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初中数学北师大版七年级上册2.1 有理数一课一练
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这是一份初中数学北师大版七年级上册2.1 有理数一课一练，共22页。
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝ ．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 ．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝ ．
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ；数﹣201是第 行从左边数第 个数．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ ．
10．找规律，完成下列各题：
（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14= ．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18= ．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1− ＝ ．
（4）计算：12+14+18+116+132= ．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= ．
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ ；
②|−12+0.8|＝ ；
③|717−718|＝ ；
（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|150557−12|﹣|−12|；
（3）用简单的方法计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+…+|12021−12020|．
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
14．计算：19= ，199= ，1999= ，19999= ．
你发现什么规律了吗？
把下列的小数化为分数：＝ ，
＝× ＝ × ＝ ，
＝× ＝ × ＝ ．
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
＝ ，＝ ．
不要忘记，能约分的要约分哟！
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：(56)4×(−115)4．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−53)2019×(32)2020．
16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： ；
（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：1556= + ；21110= + ．
（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342．
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：415−635+863−1099．
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14⋯
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5= ，1n(n+1)= ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
（3）计算：112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
专题2.6 有理数的规律问题
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
【思路点拨】
从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（1n）＝n，从而可得答案．
【解题过程】
解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，
由（2）知f（12022）＝2022，
∴f（2022）﹣f（12022）
＝4044﹣2022
＝2022，
故选：B．
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
【思路点拨】
数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解题过程】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）
＝﹣2020，
故选：C．
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【思路点拨】
根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．
【解题过程】
解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝ 100 ．
【思路点拨】
由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即从1开始10个连续的奇数相加．
【解题过程】
解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加；
1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加；
1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加；
…
所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．
故答案为：100．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 2 ．
【思路点拨】
由题意可得2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果．
【解题过程】
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，
且2021÷4＝505…1，
∴22021的个位数是2，
故答案为：2．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
【思路点拨】
根据3n的尾数特征判断．
【解题过程】
解：通过已知等式得：30，31，32，33个位数字之和为0；34，35，36，37个位数字之和为0，
∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，
其中每个括号里四个数的个位数字之和是0，且3n的个位数按1，3，9，7循环出现．
∴的个位数即是30+31+32的个位数，
∵1+3+9＝13，
故答案为：3．
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝ 2023 ．
【思路点拨】
根据题目中的新运算，可以得到f（n）＝1+2n，然后即可计算出2021f（2021）的值，本题得以解决．
【解题过程】
解：∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．
∴f（n）＝1+2n，
∴2021f（2021）
＝2021×（1+22021）
＝2021+2
＝2023，
故答案为：2023．
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 90 ；数﹣201是第 15 行从左边数第 5 个数．
【思路点拨】
先从排列中总结规律，再利用规律代入求解．
【解题过程】
解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；
如第四行最末的数字是42＝16，第9行最后的数字是﹣81，
∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90，
∵﹣201＝﹣（142+5），
∴是第15行从左边数第5个数．
故应填：90；15；5．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ 12（3101﹣1） ．
【思路点拨】
根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．
故答案为：12（3101﹣1）．
10．找规律，完成下列各题：
（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14= 34 ．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18= 78 ．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1− 116 ＝ 1516 ．
（4）计算：12+14+18+116+132= 3132 ．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= 511512 ．
【思路点拨】
根据题意结合图形即可得出结果．
【解题过程】
解：（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14=34．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18=78．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1−116=1516．
（4）计算：12+14+18+116+132=1−132=3132．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512=1−1512=511512．
故答案为：34；78；116，1516；3132；511512．
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ 1+2n ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
