专题25 三角形综合测试卷2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列（全国版）

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选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是（ ）．

A．26°B．30°C．36°D．56°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=56°，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴∠3=∠1=56°，
又∵∠3=30°+∠2，
∴∠2=∠3-30°=56°-30°=26°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）

A．∠A=∠DB．∠AFB=∠DECC．AB=DCD．AF=DE
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵ ∠B=∠C，
∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；
当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；
当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；
当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；
故选：D．
3．（3分）（2023·山东·统考中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)2+2a-b-3+|c-32|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由a2+b2=c2的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【详解】解∵(a-b)2+2a-b-3+|c-32|=0
又∵a-b2≥02a-b-3≥0c-32≥0
∴a-b2=02a-b-3=0c-32=0，
∴a-b=02a-b-3=0c-32=0
解得a=3b=3c=32 ，
∴a2+b2=c2，且a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
4．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=42，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM=1，则△PMN的面积为（ ）

A．13B．13C．8D．132
【答案】D
【分析】依据题意，连接BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而CN=BP=1，又由等腰Rt△ABC可得BC=4，从而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP=NP，从而可得MN的值，进而可以得解．
【详解】解：如图，连接BP．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点P为AC边上的中点，
∴BP⊥AC，∠CBP=∠ABP=12∠ABC=45°，∠BCA=45°，BP=CP=12AC=22．
∴∠MBP=∠NCP=180°-45°=135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC=90°，∠CPN+∠MPC=90°．
∴∠BPM=∠CPN．
又BP=CP，∠MBP=∠NCP，
∴△BMP≌△CNPASA．
∴BM=CN=1，MP=NP．
在Rt△BPC中，BC=BP2+CP2=4．
∴在Rt△MBN中，MN=BM2+BN2=12+52=26．
又在Rt△MPN中，MP=NP，
∴MP2+NP2=MN2．
∴MP=NP=13．
∴S△PMN=12MP⋅NP=132．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
5．（3分）（2023·河北·统考中考真题）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（ ）

A．42°B．43°C．44°D．45°
【答案】C
【分析】如图，由平角的定义求得∠ADB=180°-∠ADE=34°，由外角定理求得，∠AHD=∠α-∠ADB=16°，根据平行性质，得∠GIF=∠AHD=16°，进而求得∠β=∠EGF-∠GIF=44°．
【详解】如图，∵∠ADE=146°
∴∠ADB=180°-∠ADE=34°
∵∠α=∠ADB+∠AHD
∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°
∵l1∥l2
∴∠GIF=∠AHD=16°
∵∠EGF=∠β+∠GIF
∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°
故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
6．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）

A．54B．52C．2D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得CD的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得AE的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵∠CAD=90°，
∴△CAD为直角三角形．
∴CD=AD2+AC2=32+42=5．
∵点E为Rt△CAD的斜边CD的中点，
∴AE=12CD=52．
∵BD=DE，BF=FA，
∴DF=12AE=54．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
7．（3分）（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，ABa2+b2；③2a+b>c；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，则DF=AC=a+b，由DFBE，可得a+b>a2+b2，进而可判断②的正误；由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2a2+b2，则c=2×a2+b2<2a+b，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，

∴DF=AC=a+b，
∵DF∴a+b∵△EAB≌△BCD，
∴BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，
∵∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD+∠ABE=90°，∠EBD=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
由勾股定理得，BE=AB2+AE2=a2+b2，
∵AB+AE>BE，
∴a+b>a2+b2，②正确，故符合要求；
由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2a2+b2，
∴c=2×a2+b2<2a+b，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．（3分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）

