高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）复数−3i+1的虚部是（ ）
A．1B．−1C．3D．−3
2．（5分）（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则a≠b.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（5分）（2023上·北京·高三校考阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,−3，则z的共轭复数z=（ ）
A．1−3 iB．1+3 i
C．−1+3 iD．−1−3 i
4．（5分）（2023下·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知向量a=−1,2,b=1,−2λ，若a//(a−b)，则实数λ的值为（ ）
A．1B．0C．43D．−23
5．（5分）（2023上·河南南阳·高三南阳中学期末）若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1=0的一个复数根，且z=a+bi，则z1+z=（ ）
A．15−35iB．15+35iC．35−15iD．35+15i
6．（5分）（2023上·江苏南通·高三校考阶段练习）已知非零向量a,b满足b=23a，且a⊥3a+b，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
7．（5分）（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，点P在边CD上，则AP⋅BP的最小值为（ ）
A．2116B．218C．2132D．74
8．（5分）（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=1且csB=2csA，则△ABC的面积S=（ ）
A．1B．32C．22D．12
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023下·四川自贡·高一统考期末）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量ABBA外，与向量AB共线的向量有（ ）

A．CFB．CDC．DED．OD
10．（5分）（2023下·河北邢台·高一校考阶段练习）已知复数z=−3+2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的实部为3B．z的虚部为2
C．z=3+2iD．z=13
11．（5分）（2023下·福建漳州·高一校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，点M满足CM=2MD，N是BC的中点.设AB=a，AD=b，则下列等式正确的是（ ）

A．BD=a−bB．AC=13a+b
C．BM=−89a+bD．AN=23a+13b
12．（5分）（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列与△ABC有关的结论，正确的是（ ）
A．若a=2,A=30°，则b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4
B．若acsA=bcsB，则△ABC是等腰直角三角形
C．若△ABC是锐角三角形，则csAD．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC=1:6
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）i是虚数单位，则3−2i1+i=a+bia,b∈R，则a+b的值为 ．
14．（5分）（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知x2−2x+m=0m∈R的两共轭虚根为x1，x2，且x1+x2=23，则m= ．
15．（5分）（2023上·山东滨州·高三校考阶段练习）已知平面向量a→，b→满足|a→|=2，b→=3，且b→⊥a→−b→，则向量a→与b→的夹角的大小为 .
16．（5分）（2023下·天津西青·高一统考期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1,F2，若F1=F2，F1与F2的夹角为θ，则以下四个结论中：①F1的最小值为12G；②当θ=π2时，F1=2G2；③当θ=2π3时，F1=G；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．

四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)OA=3，点A在点O的正西方向；
(2)OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向；
(3)求出AB的值．
18．（12分）（2023下·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）设复数z=a2+a−2+a2−7a+6i，其中a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)z所对应的点在复平面的第四象限内，求a的取值范围.
19．（12分）（2023下·陕西西安·高一阶段练习）如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设OA=a，OB=b．
(1)用a和b表示向量OC、DC；
(2)若OE=λOA，求实数λ的值
20．（12分）（2023下·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）设z为复数．
(1)若25z=−4−3ii，求z的值；
(2)若关于x的实系数一元二次方程x2+kx+k=0有两个虚根x1和x2，且x12+x22=3，求实数k的值．
21．（12分）（2023下·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．

(1)求∠EMF的余弦值．
(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．
22．（12分）（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知△ABC中，BC=3,M在线段BC上，2BM=MC,∠BAM=π6．
(1)若AB=2，求AC的长；
(2)求△AMC面积的最大值．