专题21 等腰三角形【十六大题型】（触类旁通）2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列（全国版）

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\l "_Tc5875" 【题型1 根据等边对等角求解或证明】 PAGEREF _Tc5875 \h 3
\l "_Tc18477" 【题型2 根据三线合一求解或证明】 PAGEREF _Tc18477 \h 4
\l "_Tc7392" 【题型3 格点图中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc7392 \h 5
\l "_Tc6673" 【题型4 根据等角对等边证明或求解】 PAGEREF _Tc6673 \h 6
\l "_Tc21330" 【题型5 确定构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc21330 \h 8
\l "_Tc27903" 【题型6 等腰三角形性质与判定综合】 PAGEREF _Tc27903 \h 9
\l "_Tc2008" 【题型7 利用等边三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc2008 \h 10
\l "_Tc5921" 【题型8 等边三角形的判定】 PAGEREF _Tc5921 \h 12
\l "_Tc17278" 【题型9 等腰/等边三角形有关的动点问题】 PAGEREF _Tc17278 \h 13
\l "_Tc686" 【题型10 探究等腰/等边三角形中线段间存在的关系】 PAGEREF _Tc686 \h 14
\l "_Tc16247" 【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc16247 \h 16
\l "_Tc1156" 【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc1156 \h 18
\l "_Tc17363" 【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc17363 \h 20
\l "_Tc6258" 【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】 PAGEREF _Tc6258 \h 21
\l "_Tc26912" 【题型15 利用垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc26912 \h 23
\l "_Tc14561" 【题型16 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc14561 \h 25
【知识点 等腰三角形】
等腰三角形
1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
2.等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
易错混淆：
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b26. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=180°-∠A2
7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
等边三角形
等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.
2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
易错混淆：
1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形=34边长2
垂直平分线
1垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
易错混淆：
对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
【题型1 根据等边对等角求解或证明】
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，则∠ABO的度数为（ ）

A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式1-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF= ．
【变式1-2】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．

【变式1-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．

(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【题型2 根据三线合一求解或证明】
【例2】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5B．2C．3.5D．3
【变式2-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．

【变式2-2】（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求证：∠EAD=∠EDA；
(2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积．
【变式2-3】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE．
(1)如图1，求证：△BEO≌△CEO；
(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
【题型3 格点图中画等腰三角形】
【例3】（2023·吉林·统考中考真题）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【变式3-1】（2023·广东云浮·统考二模）如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（ ）个．

A．6B．7C．8D．9
【变式3-2】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．

(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
【变式3-3】（2023·浙江宁波·统考二模）在4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，分别按要求画出图形（仅用无刻度直尺，并保留画图痕迹）．
(1)在图1中，已知线段AB的端点均在格点上，画出一个以AB为腰的等腰△ABC，且C在格点上．
(2)在图2中，已知△ABC为格点三角形，作出△ABC的内心点Ⅰ．
【题型4 根据等角对等边证明或求解】
【例4】（2023·山西大同·校联考一模）如图，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，则线段AD的长为 ．

【变式4-1】（2023·广东·统考中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．

(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE:S△EDC的值．
【变式4-3】（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交于点N．


【猜想】】MN=CN
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠
∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）
∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
【题型5 确定构成等腰三角形的点】
【例5】（2023·江苏南京·统考一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
【变式5-1】（2023·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是
A．2B．3C．4D．5
【变式5-2】（2023·江苏·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
【变式5-3】（2023·江西南昌·三模）如图，点A是直线y=-2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 ．
【题型6 等腰三角形性质与判定综合】
【例6】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P，Q分别在AB和AC上，PQ∥BC，M为PQ上一点，且满足PM=2MQ．连接AM、DM，若MA=MD，则AP的长为 ．

【变式6-1】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．

【变式6-2】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C'，D'，连接AD'交BC'于点F．

(1)若∠DED'=70°，求∠DAD'的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由．
【变式6-3】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，过点B'作B'H⊥BC于点H，若B'H=22，则FD的长是 ．

【题型7 利用等边三角形的性质求解】
【例7】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A3,0，B0,4，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．

【变式7-1】（2023·四川内江·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．

【变式7-2】（2023·辽宁·统考中考真题）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF,连接BF．交DE于点M．

(1)如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
(2)如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．
【变式7-3】（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，连接GB，GC，OB，OC

(1)求证：四边形BOCG为菱形．
(2)如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
【题型8 等边三角形的判定】
【例8】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=3+6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
【变式8-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．

(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使得PC=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接CP，若∠ABC=30°，证明△ACP为等边三角形．
【变式8-3】（2023·河北承德·校联考一模）如图，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，NO的延长线交⊙O于P，连接AP，过点A，B的切线相交于点M．

