得当点M位于点B时，角α取最大值，
此时tanα=ABAP=2 342= 3，
因为0<α<π2，所以α=π3，
当点N位于点C时，由对称性得∠DPN取最大值π3，此时角α取最小值，
且最小值为π2−π3=π6，
故角α的取值范围为[π6,π3]；
(2)在Rt△PAM中，|PM|=2csα，
在Rt△PDN中，cs∠DPN=cs(π2−α)=sinα=PDPN，且|PD|=2，
|PN|=2sinα，
在Rt△PMN中，由勾股定理得|MN|2=|PM|2+|PN|2=4cs2α+4sin2α=4cs2αsin2α，
由(1)得α∈[π6,π3]，则sinα>0，csα>0，
所以|MN|=2sinsαcsα，
所以f(α)=2sinα+2csα+2sinαcsα=2+2sinα+2csαsinαcsα=2+2(sinα+csα)sinαcsα，α∈[π6,π3]，
令t=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
因为α∈[π6,π3]，所以t∈[ 3+12, 2]，
又sinαcsα=t2−12，
所以g(t)=2t+2t2−12=4t−1，且g(t)在[ 3+12, 2]上单调递减，
当t= 2时，g(t)min=4 2−1=4 2+4，
此时t= 2sin(α+π4)= 2，即α=π4，
综上所述，当α=π4时，△PMN的周长l取得最小值，最小值为4+4 2．
【解析】(1)由题意得当点M位于点B时，角α取最大值，此时tanα= 3，当点N位于点C时，由对称性得∠DPN取最大值π3，此时角α取最小值，即可得出答案；
(2)由题意得|PM|=2csα，利用勾股定理表示出|MN|，|PN|，可得△PMN的周长l关于角α的函数解析式f(α)，利用换元法，即可得出答案．
本题考查三角函数的性质和解三角形，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．