【思路点拨】
（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．
（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．
【解题过程】
解：（1）∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
∴f（n）＝1+2n．
（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）
＝（1+21）（1+22）（1+23）（1+24）…（1+2100）
=31×42×53×64×⋯×102100
=101×1021×2
＝5151
故答案为：5151．
12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ 21﹣7 ；
②|−12+0.8|＝ 0.8−12 ；
③|717−718|＝ 717−718 ；
（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|150557−12|﹣|−12|；
（3）用简单的方法计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+…+|12021−12020|．
【思路点拨】
（1）①②③根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）先判断正负，再化简，最后计算即可；
（3）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【解题过程】
解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|−12+0.8|＝0.8−12；③|717−718|=717−718；
故答案为：①21﹣7；②0.8−12；③717−718；
（2）∵15＜150557，150557＜12，−12＜0，
原式=150557−15+12−150557−12
=−15．
（3）原式=12−13+13−14+14−15+⋯+12020−12021
=12−12021
=20194042．
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路点拨】
（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解题过程】
解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101−12，
则原式=3101−12；
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
则原式=3101+14．
14．计算：19= 0.1． ，199= 0.0．1． ，1999= 0.0．01． ，19999= 0.0．001． ．
你发现什么规律了吗？ 199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0
把下列的小数化为分数：＝ 19 ，
＝× 2 ＝ 19 × 2 ＝ 29 ，
＝× 26 ＝ 199 × 26 ＝ 2699 ．
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
＝ 12599999 ，＝ 1209137137 ．
不要忘记，能约分的要约分哟！
【思路点拨】
先根据简单的式子找出一般规律，分母每增加一个9，循环节就增加一个0，从而列出一般规律的式子．再根据这个规律完成纯循环小数化分数．
【解题过程】
解：19=0.1．，199=0.0．1．，1999=0.0．01．，19999=0.0．001．，
∴我们发现199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0．
0.111⋯=19，
0.222⋯＝0.111⋯×2=19×2=29．
0.262626⋯＝0.010101⋯×26=199×26=2699，
0.125912591259⋯＝0.000100010001⋯×1259=19999×1259=12599999，
0.326457326457⋯＝0.000001000001⋯×326457=1999999×326457=1209137137．
故答案为：0.1．，0.0．1．，0.0．01．，0.0．001．，199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0；
19，2，19，2，29；
26，199，26，2699；
12599999，1209137137．
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：(56)4×(−115)4．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （ab）n （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−53)2019×(32)2020．
【思路点拨】
（1）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算，使得计算简便；
（2）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算写出结果；
（3）利用（2）中的公式进行计算，使得计算简便．
【解题过程】
解：（1）(56)4×(−115)4
=56×56×56×56×(−65)×(−65)×(−65)×(−65)
=[56×(−65)]×[56×(−65)]×[56×(−65)]×[56×(−65)]
=[56×(−65)]4
＝（﹣1）4
＝1；
（2）根据题意可得：an⋅bn＝（ab）n．
故答案为：（ab）n；
（3）−0.42018×(−53)2019×(32)2020
=−(25)2018×(−53)2018×(−53)×(32)2018×(32)2
=−[25×(−53)×32]2018×(−53)×94
=−(−1)2018×[(−53)×94]
=(−1)×(−154)
=154．
16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18 ；
（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
【思路点拨】
（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；
（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案；
（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．
【解题过程】
解：（1）17−18=17×18；
故答案为：17−18=17×18；
（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7
＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17
＝1−17
=67；
（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199）
=12（1−199）
=12×9899
=4999．
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：1556= 17 + 18 ；21110= 110 + 111 ．
（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342．
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：415−635+863−1099．
【思路点拨】
（1）利用题干中的规律即可得出结论；
（2）将56写成13+12的形式，712写成13+14的形式，920写成14+15的形式，1130写成15+16的形式，1342写成16+17的形式后再进行运算即可得出结论；
（3）将所求式子的分子扩大2倍后即可按照（2）的方法计算，最后将结果除以2即可．
【解题过程】
解：（1）∵18+17=7+87×8=1556，
∴1556=17+18．
∵110+111=10+1110×11=21110，
∴21110=110+111．
故答案为：17；18；110；111；
（2）∵56=13+12，712=13+14，920=14+15，1130=15+16，1342=16+17，
∴原式=32−56+712−920+1130−1342
=32−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）
=32−12−13+13+14−14−15+15+16−16−17
=32−12−17
＝1−17
=67；
（3）原式=415−635+863−1099
=12×（815−1235+1663−2099）
=12×[（13+15）﹣（15+17）+（17+19）﹣（19+111）]
=12×（13+15−15−17+17+19−19−111）
=12×（13−111）
=12×833
=433．
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14⋯
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5= 14−15 ，1n(n+1)= 1n−1n+1 ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
（3）计算：112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
【思路点拨】
（1）观察已知等式，写出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，计算即可；
（3）将每个带分数改写为整数加上分子是1的真分数的和，再根据得出的规律化简，计算求出解即可．
【解题过程】
解：（1）14×5=14−15，1n(n+1)=1n−1n+1；
故答案为：14−15，1n−1n+1；
（2）原式＝1−12+12−13+13−14+•••+1n−1n+1
＝1−1n+1
=nn+1；
（3）原式=112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
＝1+12−3+16+3+112−5+120+5+130−7+142+7+156−9+172+9+190
＝1+（12+16+112+120+130+142+156+172+190）
