2024九年级数学下册提练第8招求二次函数表达式的九种方法习题课件新版冀教版

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第8招 求二次函数表达式的九种方法冀教版 九年级下册已知二次函数图像的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的表达式．解题秘方：用待定系数法，结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解．解：∵二次函数图像的顶点坐标为(1，－3)，∴可设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.又∵函数图像过点P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴这个二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.1. [2023·苏州工业园区九年级月考]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图像经过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求a，b的值；(2)若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．解：由(1)得抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C(0，3)．∵点P到A，B两点的距离相等，∴点P在抛物线的对称轴上，即在直线x＝1上．2.已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4.(1)求抛物线C的表达式；解：根据已知条件可得点B的坐标为(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即抛物线C的表达式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的表达式．3. 【新视角▪条件探究题】如图， 二次函数y＝ax2＋bx＋4的图像与x轴交于点A(4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C.(1)求函数表达式及顶点坐标；(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标；解：把x＝0代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝4，∴C(0，4)．设直线AC的表达式为y＝kx＋4，把A(4，0)的坐标代入得4k＋4＝0，解得k＝－1.∴直线AC的表达式为y＝－x＋4.设点P(m，－m2＋3m＋4)，则H(m，－m＋4)，∴PH＝－m2＋4m，HQ＝－m＋4.∵PH＝2HQ，∴－m2＋4m＝2(－m＋4)，解得m1＝2，m2＝4(舍去)．∴P(2，6)．(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【点方法】当遇到抛物线与x轴交于某两个点求抛物线表达式的问题时，设交点式可使运算简便．4. [2023·宿迁一模]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3的图像的顶点是A，该图像与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图像直接写出当y＞0时x的取值范围；解：把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2.易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．当y＞0时，1＜x＜3.(2)平移该二次函数的图像，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图像所对应的二次函数的表达式．解：易知点D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后图像所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋5.5. [2023·泰州二中模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线 x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的表达式，并根据图像直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．解：如图，过P点作PF⊥x轴于点F，过B点作BE⊥x轴于点E，由点P在抛物线上，可设P点的坐标为(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴BE＝AE. ∴△ABE为等腰直角三角形.6. [2022·南充]如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m，那么喷头高________m时，水柱落点距O点4 m.8【点拨】以O为原点，水平线为x轴，建立直角坐标系．当喷头高2.5 m时，设y＝ax2＋bx＋2.5，将点(2.5，0)的坐标代入并化简得2.5a＋b＋1＝0，由题意知，当喷头高4 m时，可设y＝ax2＋bx＋4，将点(3，0)的坐标代入得9a＋3b＋ 4＝0，进而求出a，b的值，设喷头高h m时，水柱落点距O点4 m，则此时可设表达式为y＝ax2＋bx＋h，将点(4，0)的坐标代入可求出h.7. [新考法·图表信息法]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为________；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；上直线x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：画出抛物线，描出点P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．(4)设直线y＝t(t>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图像直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：__________________．A3A4－A1A2＝1【点拨】设A1，A2，A3，A4的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－ (x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.8. [2023·深圳] [新情境·农业生产]蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图①，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图②，抛物线AED的顶点E(0，4)，求抛物线的表达式； (2)如图③，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝ NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图④，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．9. [新考法·表格信息法]无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为 16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．解：设水蜜桃每次降价的百分率为x%，依题意得20(1－x%)2＝16.2，解得x1＝10，x2＝190(舍去)．∴水蜜桃每次降价的百分率为10%.(2) ①从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：已知水蜜桃的进价为8.2元/千克，设销售水蜜桃第x天的利润为y元，求y与x(1≤x＜15)之间的函数表达式，并求出第几天销售利润最大．解：结合(1)得第一次降价后的价格为20×(1－10%)＝18(元/千克)，∴当1≤x＜9时，y＝(18－8.2)(105－3x)－(40＋3x)＝－32.4x＋989.∵k＝－32.4＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝1时，利润最大为－32.4×1＋989＝956.6(元)；②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元？请直接写出结果．解：这14天中有6天的销售利润不低于930元．【点拨】