专题14 反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型】（触类旁通）2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列（全国版）

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\l "_Tc28793" 【题型1 判断反比例函数图象】 PAGEREF _Tc28793 \h 2
\l "_Tc29334" 【题型2 反比例函数上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc29334 \h 4
\l "_Tc14755" 【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】 PAGEREF _Tc14755 \h 4
\l "_Tc27904" 【题型4 判断反比例函数经过象限】 PAGEREF _Tc27904 \h 5
\l "_Tc10063" 【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】 PAGEREF _Tc10063 \h 6
\l "_Tc29018" 【题型6 由反比例函数增减性求值】 PAGEREF _Tc29018 \h 7
\l "_Tc1472" 【题型7 由反比例函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc1472 \h 7
\l "_Tc6315" 【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc6315 \h 7
\l "_Tc14465" 【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】 PAGEREF _Tc14465 \h 9
\l "_Tc13417" 【题型10 反比例函数的实际应用】 PAGEREF _Tc13417 \h 11
\l "_Tc16101" 【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】 PAGEREF _Tc16101 \h 13
\l "_Tc13191" 【题型12 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13191 \h 14
【知识点 反比例函数】
1.定义
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永不相交 ．
2.反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
3.反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【题型1 判断反比例函数图象】
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y=5xx>0和函数y=-3xx<0在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（ ）

A．y1B．y2C．y3D．y4
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）反比例函数y=2022x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·河北沧州·模拟预测）用绘图软件绘制直线l:y=110x+1，直线与坐标轴的交点分别为A，B，其中B不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若使点B在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的1k（k为整数），则y=kx(x>0)的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·湖南娄底·统考二模）函数y＝1x+1的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】
【例2】（2023·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．-1B．1C．-7D．7
【变式2-1】（2023·广西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则y1+y2的值是 ．
【变式2-2】（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1,y2，则y1+y2的值为 ．
【变式2-3】（2023·辽宁·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣4x和y＝kx的图象上，则k的值为 ．
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】
【例3】（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．5B．12C．-5D．-12
【变式3-1】（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（ ）

A． y=2x2B．y=6xC．y=-3xD． y=3x
【变式3-2】（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k>0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ．
【变式3-3】（2023·江苏无锡·统考二模）反比例函数y＝kx的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
【题型4 判断反比例函数经过象限】
【例4】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点M2,a在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k>0﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-1】（2023·河北保定·校考模拟预测）如果反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A1,-2，那么这个反比例函数的图象在第 象限．
【变式4-2】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1A．一，三象限B．二，四象限C．一，二象限D．三，四象限
【变式4-3】（2023·新疆伊犁·校考二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是反比例函数y=kxk≠0图象上的两点，当x1y2，那么一次函数y=kx+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】
【例5】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若反比例函数y=2m-1xm2-2的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）
A．-1或1B．小于12的任意实数C．-1D．不能确定
【变式5-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）若反比例函数y=3-2mx的图象在二、四象限，则m的值可以是（ ）
A．-1B．2C．1D．0
【变式5-2】（2023·四川成都·校考三模）若数a使关于x的不等式组x2-32≤13(x-3)6x-2a>5(1-x)有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝3-2ax经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
【变式5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k3>k1>k2B．k1>k3>k2C．k3>k2>k1D．k2>k1>k3
【题型6 由反比例函数增减性求解】
【例6】（2023·湖南永州·统考二模）在反比例函数y=kxk≠0的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2-kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
【变式6-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数y=3-mx的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m>-3B．m<-3C．m>3D．m<3
【变式6-2】（2023·北京·101中学校考模拟预测）已知点Aa,y1,Ba+1,y2在反比例函数y=1x的图象上，且y1【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
【题型7 由反比例函数的性质比较大小】
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知Ax1,y1,Bx2,y2在反比例函数y=6x的图象上，x1<0x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2>0B．y1⋅y2>0C．y1+y2<0D．y1-y2>0
【变式7-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知点x1, y1、x2, y2、x3, y3都在反比例函数y=4x的图象上，若x1<0A．y1【变式7-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知点Aa,m,Bb,m+1,Cc,m+2在反比例函数y=-k2+1x的图象上，其中-1A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．b>a>c
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校联考一模）已知点Ax1,y1，Bx2,y2在反比例函数y=-2023x的图像上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1＜y2D．y1＞y2
【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】
【例8】（2023·辽宁·统考一模）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）

【变式8-1】（2023·河北张家口·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为（ ）

A．(218,1218)B．(1218,218)C．(215,1215)D．(1215,215)
【变式8-2】（2023·江西·南昌市育新学校校联考一模）如图，四边形OP1A1B1，A1P2A2B2，A2P3A3B3，……，An-1PnAnBn都是正方形，对角线OA1，A1A2，A2A3，……，An-1An都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），P2（x2，y2），……，Pn（xn，yn）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，并已知B1（-1,1）.
（1）求反比例函数y=kx的解析式；
（2）求点P2和P3的坐标；
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△PnBnO的面积为 ，点Pn的坐标为______（用含n的式子表示）.
【变式8-3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）

【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】
【例9】（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线AB与反比例函数y=kxx<0的图象交于点A-2,m，Bn,2，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接BC，AD．若△ACD的面积是6．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
【变式9-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在直线l：y=x-4上方的双曲线y=2x(x>0)上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 ．

【变式9-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mxm>0的图象交于A3，4，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
【变式9-3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图像相交于点E，CD边与函数y1、y2的图像分别相交于点G、H，一次函数y3的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．

(1)m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图像上？并说明理由．
【题型10 反比例函数的实际应用】
【例10】（2023·广东肇庆·统考二模）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V=43πr3，π取3）；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【变式10-1】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cmL1=25cm处挂一个重9.8NF1=9.8N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL=F1L1．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

B．
C． D．
【变式10-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
【变式10-3】（2023·福建莆田·校考三模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强PPa与受力面积Sm2的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．

(1)求桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的函数表达式；
(2)现有另一长、宽、高分别为0.3m，0.2m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B，已知该玻璃桌面能承受的最大压强为4500Pa，将长方体B任意水平放置于该玻璃桌面上是否安全？并说明理由．
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】
【例11】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点A0,4,B2,0，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C(a,1)．

(1)求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
(2)将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【变式11-1】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为2,0,CAAB=12，则k的值是（ ）．

A．3B．23C．33D．43
【变式11-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B0,2，与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C6,a．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当kx+b>mx时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型12 反比例函数与几何综合】
【例12】（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB=12，AB=2．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
【变式12-1】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA'B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与A'B交于点C．若A'C=BC，则k的值为（ ）

A．23B．332C．3D．32
【变式12-2】（2023·安徽·统考中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过斜边OB的中点C．

（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2-BD2的值为 ．
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A4,n．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．

(1)求n,k的值；
(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
y＝eq \f(k,x)
(k为常数，k≠0)
k>0
k<0
图 象
所在象限
一.三(x，y同号)
二.四(x，y异号)
性 质
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
桌面所受压强PPa
100
200
400
500
800
受力面积Sm2
2
1
0.5
0.4
0.25