＝1+1−12+12−13+13−14+•••+19−110
＝1+1−110
＝1910．
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝ ．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 ．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝ ．
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ；数﹣201是第 行从左边数第 个数．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ ．
10．找规律，完成下列各题：
（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14= ．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18= ．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1− ＝ ．
（4）计算：12+14+18+116+132= ．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= ．
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ ；
②|−12+0.8|＝ ；
③|717−718|＝ ；
（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|150557−12|﹣|−12|；
（3）用简单的方法计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+…+|12021−12020|．
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
14．计算：19= ，199= ，1999= ，19999= ．
你发现什么规律了吗？
把下列的小数化为分数：＝ ，
＝× ＝ × ＝ ，
＝× ＝ × ＝ ．
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
＝ ，＝ ．
不要忘记，能约分的要约分哟！
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：(56)4×(−115)4．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−53)2019×(32)2020．
16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： ；
（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：1556= + ；21110= + ．
（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342．
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：415−635+863−1099．
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14⋯
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5= ，1n(n+1)= ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
（3）计算：112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
专题2.6 有理数的规律问题
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
【思路点拨】
从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（1n）＝n，从而可得答案．
【解题过程】
解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，
由（2）知f（12022）＝2022，
∴f（2022）﹣f（12022）
＝4044﹣2022
＝2022，
故选：B．
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
【思路点拨】
数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解题过程】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）
＝﹣2020，
故选：C．
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【思路点拨】
根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．
【解题过程】
解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝ 100 ．
【思路点拨】
由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即从1开始10个连续的奇数相加．
【解题过程】
解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加；
1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加；
1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加；
…
所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．
故答案为：100．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 2 ．
【思路点拨】
由题意可得2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果．
【解题过程】
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，
且2021÷4＝505…1，
∴22021的个位数是2，
故答案为：2．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
【思路点拨】
根据3n的尾数特征判断．
【解题过程】
解：通过已知等式得：30，31，32，33个位数字之和为0；34，35，36，37个位数字之和为0，
∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，
其中每个括号里四个数的个位数字之和是0，且3n的个位数按1，3，9，7循环出现．
∴的个位数即是30+31+32的个位数，
∵1+3+9＝13，
故答案为：3．
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝ 2023 ．
【思路点拨】
根据题目中的新运算，可以得到f（n）＝1+2n，然后即可计算出2021f（2021）的值，本题得以解决．
【解题过程】
解：∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．
∴f（n）＝1+2n，
∴2021f（2021）
＝2021×（1+22021）
＝2021+2
＝2023，
故答案为：2023．
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 90 ；数﹣201是第 15 行从左边数第 5 个数．
【思路点拨】
先从排列中总结规律，再利用规律代入求解．
【解题过程】
解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；
如第四行最末的数字是42＝16，第9行最后的数字是﹣81，
∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90，
∵﹣201＝﹣（142+5），
∴是第15行从左边数第5个数．
故应填：90；15；5．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ 12（3101﹣1） ．
【思路点拨】
根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．
故答案为：12（3101﹣1）．
10．找规律，完成下列各题：
（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14= 34 ．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18= 78 ．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1− 116 ＝ 1516 ．
（4）计算：12+14+18+116+132= 3132 ．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= 511512 ．
【思路点拨】
根据题意结合图形即可得出结果．
【解题过程】
解：（1）如图①，把正方形看作1，12+14=1−14=34．
（2）如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18=78．
（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1−116=1516．
（4）计算：12+14+18+116+132=1−132=3132．
（5）计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512=1−1512=511512．
故答案为：34；78；116，1516；3132；511512．
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ 1+2n ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
【思路点拨】
（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．
（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．
【解题过程】