A．12B．14C．18D．24
【答案】C
【分析】连接BD，由点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，可得点B、P、D在一条直线上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，通过△BEP∽△BCD可得S△BEP=49S△BCD，从而得到S四边形CEPD=59S△BCD，通过△BEP∽△DFP，可得S△DFP=14SBEP=14×49S△BCD=19S△BCD，再根据四边形CDFE的面积为6，可得出S△BCD，进而可得出△ABC的面积．
【详解】解：如图所示，连接BD，
，
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴点B、P、D在一条直线上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，
∵ PE∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∵ BP:PD=2:1，
∴BP:BD=2:3，
∴S△BEP:S△BCD=4:9，
∴S△BEP=49S△BCD，
∴S四边形CEPD=S△BCD-S△BEP=59S△BCD，
∵ DF∥BC，
∴△BEP∽△DFP，
∵ BP:PD=2:1，
∴S△BEP:S△DFP=4，
∴S△DFP=14S△BEP=14×49S△BCD=19S△BCD，
∵S四边形CDFE=S四边形CEPD+S△DFP=59S△BCD+19S△BCD=69S△BCD=6，
∴S△BCD=9，
∴S△ABC=18，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
9．（3分）（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD=1．以下结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；
③当点E在BA的延长线上时，MC=3-32；
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为12．
其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】证明△BAD≌△CAE即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM∽∠ECA得出MC3=3-12，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中MC=BC2-MB2 =2+1，然后根据三角形的面积公式即可判断④．
【详解】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，故①正确；
设∠ABD=∠ACE=α，
∴∠DBC=45°-α,
∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°-α+45°+α=90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图所示

∵∠DCM=∠ECA，∠DMC=∠EAC=90°，
∴∠DCM∽∠ECA
∴MCAC=CDEC
∵AB=3，AD=1．
∴CD=AC-AD=3-1，CE=AE2+AC2=2
∴MC3=3-12
∴MC=3-32，故③正确；
④如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆，

∵∠BMC=90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小， ∠ADM=∠DAE=∠AEM=90°
∴四边形AEMD是矩形，
又AE=AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD=AE=1，
∵BD=EC=AC2-AE2=2，
∴MB=BD-MD=2-1，
在Rt△MBC中，MC=BC2-MB2
∴PB取得最小值时，MC=AB2+AC2-MB2 =3+3-2-12=2+1
∴S△BMC=12MB×MC=122-12+1=12
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．（3分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．

【答案】20°/20度
【分析】根据邻补角得出∠BOC=180°-140°=40°，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°-140°=40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=20°，
故答案为：20°．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
11．（3分）（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E．连接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为 ．

【答案】35°/35度
【分析】先在△ACE中利用等边对等角求出∠AEC的度数，然后根据垂直平分线的性质可得BE=CE，再利用等边对等角得出∠B=∠BCE，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CE=CA，∠ACE=40°，
∴∠A=∠AEC=180°-∠ACE2=70°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
又∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠B=35°．
故答案为： 35°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
12．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC=4，CE=5，则CD的长为 ．

【答案】32/112/1.5
【分析】先根据AAS证明△BDA≌△CDE，推出BA=CE=5，再利用勾股定理求出BC，最后根据中点的定义即可求CD的长．
【详解】解：∵ CE∥AB，
∴ ∠BAD=∠CED，
∵点D为BC的中点，
∴ BD=CD，
又∵ ∠BDA=∠CDE，
∴ △BDA≌△CDE AAS，
∴ BA=CE=5，
∵ Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，
∴ BC=AB2-AC2=52-42=3，
∴ CD=12BC=32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明△BDA≌△CDE是解题的关键．
13．（3分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．

【答案】22.5°或45°或67.5°
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知∠A=∠A'=30°，∠ACP=∠ACP'=α，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知∠A=∠A'=30°，∠ACP=∠ACP'=α，
当A'D=DE时，∠DEA'=∠A'=30°，

由三角形的外角性质得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠A'CD，即30°=30°+2α，
此情况不存在；
当A'D=A'E时，

∠A'=30°，∠DEA'=∠EDA'=12180°-30°=75°，
由三角形的外角性质得75°=30°+2α，
解得α=22.5°；
当EA'=DE时，∠EDA'=∠A'=30°，

∴∠DEA'=180°-30°-30°=120°，
由三角形的外角性质得120°=30°+2α，
解得α=45°；
当A'D=A'E时，∠A'DE=∠A'ED=15°，

∴∠ADC=∠A'DC=12180°-15°=82.5°，
∴α=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°；
综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5°．
故答案为：22.5°或45°或67.5°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
14．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90∘,∠E=30∘，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为 ．

