北师大版九年级下册5 三角函数的应用学案设计

【新教材】5.7 三角函数的应用

（人教A版）

1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．

2．实际问题抽象为三角函数模型． 

1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；

2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；

3.数学运算：实际问题求解；

4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.

重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；

难点：实际问题抽象为三角函数模型. 

一、    预习导入

阅读课本242-245页，填写。

1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．

2．解三角函数应用题的基本步骤：

(1)审清题意；

(2)搜集整理数据，建立数学模型；

(3)讨论变量关系，求解数学模型；

(4)检验，作出结论．

1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)

A．　　　B．100　　　C．　　　D．50

2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)

A．，　　　B．2，　　　C.，π　　　D．2，π

3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．

4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．

题型一    三角函数模型在物理学中的应用

例1   已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．

(1)用“五点法”作出这个函数的简图；

(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(4)经过多长时间小球往复振动一次？

跟踪训练一

1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式

为s＝6sin.

(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？

(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？

(3)单摆来回摆动一次需多长时间？

题型二  三角函数模型的实际应用

例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．

（1）求这一天6～14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式

跟踪训练二

1.　已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

1．与图中曲线对应的函数解析式是(　　)

A．y＝|sin x|　 B．y＝sin |x|

C．y＝－sin |x|   D．y＝－|sin x|

2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)

A．60　　　B．70          C．80　　　D．90

3．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________．

4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.

5．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量．

答案

小试牛刀

1．C　

2.  A

3．0.8　.

4．y＝－6sinx　.

自主探究

例1  【答案】（1）略（2）2 cm.（3）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.（4）π s.

【解析】

(1)列表如下：

描点、连线，图象如图所示．

(2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.

(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

跟踪训练一

1． 【答案】　(1)3 cm；(2)6 cm；(3) 1 s.

【解析】　(1)由s＝6sin得

t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，

所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm；

(2)由解析式知，振幅为6，

∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm；

(3)T＝＝＝1，即单摆来回摆动一次需1 s.

例2 【答案】（1）；（2）∴。

【解析】（1）由图可知：这段时间的最大温差是；

（2）从图可以看出：从6～14是的 半个周期的图象，

∴∴∵，∴

又∵  ∴ 

∴

将点代入得：，

∴，

∴，取，

∴。

跟踪训练二

1.【答案】(1) T＝12，振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．

(2)在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.

【解析】(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．

(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.

当堂检测 

1．C　

2．C

3．y＝3sin

4．　

5．【答案】（1） y＝100sin＋800. (2)当年3月1日动物种群数量约是750.

【解析】　(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，

则

解得A＝100，b＝800.

又周期T＝2×(6－0)＝12，

∴ω＝＝，

∴y＝100sin＋800(t≥0)．

又当t＝6时，y＝900，

∴900＝100sin＋800，

∴sin(π＋φ)＝1，

∴sin φ＝－1，

∴取φ＝－，

∴y＝100sin＋800.

(2)当t＝2时，

y＝100sin＋800＝750，

即当年3月1日动物种群数量约是750.