解：（1）∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24⋯
∴f（n）＝1+2n．
（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）
＝（1+21）（1+22）（1+23）（1+24）…（1+2100）
=31×42×53×64×⋯×102100
=101×1021×2
＝5151
故答案为：5151．
12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ 21﹣7 ；
②|−12+0.8|＝ 0.8−12 ；
③|717−718|＝ 717−718 ；
（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|150557−12|﹣|−12|；
（3）用简单的方法计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+…+|12021−12020|．
【思路点拨】
（1）①②③根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）先判断正负，再化简，最后计算即可；
（3）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【解题过程】
解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|−12+0.8|＝0.8−12；③|717−718|=717−718；
故答案为：①21﹣7；②0.8−12；③717−718；
（2）∵15＜150557，150557＜12，−12＜0，
原式=150557−15+12−150557−12
=−15．
（3）原式=12−13+13−14+14−15+⋯+12020−12021
=12−12021
=20194042．
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路点拨】
（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解题过程】
解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101−12，
则原式=3101−12；
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
则原式=3101+14．
14．计算：19= 0.1． ，199= 0.0．1． ，1999= 0.0．01． ，19999= 0.0．001． ．
你发现什么规律了吗？ 199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0
把下列的小数化为分数：＝ 19 ，
＝× 2 ＝ 19 × 2 ＝ 29 ，
＝× 26 ＝ 199 × 26 ＝ 2699 ．
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
＝ 12599999 ，＝ 1209137137 ．
不要忘记，能约分的要约分哟！
【思路点拨】
先根据简单的式子找出一般规律，分母每增加一个9，循环节就增加一个0，从而列出一般规律的式子．再根据这个规律完成纯循环小数化分数．
【解题过程】
解：19=0.1．，199=0.0．1．，1999=0.0．01．，19999=0.0．001．，
∴我们发现199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0．
0.111⋯=19，
0.222⋯＝0.111⋯×2=19×2=29．
0.262626⋯＝0.010101⋯×26=199×26=2699，
0.125912591259⋯＝0.000100010001⋯×1259=19999×1259=12599999，
0.326457326457⋯＝0.000001000001⋯×326457=1999999×326457=1209137137．
故答案为：0.1．，0.0．1．，0.0．01．，0.0．001．，199⋯9︸n个9=0.0．0⋯0︸1．(n−1)个0；
19，2，19，2，29；
26，199，26，2699；
12599999，1209137137．
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：(56)4×(−115)4．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （ab）n （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−53)2019×(32)2020．
【思路点拨】
（1）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算，使得计算简便；
（2）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算写出结果；
（3）利用（2）中的公式进行计算，使得计算简便．
【解题过程】
解：（1）(56)4×(−115)4
=56×56×56×56×(−65)×(−65)×(−65)×(−65)
=[56×(−65)]×[56×(−65)]×[56×(−65)]×[56×(−65)]
=[56×(−65)]4
＝（﹣1）4
＝1；
（2）根据题意可得：an⋅bn＝（ab）n．
故答案为：（ab）n；
（3）−0.42018×(−53)2019×(32)2020
=−(25)2018×(−53)2018×(−53)×(32)2018×(32)2
=−[25×(−53)×32]2018×(−53)×94
=−(−1)2018×[(−53)×94]
=(−1)×(−154)
=154．
16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18 ；
（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
【思路点拨】
（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；
（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案；
（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．
【解题过程】
解：（1）17−18=17×18；
故答案为：17−18=17×18；
（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7
＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17
＝1−17
=67；
（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．
=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199）
=12（1−199）
=12×9899
=4999．
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：1556= 17 + 18 ；21110= 110 + 111 ．
（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342．
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：415−635+863−1099．
【思路点拨】
（1）利用题干中的规律即可得出结论；
（2）将56写成13+12的形式，712写成13+14的形式，920写成14+15的形式，1130写成15+16的形式，1342写成16+17的形式后再进行运算即可得出结论；
（3）将所求式子的分子扩大2倍后即可按照（2）的方法计算，最后将结果除以2即可．
【解题过程】
解：（1）∵18+17=7+87×8=1556，
∴1556=17+18．
∵110+111=10+1110×11=21110，
∴21110=110+111．
故答案为：17；18；110；111；
（2）∵56=13+12，712=13+14，920=14+15，1130=15+16，1342=16+17，
∴原式=32−56+712−920+1130−1342
=32−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）
=32−12−13+13+14−14−15+15+16−16−17
=32−12−17
＝1−17
=67；
（3）原式=415−635+863−1099
=12×（815−1235+1663−2099）
=12×[（13+15）﹣（15+17）+（17+19）﹣（19+111）]
=12×（13+15−15−17+17+19−19−111）
=12×（13−111）
=12×833
=433．
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14⋯
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5= 14−15 ，1n(n+1)= 1n−1n+1 ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
（3）计算：112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
【思路点拨】
（1）观察已知等式，写出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，计算即可；
（3）将每个带分数改写为整数加上分子是1的真分数的和，再根据得出的规律化简，计算求出解即可．
【解题过程】
解：（1）14×5=14−15，1n(n+1)=1n−1n+1；
故答案为：14−15，1n−1n+1；
（2）原式＝1−12+12−13+13−14+•••+1n−1n+1
＝1−1n+1
=nn+1；
（3）原式=112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190．
＝1+12−3+16+3+112−5+120+5+130−7+142+7+156−9+172+9+190
＝1+（12+16+112+120+130+142+156+172+190）
＝1+1−12+12−13+13−14+•••+19−110
＝1+1−110
＝1910．
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