【答案】3
【分析】连接CF，BF，BF，CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接CF，BF，BF，CD交于点P，如图，
∵∠DCE=90∘，点F为DE的中点，
∴FC=FD，
∵∠E=30∘，
∴∠FDC=60°,
∴△FCD是等边三角形，
∴∠DFC=∠FCD=60°；
∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，
∴BC=BD，
∵FC=FD，
∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，
∴点F在射线BF上运动，
∴当AF⊥BF时，AF最小，
此时∠FAB=90°-∠ABF=30°，
∴BF=12AB=4；
∵∠BFC=12∠DFC=30°，
∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，
∴BC=12BF=2，
∵PB=12BC=1，
∴由勾股定理得PC=BC2-PB2=3，
∴CD=2PC=23，
∴S△BCD=12CD⋅PB=12×23×1=3；

故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
15．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC延长线上的一点，CD=2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 ．

【答案】22≤PM<5
【分析】过点B作BN'∥CD交CD的延长线于点N'，连接AN'，过点P作BC的平行线交AN'于点P'，交AD于点P″，连接BP'，过点P″作P″G⊥BC，分析可知BP'为PM的最大值，P″G为PM的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作BN'∥CD交CD的延长线于点N'，连接AN'，过点P作BC的平行线交AN'于点P'，交AD于点P″，连接BP'，过点P″作P″G⊥BC，如图所示：

由题意得：点N在线段N'N″上运动（不与点N',N″重合），点P在线段P'P″上运动（不与点P',P″重合）
故：BP'为PM的最大值，P″G为PM的最小值
∵∠BAC=90°，AB=AC=4
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵BN'∥CD
∴∠N'BC=45°,故∠ABN'=90°
∵▱CMND且CD=2
∴BN'=2,AN'=AB2+BN'2=25
∵P为AN的中点
∴BP'=12BN'=5
∵P为AN的中点
∴P″为AN″的中点
∴AP″=12AN″=3,P″C=1
∵∠ACB=45°
∴P″G=CG,P″C2=P″G2+CG2
故P″G=22
∵点M与点B、C不重合
∴PM的取值范围是22≤PM<5
故答案为：22≤PM<5
【点睛】本题综合考查了勾股定理、动点轨迹问题．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
16．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23,AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．

【答案】19
【分析】：如图，连接B1M，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=23,AA1=2，点M为AC的中点，当B1在右侧处时，可得MB1=22+332=31，当B1在下方时，由等边三角形的性质可得：B1K=232-32=3，此时B1M=3+2=5，如图，当按下图方式展开时，延长AC，过C1作C1N⊥AC于N，作B1T⊥AC于T，作C1K⊥B1T于K，则C1K∥AC，四边形KTNC1为矩形，可得C1N=1，CN=3，C1K=12B1C1=3，B1K=232-32=3，此时C,T重合，可得B1M=32+42=19，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接B1M，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=23,AA1=2，点M为AC的中点，

当B1在右侧处时，
∴BB1=AA1=2，MB=23+3=33，
∴MB1=22+332=31，
当B1在下方时，由等边三角形的性质可得：B1K=232-32=3，
此时B1M=3+2=5，
如图，当按下图方式展开时，延长AC，过C1作C1N⊥AC于N，作B1T⊥AC于T，作C1K⊥B1T于K，则C1K∥AC，四边形KTNC1为矩形，
∴C1N=KT，KC1=TN，

则∠C1CN=180°-60°-90°=30°=∠KC1C，
∴∠B1C1K=90°-30°=60°，
∵B1C1=23，CC1=2，
∴C1N=1，CN=3，C1K=12B1C1=3，B1K=232-32=3，
∴此时C,T重合，
∴B1T=3+1=4，MT=23-3=3，
∴B1M=32+42=19，
∵31>5>19，
∴小虫爬行的最短路程等于19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB和CD相交于点O，AC∥BD，点O为AB的中点，求证：AC=BD．

【答案】证明见解析
【分析】先根据平行线的性质得到∠A=∠B，∠C=∠D，再由线段中点的定义得到△AOC≌△BOD，由此即可证明AC=BD．
【详解】证明：∵AC∥BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
在△AOC和△BOD中，
∠A=∠B∠C=∠DOA=OB，
∴△AOC≌△BODAAS，
∴AC=BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
18．（6分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE=GF，∠1=122°．求∠2的度数．

