北师大版九年级下册5 三角函数的应用练习

这是一份北师大版九年级下册5 三角函数的应用练习，共14页。试卷主要包含了某滑梯示意图及部分数据如图所示，已知，斜坡的坡度i＝1等内容，欢迎下载使用。

1．如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿AC修了一条近路，已知AB＝80米，新修小路与AB的夹角∠CAB为40°，则走这条近路AC的长可以表示为（ ）米．
A．80sin40°B．80cs40°C．D．
2．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，斜坡的坡度i＝1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．20米B．20米C．40米D．米
4．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（ ）cm．
A．210B．120C．504D．60
5．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ）
A．（50﹣50sin40°）厘米B．（50﹣50cs40°）厘米
C．（50﹣50sin20°）厘米D．（50﹣50cs20°）厘米
6．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，根据杠杆原理．F阻×L阻＝F动×L动．动力臂L1＝L•csα，阻力臂L2＝l•csβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米B．8米C．10米D．8米
8．如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（ ）
A．9B．15C．6D．9
9．如图，一个钟摆的摆长OA的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB为2x，点C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为（ ）
A．asin2xB．acs2xC．a（1﹣sinx）D．a（1﹣csx）
二．填空题（共5小题）
10．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6cm，则坡面AB的长度是 cm．
11．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 m．
12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cs31°＝0.857，tan31°＝0.601】
13．如图，为了测量塔CD的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得∠CAD＝15°，∠CBD＝30°．如果AB＝a，那么塔高CD＝ ．（结果用含字母a的代数式表示）
14．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′，已知直线BE⊥B′E′，CD′＝CD，则CD＝ cm．
三．解答题（共4小题）
15．如图，某滑雪场有一坡度为5：12的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为100米，求滑雪道AC长度．
16．如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图2所示．若座板CD平行于地面，前支架AB与后支架OF分别与CD交于点E，D，量得ED＝20cm，DF＝40cm，∠AED＝58°，∠ODC＝76°．
（1）求椅子座板CD距离地面BF的高度；
（2）求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到0.1cm）
（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
17．艳阳高照时，遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为△ABC）用立柱OP固定在地面上的点O处，此时OP垂直于地面OQ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱OP上的滑动调节点B，打开支架PD，伞面撑开如图②，其中，AB′＝AC＝2m，∠C＝30°，D为动中点，PD＝1m，根据生活经验，当太阳光线与伞口B′C垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
（1）某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为50°，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点B，此时立柱PO与支梁PD夹角大小是 度．
（2）如图④，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80°，滑动调节点B到B′，使遮阳效果最佳，此时对调节点B滑动的距离约为多少？（sin50≈0.756，cs50≈0.643，tan50°≈1.192，结果精确到0.01m）
18．如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA（可绕O点转动）和活动杆DFE（D，E，F均为可转动支点）组成．该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°．现测得OD＝OE＝60cm，AD＝BE＝40cm，DF＝EF＝15cm．
（1）求支架底端A，B张开的最大距离．
（2）工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1． 解：在Rt△ABC中，
∵AB＝80米，∠CAB为40°，
∴＝cs40°，
∴AC＝，
故选：D．
2． 解：∵，AE＝1m，
∴BE＝tanα，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝tanα，
∴，
∴．
故选：A．
3． 解：设小明上升的距离x米，
∵斜坡的坡度i＝1：2，
∴小明行走的水平距离2x米，
