北师大版5 一元二次方程的根与系数的关系授课ppt课件

这是一份北师大版5 一元二次方程的根与系数的关系授课ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了学习目标，情境导入，探究新知，归纳总结，韦达定理，常数项，一次项系数，二次项系数，注意系数符号，b2-4ac≥0等内容，欢迎下载使用。

1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．
消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来. 韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.
探索一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式：
2.一元二次方程的求根公式：
思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
如何证明以上发现的规律呢？
证明：当Δ≥ 0 时，由求根公式得：
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2=
满足上述关系的前提条件
一元二次方程的根与系数的关系的应用
（一）求方程的两根之和、两根积：
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 -3x -2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
（二）已知方程一根，求另一根及未知系数：
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2， 其中x1=2 . ∴ x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.
（三）求与方程两根有关的代数式的值：
例3：已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根， (1)求x12+x22的值(2)求(x1-x2)2的值
解： 由题意，得 x1 + x2= 4 ，x1·x2=1 ∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14 ∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝(　　)
A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2
2．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8
3．若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为(　　)
A．10 B．9 C．7 D．5
5. 关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为 (　　) A.-8　     B.8　     C.16　     D.-16
6. 已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，则另一个根是 (　　) A.4　     B.1　     C.2　     D.-2
7．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____．
8．已知x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k＝____．
9．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________．
10.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 =
11.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（-2）2-4（m-1）≥0， 整理得：4-4m+4≥0， 解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m-1，x12+x22=6x1x2， ∴（x1+x2）2-2x1•x2=6x1•x2，即4=8（m-1）， 解得：m = ． ∵m = ＜2， ∴符合条件的m的值为 ．
12.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么x1 + x2= ，x1 x2 =
1.应用利用根与系数的关系求代数式的值.
2.已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根或字母系数的值.
3.判别式及根与系数的关系的综合应用.