【答案】64°
【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从而得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°
∴∠DFE=∠1=122°，
∴∠EFG=180°-∠DFE=58°，
∵GE=GF，
∴∠FEG=∠EFG=58°，
∴∠2=180°-∠FEG-∠EFG=64°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
19．（8分）（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE=90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
【答案】作图见解析，线段AE的长为AE=23或AE=2213
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=4，AC=3BC=23，再根据直角三角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明△BCD为等边三角形，可得∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，分∠CED=30°和∠CDE=30°两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当∠CED=30°时，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°-∠B=30°，又BC=2，
∴AB=2BC=4，AC=3BC=23，
∵D为AB的中点，
∴CD=BD=AD=12AB=2，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，
∵∠DCE=90°，DC=2，
∴∠ACE=90°-∠ACD=60°，CE=3CD=23=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=23；
如图，当∠CDE=30°时，

∵∠BDC=60°，
∴∠ADE=∠BDC+∠CDE=90°
在Rt△DCE中，DC=2，则DE=DCcs30°=433，
在Rt△ADE中，AD=2，则AE=AD2+DE2=2213，
综上，满足条件的线段AE的长为AE=23或AE=2213．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．

(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
(2)当APDP为何值时，△AQF是直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用四点共圆知识解答即可．
（2）只有∠AFQ=90°，△AQF是直角三角形，解答即可．
【详解】（1）∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB=60°，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°,AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠AQP=∠APQ=60°，
∴∠AQP=∠AEP=60°，
∴A、P、E、Q四点共圆，
∴∠APQ=∠AEQ=60°，
∴∠PEQ=∠AEP+∠AEQ=120°．
（2）如图，根据题意，只有当∠AFQ=90°时，成立，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°,AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∵∠AFQ=90°，

∴∠PAF=∠QAF=30°，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADP=∠ABC=60°，
∴∠DAP=30°,∠APD=90°，
∴tan∠ADP=tan60°=APPD=3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．（8分）（2023·辽宁·统考中考真题）在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A,B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；
(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．
【答案】(1)EF=22AD．
(2)见解析．
(3)59或179．
【分析】（1）可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到BE和EF的数量关系，进而得到线段AD与线段EF的数量关系．
（2）可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．
（3）分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案
【详解】（1）解：EF=22AD．
理由如下：
如图，连接BE．
根据图形旋转的性质可知CD=CE．
由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，
∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，
∴∠BCD=45°，AD=BD．
又∠DCE=90°，
∴∠BCE=45°．
在△BCD和△BCE中，
CD=CE∠BCD=∠BCEBC=BC
∴△BCD≌△BCE．
∴BD=BE，∠CBE=∠CBD=45°．
∴∠EBF=45°．
∴EF=BE·sin∠EBF=22BE．
∴EF=22AD．
（2）解：∵CO为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，
∴AO=BO．
∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵BC⊥l，EF⊥l，
∴BC∥EF．
∴∠G=∠OCB=45°，∠GEC=∠BCE．
∴∠G=∠A，∠ACD=∠GEC．
在△ACD和△GEC中，
∠ACD=∠GEC∠A=∠GCD=CE
∴△ACD≌△GEC．
∴DA=CG．
∴CG+BD=DA+BD=AB=2BC．
（3）解：当点D在线段AB延长线上时，不满足条件EF:BC=1:3，故分两种情况：
①点D在线段AB上，如图，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N；过点E作EM垂直于BC，交BC于点M．
设EF=a，则BC=AC=3a．
根据题意可知，四边形BFEM和CMEN为矩形，△GCN为等腰直角三角形．
∴EF=BM=a，CM=NE=2a．
由（2）证明可知△ACD≌△GEC，
∴AC=GE=3a．
∴NG=NC=a．
∴NC=EM=a．
根据勾股定理可知
CE=EM2+CM2=2a2+a2=5a，
△CDE的面积S1与△ABC的面积S2之比
S1S2=12CE212BC2=125a2123a2=59
②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,由题意知，四边形FBJE，FBCI是矩形，
∵∠DCE=∠ACB=90°
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE
即∠DCA=∠ECB
又∵CD=CE，CA=CB
∴△CDA≌△CEB
∴∠DAC=∠EBC
而∠DAC=180°-∠CAB=180°-45°=135°
∴∠EBC=135°
∠EBJ=180°-∠EBC=45°
∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ
设EF=b，则BC=IF=3b，EJ=BJ=CI=b
∴EI=EF+IF=4b
Rt△CIE中，CE=CI2+EI2=b2+(4b)2=17b
△CDE的面积S1与△ABC的面积S2之比
S1S2=12CE212BC2=1217b2123b2=179
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22．（8分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3+572；问题2：BC=10
【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠C，根据折叠以及三角形内角和定理，可得∠BDE=∠A =180°-2∠C，根据邻补角互补可得∠EDC+∠BDE=180°，即可得证；
（2）连接AD，交BE于点F，则EF是△ADC的中位线，勾股定理求得AF,BF，根据BE=BF+EF即可求解；
问题2：连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，根据已知条件可得BM∥CD，则四边形CGMD是矩形，勾股定理求得AD，根据三线合一得出MD,CG，根据勾股定理求得BC的长，即可求解．
【详解】（1）∵等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到
∴∠ABC=∠C，∠BDE=∠A =180°-2∠C，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠EDC=2∠ACB；
（2）如图所示，连接AD，交BE于点F，