(1)求证：△ABM是等边三角形；
(2)若⊙O的半径为2，求AP的长．
【题型9 等腰/等边三角形有关的动点问题】
【例9】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90∘,∠E=30∘，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为 ．

【变式9-1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．

【变式9-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．

【变式9-3】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

【题型10 探究等腰/等边三角形中线段间存在的关系】
【例10】（2023·黑龙江·统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G.利用面积证明：DE+DF=CG．
(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的长．
(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=3，BD=6，求ED+EA的长．
【变式10-1】（2023·浙江·统考中考真题）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．
①若S1=9，S2=16，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．
【变式10-2】（2023·湖北十堰·统考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．

(1)如图1，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点D在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13,CF=5，请直接写出AF的长．
【变式10-3】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，连接AC、BD交于点M．
(1)如图1．若∠AOB=∠COD=40°，则AC与BD的数量关系为___________；∠AMB的度数为___________；
(2)如图2，若∠AOB=∠COD=90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当∠ABC=60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】
【例11】（2023·四川成都·统考二模）定义：如图1，在△ABC中，点P在BC边上，连接AP，若AP的长恰好为整数，则称点P为BC边上的“整点”．
如图2，已知等腰三角形的腰长为10，底边长为6，则底边上的“整点”个数为 ；
如图3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC边上有6个“整点”，则BC的长为 ．
【变式11-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为 ．
【变式11-2】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

(1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结AE，CE．
①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数；
(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°，CGFC=34，求AB的长．
【变式11-3】（2023·江苏扬州·统考二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．

(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，连接CE，则CE______BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=______°（用含m的代数式表示）．
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，过D点作DF⊥AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，直接写出F点运动的路径长．
【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】
【例12】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．

【变式12-1】（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE=_______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：底BC腰AC=5-12，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：底BC腰AC=5-12；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．

【变式12-2】（2023·安徽蚌埠·一模）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=50°，点E是BC上一点，沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是 °．
【变式12-3】（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．

猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】
【例13】（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,⋯⋯都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点A2,A3,A5,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A2A3=A5A6=A8A9=⋯⋯=1，则点A2023的坐标是 ．

【变式13-1】（2023·山东枣庄·校考一模）如图△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3都是等腰直角三角形，直角顶点B1、B2，B3均在直线l上，直线l的解析式为y=13x+23，点B1的横坐标为1，根据此规律第n个等腰直角三角形An-1AnBn的面积为 ．
【变式13-2】（2023·湖南娄底·校联考一模）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γa,θ变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经γ1,180°变换后所得的图形，若△ABC经γ1,180°变换后得到△A1B1C1，△A1B1C1经γ2,180°变换后得到△A2B2C2，△A2B2C2经γ3,180°变换后得到△A3B3C3，依此类推••••••，△An-1Bn-1Cn-1经γn,180°变换后得到△AnBnCn，点A2023的坐标为 ．

【变式13-3】（2023·湖北黄冈·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AC=AB=5，BC=8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到△A1B1C，使得点B对应点B1在x轴上，记为第一次旋转，再将△A1B1C绕点B1顺时针旋转一定的角度后得到△A2B1C1，使得点A1对应点A2在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ．
【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】
【例14】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=12BC；④当AC=2时，AD=5-1．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式14-1】（2023·湖北·统考中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是 ．
【变式14-2】（2023·四川·中考真题）如图，点D为ΔABC的AB边上的中点，点前E为AD的中点，ΔADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE,②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3.其中正确的结论是 （填写正确结论的番号）
【变式14-3】（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，等边ΔABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；②ΔAQD与ΔBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④B．②④C．①③D．②③
【题型15 利用垂直平分线的性质求解】
【例15】（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
(1)分别求点P3,P4表示的度数．
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式15-1】（2023·西藏·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE=5，AC=12，则BE长为 ．

【变式15-2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
【变式15-3】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出
(1)如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为__________．
问题探究
(2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【题型16 线段垂直平分线的判定】
【例16】（2023·河南·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AB=BC=3,∠BAC=30° ，分别以点A,C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为（ ）
A．63B．9C．6D．33
【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，已知等腰△ABC，AD⊥BC于D，点E是AC边上的一点，将△ABC沿线段BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC的延长线上，若CF=2DC，则sin∠FBE的值是 ．
【变式16-2】（2023·河北保定·统考三模）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD=CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
(1)判断△CEF的形状，并说明理由；
(2)连接BD，若BC=10，CF=4，求DE的长．
【变式16-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．

(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，
①求证：AE=2EP；
②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．作法（如图）
结论

①在CB上取点P1，使CP1=4．
∠P1OA=45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA=30°，点P2表示30°．
③分别以O,P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E,F，连结EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…