专题03 分式【八大题型】（触类旁通）2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列（全国版）

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\l "_Tc4648" 【题型1 分式有、无意义的条件】 PAGEREF _Tc4648 \h 2
\l "_Tc23189" 【题型2 分式的值为0的条件】 PAGEREF _Tc23189 \h 4
\l "_Tc19062" 【题型3 分式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc19062 \h 5
\l "_Tc4172" 【题型4 分式的运算】 PAGEREF _Tc4172 \h 6
\l "_Tc27533" 【题型5 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc27533 \h 8
\l "_Tc19441" 【题型6 分式运算的实际应用】 PAGEREF _Tc19441 \h 10
\l "_Tc11010" 【题型7 分式中的规律探究】 PAGEREF _Tc11010 \h 14
\l "_Tc18690" 【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】 PAGEREF _Tc18690 \h 17
【知识点 分式】
1.分式的定义
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x>2C．x≥2D．x<2
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意可得x−2>0，
解得：x>2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A．x−12x+1B．2x+1x+1C．2x−1x−1D．x+12x+1
【答案】B
【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．
【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式x−12x+1有意义；故本选项不符合题意；
B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式2x+1x+1无意义；故本选项符合题意；
C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2x−1x−1有意义；故本选项不符合题意；
D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式x+12x+1有意义；故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子x+5x有意义，
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
【答案】C
【详解】∵式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义
∴x+3>0，4−3x≥0， 解得：−3又∵x要取整数值，
∴x的值为：-2、-1、0、1.
即符合条件的x的值有4个.
故选C.
【题型2 分式的值为0的条件】
【例2】（2023·四川凉山·统考中考真题）分式x2−xx−1的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．−1C．1D．0或1
【答案】A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式x2−xx−1的值为0，
∴x2−x=0x−1≠0，
解得x=0，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式x−13x+1的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．−1D．−3
【答案】A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：x−1=0且3x+1≠0，
解得x=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【变式2-2】（2023·浙江金华·统考一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
【答案】xx+1（答案不唯一）
【分析】根据分式值为0的条件：分子=0，分母≠0；即可进行解答．
【详解】解：“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”的分式为xx+1，
故答案为：xx+1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子=0，分母≠0．
【变式2-3】（2023·山东枣庄·校考一模）若分式 x−3x2−x−6的值为0，则 x的值是（ ）
A．3 B．−3 C．±3D．3或−2
【答案】B
【分析】根据分式的值为0，得出分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式 x−3x2−x−6的值为0，
∴x−3=0，且x2−x−6≠0，
解得：x=±3，
当x=3时，x2−x−6=0，
当x=−3时，x2−x−6≠0，
∴x=−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
【题型3 分式的基本性质的运用】
【规律方法】
分式化简的方法：
寻找分子、分母的最大公因式；
根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以（或除以）最大公因式，分式的值不变。
【例3】（2023·河北·统考中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=abB．a−2b−2=abC．a2b2=abD．12a12b=ab
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴a+2b+2≠ab，选项A错误；
a−2b−2≠ab，选项B错误；
a2b2≠ab，选项C错误；
12a12b=ab，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式基本性质．
【变式3-1】（2023·湖南·中考真题）若aa−a2=1a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a>0且a≠1B．a≤0C．a≠0且a≠1D．a<0
【答案】D
【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围．
【详解】解：∵ |a|a−a2=1a−1，
∴ |a|a−a2=−a−a(a−1)=1a−1，