由勾股定理得：x2+（2x）2＝1002，
解得：x＝20（负值舍去），
则小明上升的距离是20米，
故选：A．
4． 解：如图：延长BD交CA于点E，
由题意得：BE⊥CE，BE＝3×18＝54（cm），AE＝2×30＝60（cm），
∵斜坡BC的坡度i＝1：5，
∴＝，
∴CE＝5BE＝270（cm），
∴AC＝CE﹣AE＝270﹣60＝210（cm），
∴AC的长度是210cm，
故选：A．
5． 解：如图：过A作AC⊥OB于C，
Rt△OAC中，OA＝50厘米，∠AOC＝40°÷2＝20°，
∴OC＝OA•cs20°＝50×cs20°．
∴CD＝OA﹣OC＝50﹣50×cs20°＝50（1﹣cs20°）（厘米）．
故选：D．
6． 解：∵F阻×L阻＝F动×L动．
∴当阻力及阻力臂不变，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时csα的值越来越大，β的度数越来越大，此时csβ的值越来越小，
∴阻力臂越来越小，阻力不变，
∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大，
∴此时动力越来越小；
故选：A．
7． 解：∵堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：＝BC：AC，
∴AC＝BC＝4（米），
故选：A．
8． 解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠CBH＝30°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°．
在Rt△AGB中，
∵sin∠ABG＝，
∴AG＝AB•sin∠ABG
＝18•sin60°
＝18×
＝9（cm）．
故选：D．
9． 解：∵点C是AB的中点，
∴＝，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝x，
∵OD＝OD，OA＝OB，
∴△OAD≌△OBD（SAS），
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∴OD＝OA•cs∠AOC＝acsx，
CD＝OC﹣OD＝a﹣acsx＝a（1﹣csx），
故选：D．
二．填空题（共5小题）
10． 解：∵坡AB的坡比是1：，
∴BC：AC＝1：，
∵BC＝6cm，
∴AC＝6cm，
∴AB＝＝＝6（cm），
故答案为：6．
11． 解：∵BC＝3m，坡AB的坡比，
∴，
∴，
故答案为：．
12． 解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
13． 解：∵∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD﹣∠CAD＝15°＝∠CAD，
∴AB＝BD＝a，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，AB＝a，
∴CD＝BD＝a，
故答案为：a．
14． 解：过A作AM⊥BE'，过B'作B'N⊥AM．
∵AF∥BE，
∴∠BAM＝∠BAF，
∴sin∠BAM＝sin∠BAF＝0.8，
∴＝，
∴设AM＝4m，AB＝5m，
∴BM＝3m，
∵∠B'AN+∠MAB＝90°，
∠ABM+∠MAB＝90°，
∴∠B'AN＝∠ABM，
在△ABM和△B'AN中，
，
∴△ABM≌△B'AN（AAS），
∴B'N＝AM＝4m，
∴E'M＝B'N＝4m，
∴4m+3m＝E'B＝105，
∴m＝15，
∴B'N＝60，AB＝75，
设CD＝m，
∴AC＝DB＝，
∴AD'＝AD＝AC+CD＝+m＝，
∴CD′＝CD＝m，
在Rt△ACD'中，
（）2+（）2＝（m）2
∴m＝45，
故答案为：45cm．
三．解答题（共4小题）
15． 解：∵滑雪道的坡度为5：12，
∴AB：BC＝5：12，
∵AB＝100米，
∴BC＝240米，
由勾股定理得：AC＝＝＝260（米），
答：滑雪道AC长度为260米．
16． 解：过点E，D分别作 EH⊥BF 于H，作 DG⊥BF 于G，
∴∠EHB＝∠DGF＝90°，
∵ED∥BF，
∴∠OED＝∠OBF＝58°，∠ODE＝∠DFG＝76°，
（1）在Rt△DGF 中，DF＝40，
∵sin∠DFG＝sin76°＝≈0.97，
∴DG＝0.97×40＝38.8（cm），
∴椅子座板CD距离地面BF的高度是38.8cm．
（2）在Rt△DGF 中，DF＝40，
∴cs∠DFG＝cs76°＝≈0.24，
∴FG＝0.24×40＝9.6（cm），
∵ED∥BF，EH⊥BF，DG⊥BF，
∴四边形EDHG是矩形，
∴EH＝DG＝38.8cm，ED＝HG＝20cm，
在Rt△EBH中，EH＝38.8，
∵tan∠EBH＝tan58°＝≈1.60，
∴BH≈24.25（cm），
∴BF＝BH+HG+GF＝24.25+20+9.6≈53.9（cm），
∴两支架着地点BF之间的距离约为53.9cm．
17． 解：（1）∵遮阳效果最佳，
∴B'N⊥B′C，
∵∠B′NO＝50°，
∴∠OB′N＝40°，
∴∠CB′P＝50°，
∴∠AB′C＝∠ACB′＝30°，
∴∠PB′A＝∠PB′C﹣∠AB′C＝20°，
∵DP＝DA＝DB′＝1，
∴∠P＝∠PB′A＝20°；
故答案为：20；
（2）如图：过点D作DE⊥PO交于E点，
∵遮阳效果最佳，
∴CH⊥B′C，
∵∠CHO＝80°，
∴∠CB′O＝100°，
∵∠AB′C＝30°，
∴∠PB′D＝50°，
∵DP＝DB′＝1，
∴∠P＝∠PB′D＝50°50°，
∴PE＝B1E＝PD⋅cs50°＝cs50°，
∵PB′＝2PE，
∴BB′＝PB﹣PB′＝2﹣2cs50°≈0.71（m），
∴调节点B滑动的距离约为0.71米．
18． 解：（1）当D，E，F三点共线时，AB最大，过点O作OH⊥AB，如图：
由等腰三角形的性质可知OH经过点F，
∵OD＝OE＝60cm，AD＝BE＝40cm，
∴AD＝OB＝100cm，AH＝BH，
∴，即，
解得AH＝25，
∴AB＝2AH＝50cm；
（2）不符合要求，连接OF，如图：
∵DF⊥OA，
∴∠ODF＝90°，
∴tan∠DOF＝＝＝0.25，
∴∠DOF＝14°，
∵OD＝OE，DF＝EF，
∴△DOF≌△EOF（SSS），
∴∠EOF＝∠DOF＝14°，
∴∠AOB＝28°，
∵28°＜30°，∴此时不符合规范使用的要求．