∵折叠，
∴EA=ED，AF=FD，AE=12AC=2，AD⊥BE，
∵E是AC的中点，
∴EA=EC，
∴EF=12CD=32，
在Rt△AEF中，AF=AE2-EF2=22-322=72，
在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=42-722=572，
∴BE=BF+EF=3+572；
问题2：如图所示，连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，

∵AB=BD，
∴AM=MD，∠ABM=∠DBM=12∠ABD，
∵2∠BDC=∠ABD，
∴∠BDC=∠DBM，
∴BM∥CD，
∴CD⊥AD，
又CG⊥BM，
∴四边形CGMD是矩形，
则CD=GM，
在Rt△ACD中，CD=1，AD=4,AD=AC2-CD2=42-12=15，
∴AM=MD=152，CG=MD=152
在Rt△BDM中，BM=BD2-DM2=42-1522=72，
∴BG=BM-GM=BM-CD=72-1=52，
在Rt△BCG中，BC=BG2+CG2=522+1522=10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（8分）（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
(2)5
(3)213a
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，即可得出可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，在根据∠ACB=30°可证明∠ACA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，由勾股定理求A'B即可，
（3）由总的铺设成本=a(PA+PB+2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出当B，P，P'，A在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+2PC取最小值为A'B，然后根据已知和旋转性质求出A'B即可．
【详解】（1）解：∵PC=P'C，∠PCP'=60°，
∴△PCP'为等边三角形；
∴PP'=PC，∠P'PC=∠PP'C=60°，
又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由两点之间线段最短可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，
最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠PP'C=180°，
∴∠BPC=120°，∠A'P'C=120°，
又∵△APC≅△A'P'C，
∴∠APC=∠AP'C=120°，
∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；
∵∠BAC≥120°，
∴BC>AC，BC>AB，
∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
（2）将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由（1）可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，

∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°
∴∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，
由旋转性质可知：AC=A'C=3，
∴A'B=BC2+A'C2=42+32=5，
∴PA+PB+PC最小值为5，
（3）∵总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)
∴当PA+PB+2PC最小时，总的铺设成本最低，
将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，A'B
由旋转性质可知：P'C=PC，∠PCP'=∠ACA'=90°，P'A'=PA，A'C=AC=4km，
∴PP'=2PC，
∴PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'，
当B，P，P'，A在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+2PC取最小值为A'B，

过点A'作A'H⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB=60°，∠ACA'=90°，
∴∠A'CH=30°，
∴A'H=12A'C=2km，
∴HC=AC2-AH2=42-22=23(km)，
∴BH=BC+CH=23+23=43(km)，
∴A'B=AH2+BH2=(43)2+22=213(km)
PA+PB+2PC的最小值为213km
总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)=213a（元）
故答案为：213a
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．