∴a<0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键．
【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2+xx−yB．2yx2C．2y33x2D．2y2(x−y)2
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、2+3x3x−3y≠2+xx−y，错误；
B、6y9x2≠2yx2，错误；
C、54y327x2≠2y33x2，错误；
D、18y29x−y2＝2y2x−y2，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+11−a2＝ ．
【答案】1−a1+a
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式=(1−a)2(1+a)(1−a)
=1−a1+a，
故答案为：1−a1+a．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
【题型4 分式的运算】
【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简4x+2+x−2的结果是（ ）
A．1B．x2x2−4C．xx+2D．x2x+2
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：4x+2+x−2
=4+x+2x−2x+2
=x2x+2．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简a+1a−1a结果正确的是（ ）
A．1B．aC．1aD．−1a
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：a+1a−1a=a+1−1a=1，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x2−2x= ．
【答案】1x−2/1−2+x
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x2−2x
=x+2x−2−xx−1xx−22×xx−2x−4
=x2−4−x2+xxx−22×xx−2x−4
=1x−2；
故答案为：1x−2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子x2−9x2+6x+9÷xx+3，下列说法正确（ ）
A．当x=3时，其值为0B．当x=−3时，其值为2
C．当0【答案】A
【分析】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：x2−9x2+6x+9÷xx+3
=x+3x−3x+32×x+3x
=x−3x，
A.当x=3时，原式=3−33=0，故该说法正确，符合题意；
B.当x=−3时，分母x+3=−3+3=0，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；
C.当0∴x−3x<0，故该说法不正确，不符合题意；
D.当x<0时，则x−3<−3，
∴x−3x>0，故该说法不正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【题型5 分式的化简求值】
【例5】（2023·福建·统考中考真题）已知1a+2b=1，且a≠−b，则ab−aa+b的值为 ．
【答案】1
【分析】根据1a+2b=1可得b+2a=ab，即ab−a=b+a，然后将ab−a=b+a整体代入ab−aa+b计算即可．
【详解】解：∵1a+2b=1
∴b+2aab=1，
∴b+2a=ab，即ab−a=b+a．
∴ab−aa+b=a+ba+b=1．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab−a=b+a是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+52−a，其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
【答案】a−3a+3；−12
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：a2−6a+9a−2÷a+2+52−a
=a−32a−2÷2+a2−a2−a+52−a
=a−32a−2÷4−a2+52−a
=a−32a−2⋅2−a3+a3−a
=a−3a+3，
解不等式a−12≤1得：a≤3，
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，
∵要使分式有意义a−2≠0，
∴a≠2，
∵当a=3时，a+2+52−a=3+2+52−3=0，
∴a≠3，
∴把a=1代入得：原式=1−31+3=−12．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式5-2】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知x−yy=2，求1x−y+1x+y÷x(x−y)2的值．
【答案】1
【分析】由x−yy=2可知x=3y，然后对分式进行化简，进而问题可求解．
【详解】解：由x−yy=2可知x=3y，
∴1x−y+1x+y÷x(x−y)2
=x+yx−yx+y+x−yx−yx+y÷x(x−y)2
=2xx+yx−y×x−y2x
=2x−yx+y
=23y−y3y+y
=1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
【变式5-3】（2023·四川成都·统考中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式1−2ab−b2a2÷a−ba2b，的值为 ．
【答案】23
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将3ab−3b2−2=0变形，即可得到答案．
【详解】解：1−2ab−b2a2÷a−ba2b，
=a2−2ab+b2a2×a2ba−b，
=a−b2a2×a2ba−b，
=ab−b2，
∵3ab−3b2−2=0，
∴3ab−3b2=2，
∴ab−b2=23，
故原式的值为23，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
【题型6 分式运算的实际应用】
【例6】（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是abb>a>0．
(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
【答案】(1)m+am+b>ab
(2)见解析
【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，根据糖水变甜，浓度变大，得出m+am+b>ab；
（2）理由作差法进行证明即可．
【详解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，
∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，
∴m+am+b>ab；
故答案为：m+am+b>ab．
（2）证明：m+am+b−ab=bm+abm+b−am+bbm+b
=mb+ab−ma−abbm+b
=mb−mabm+b
=mb−abm+b，
∵b>a>0，m>0，
∴mb−a>0，bm+b>0，
∴mb−abm+b>0，
∴m+am+b>ab．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a−1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析
【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．
．
【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为300a2−12kg/m2，“飘香2号”茉莉花单位面积产量为300(a−1)2kg/m2．
∵300a2−12−300(a−1)2=300a−1−300a+1(a−1)2a+1=−600(a−1)2a+1<0，
∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为2xyx+y元/升；小张两次加油的平均单价为x+y2元/升
(2)小王的加油方式更省钱，见详解；
【分析】（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
（2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样；
【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为：
300+300300x+300y=2xyx+y元/升；
设小张油箱加满能加a升．
小张两次加油的平均单价为ax+aya+a=x+y2元/升；
（2）解：2xyx+y−x+y2=4xy−x+y22x+y=−x−y22x+y，
∵2x+y>0，−x−y2≤0，
∴当x=y时，−x−y22x+y=0，即2xyx+y=x+y2，
两种加油方式的平均单价相同；
当x≠y时，
即−x−y22x+y<0，即2xyx+y小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若a－b＞0则a＞b；若a－b=0则a=b；若a－b＜0则a＜b．
【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．
【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；
（3）设100−ax100−bx=k，从而可得100−100k+(kb−a)x=0，再根据无关型问题求解即可得．
【详解】（1）由题意得：t=1002÷20+1002÷25，
=2.5+2，
=4.5（小时），
答：走完全程所用的时间为4.5小时；
（2）甲走完全程所用的时间为100212V+10022V=100V+25V=125V，
乙走完全程所用的时间为100V，
因为100V<125V，
所以乙先到；
（3）设100−ax100−bx=k，则100−ax=k(100−bx)，
整理得：100−100k+(kb−a)x=0，
∵分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，
∴k的值与x的取值无关，
∴kb−a=0，即a=kb，
∴100−100k=0，
解得k=1，
∴a=b，
故a，b应满足的条件是a=b．
【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
【题型7 分式中的规律探究】
【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
【答案】（1）16+57+16×57=1；（2）1n+n−1n+1+1n⋅n−1n+1=1，证明见解析．
【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．
【详解】（1）观察可知第6个等式为：16+57+16×57=1，
故答案为：16+57+16×57=1；
（2）猜想：1n+n−1n+1+1n×n−1n+1=1，
证明：左边=1n+n−1n+1+1n×n−1n+1=n+1+n(n−1)+n−1n(n+1)=n(n+1)n(n+1)=1，
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
∴第n个等式为：1n+n−1n+1+1n×n−1n+1=1，
故答案为1n+n−1n+1+1n×n−1n+1=1．
【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．
【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,⋯， 根据其中的规律可得an= （用含n的式子表示）．
【答案】n2+−1n+12n+1
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】解：由分析得an=n2+(−1)n+12n+1，
故答案为：an=n2+(−1)n+12n+1
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14…利用以上的规律计算：f12023+f12022+f12021+⋯+f12+f1+f2+⋯+f2021+f2022+f2023= ．
【答案】40452
【分析】根据fx=x1+x，得到fx+f1x=x1+x+1x1+1x=1，即可得到答案；
【详解】解：∵fx=x1+x，
∴fx+f1x=x1+x+1x1+1x=1，f1=11+1=12，
∴f12023+f12022+f12021+⋯+f12+f1+f2+⋯+f2021
+f2022+f2023=12+2022=40452，
故答案为：40452；
【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到fx+f1x=x1+x+1x1+1x=1．
【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：
①12+22+3212+22+2=2， ②22+32+5222+32+6=2，
③32+42+7232+42+12=2， ④42+52+9242+52+20=2，
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
【答案】(1)62+72+13262+72+42=2
(2)n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2；证明见解析
【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是n2，n+12，分子第三项是2n+12，分母第三项是nn+1，根据此规律写出第6个等式即可；
