高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念教课ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
知识点1　等差数列的概念 保障了定义中差式的全覆盖 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的　　　　都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的　　　　,通常用字母d表示. 
名师点睛等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.(6)等差数列的定义式:an-an-1=d(n≥2).
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)(2)数列3,2,1是等差数列.(　　)(3)数列{an}的通项公式为 则{an}是等差数列.(　　)(4)等差数列{an}的增减性是由公差d决定的.(　　)
2.若一个等差数列的公差d=0,则该数列具有什么特征?
提示 该数列为常数列,每项都相同.
知识点2　等差数列的通项公式若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.  当d≠0时,可以看成是an关于n的一次函数 名师点睛1.等差数列的通项公式是关于四个基本量a1,d,n和an的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.2.等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的通项公式为an=a1+nd(其中a1为数列的首项,公差为d).(　　)(2)等差数列的通项公式中,an是关于项数n的一次函数.(　　)(3)如果等差数列的通项公式为an=2n+1,那么该数列的公差为2.(　　)2.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列吗?
提示 数列{an}一定是等差数列,其首项为p+q,公差为p.
重难探究·能力素养全提升
探究点一　等差数列的概念
【例1】 判断下列数列是不是等差数列?(1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;(2)-1,11,23,35,…,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8,10,…;(5)a,a,a,a,a,….
解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列,(3)(4)不是等差数列.
规律方法　判断一个数列是不是等差数列,就是判断从该数列的第2项起,每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数.
变式训练1若数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N+),则对此数列描述正确的是(　　)A.{an}是公差为2的等差数列B.{an}是公差为5的等差数列C.{an}是首项为5的等差数列D.{an}是公差为n的等差数列
解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.
探究点二　等差数列的通项公式
角度1.求等差数列的通项公式【例2】 若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an.分析先求出a1,d,再求an.
角度2.利用通项公式判断项或求项【例3】 在等差数列{an}中,(1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项;(2)若a2=11,a8=5,求a10.
∴an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.∵43为正整数,∴91是此数列中的项.
∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,∴a10=13-10=3.
变式探究本例3(2)中,“求a10”改为“求an+2”.
解 由(2)知an=13-n,∴an+2=13-(n+2)=11-n.
规律方法　等差数列通项公式的求法与应用技巧1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次函数.
变式训练2已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,求数列{an}的通项公式.
解 设公差为d,则 故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
变式训练3(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项?
解 设已知的等差数列为{an}.由a1=8,a2=5,得公差d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
解 设已知的等差数列为{an}.由a1=-5,公差d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.
探究点三　等差数列的判断与证明
【例4】 判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.
解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.
规律方法　判断等差数列方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)⇔数列{an}是等差数列.(2)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.注意:①通项公式法不能作为证明方法.②若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差.
变式训练4已知数列{an}:a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3,n∈N+).(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.
解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差数列.(2)数列{an}去掉首项a1后是一个等差数列.当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,∴{an}的通项公式为
1.知识清单:(1)等差数列的定义.(2)等差数列的通项公式.(3)等差数列的判断与证明.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:忽略n的取值范围.
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