（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．
【详解】（1）解：第6个等式为62+72+13262+72+42=2；
故答案为：62+72+13262+72+42=2．
（2）解：第n个等式为n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2，
左边=n2+n2+2n+1+4n2+4n+1n2+n2+2n+1+n2+n
=6n2+6n+23n2+3n+1
=23n2+3n+13n2+3n+1
=2=右边．
故答案为：n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2．
【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】
【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“x→+∞JXAB”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．x→+∞JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x→+∞JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x→+∞JXAB不存在，例如：x→+∞JX2x−1=0，x→+∞JXx2+22x2+3x−1=12，若AB=2−3x−1÷4x2−10xx2−1，则x→+∞JXAB的值为 ．
【答案】12
【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．
【详解】解：∵ AB=(2−3x−1)÷4x2−10xx2−1
=(2x−2−3x−1)÷2x(2x−5)(x+1)(x−1)
=(2x−5x−1)×(x+1)(x−1)2x(2x−5)=x+12x
=x+12x，
∵A的次数等于B的次数，
∴ JXx→+∞AB=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=ad−bc，按照此规定，x−1x+1x+1化简的结果为（ ）
A．x2B．x+1xC．x+1x−1D．1
【答案】D
【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可．
【详解】解：∵abcd=ad−bc,
∴x−1x+1x+1=xx+1−−1x+1=x+1x+1=1,
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键．
【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
例如.分式3x+1 与 3x1+x互为“三⊕分式”．
(1)分式 12+x3+2x 与_____互为“六⊕分式”；
(2)若分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2 与 5xx2+y 互为“五⊕分式”．
【答案】(1)6+11x3+2x
(2)ab=12
(3)见解析
【分析】（1）根据新定义，用6−12+x3+2x即可求解；
（2）根据定义可得aa+4b2+2ba2+2b=1，根据分式的加减进行计算，即可求解；
（3）根据题意首先利用倒数关系，将x、y​进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断．
【详解】（1）解：依题意，6−12+x3+2x=18+12x−12−x3+2x=6+11x3+2x，
∴分式 12+x3+2x 与6+11x3+2x互为“六⊕分式”，
故答案为：6+11x3+2x；
（2）解：∵分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一⊕分式”
∴aa+4b2+2ba2+2b=1
即aa2+2b+2ba+4b2a+4b2a2+2b=1
∴a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，
即4a2b2=2ab，
∵a，b为正数
∴ab=12
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1
∴5xx+y2+5yx2+y=5xx+1x2+5xx2+1x=5x3x3+1+5x3+1=5x3+1x3+1=5
∴分式5xx+y2 与 5xx2+y 互为“五⊕分式
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023·四川·统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
①x+1x ②2+x2 ③x+2x+1 ④y2+1y2
(2)将“和谐分式”a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2−2a+3a−1=_____________+________________；
(3)应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)a−1，2a−1
(3)x=−3时，当该式的值为整数．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐个进行判断即可；
（2）将分子改写为a2−2a+1+2，根据完全平方公式和分式的运算法则，即可化为“和谐分式”；
（3）先根据分式混合运算法则，以及题目所给“和谐分式”，将原分式化简，再根据x和该分式的值为整数，得出符合条件的x的值即可．
【详解】（1）解：①x+1x=xx+1x=1+1x，故①是“和谐分式”，符合题意；
②2+x2=22+x2=1+x2，∵x2不是分式，∴②不是“和谐分式”，不符合题意；
③x+2x+1=x+1+1x+1=x+1x+1+1x+1=1+1x+1，故③是“和谐分式”，符合题意；
④y2+1y2=y2y2+1y2=1+1y2，故④是“和谐分式”，符合题意；
故答案为：①③④；
（2）解：a2−2a+3a−1=a2−2a+1+2a−1=a−12+2a−1=a−12a−1+2a−1=a−1+2a−1，
故答案为：a−1，2a−1；
（3）解：3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x
=3x+1+3x+1−x−1x÷x+1x−1xx+2
=3x+1x+1+3x+1−x−1x×xx+2x+1x−1
=3+3x+1−x+2x+1
=3+1−xx+1，
=3−x+1−2x+1
=3−x+1x+1+2x+1
=3−1+2x+1
=2+2x+1，
∵原式值为整数，x为整数，
∴x+1能被2整数，且x+1为整数，
∴x+1=1,−1,2,−2，
解得：x=0,−2,1,−3，
∵x+1≠0,x−1≠0,x≠0,x+2≠0，
∴x≠−1,1,0,−2，
∴x=−3，
∴x=−3时，当该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及理解题目所给“和谐分式”的定义．