专题16 与圆有关的计算（题型归纳）-备战2023年中考数学一轮复习精品课件与题型归纳专练（全国通用）

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中考数学总复习六大策略 1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型。 2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。 3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。 4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。 5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 专题16 与圆有关的计算 题型分析 题型演练 题型一 求正多边形的中心角 1．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵五边形是的内接正五边形， ∴五边形的中心角的度数为， 故选D． 2．在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：这个正六边形的中心角为， 如图，过圆心作于点， ， 是等边三角形， ， ， 即这个正六边形的边心距为， 故选：D． 3．如图，为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则_______． 【答案】 【详解】多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得多边形的边数为：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．若一个正多边形恰好有8条对称轴，则这个正多边形的中心角的度数为 _____． 【答案】45° 【详解】解：∵正多边形恰好有8条对称轴， ∴这个正多边形的边数是8， ∴这个正多边形的中心角的度数为=45°， 故答案为：45°． 5．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 【答案】12 【详解】连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 题型二 已知正多边形的中心角求边数 6．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 7．如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB， ∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边， ∴,， ∴， ∴， 故选D． 8．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 9．正n边形的中心角为72°，则______． 【答案】5 【详解】根据题意有：，故答案为：5． 10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形． 【答案】十二 【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°， ∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形， 故答案为：十二． 题型三 利用弧长公式求弧长 11．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（   ） A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm 【答案】B 【详解】连接OC、OD， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， 故选：B 12．时钟分针的长5cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（　　） A．πcm B．πcm C．15πcm D．πcm 【答案】B 【详解】解：分针经过60分钟，转过， 经过分钟转过， 则分针的针尖转过的弧长是， 故选：B． 13．如图：已知扇形的半径之间的关系是，则的长是长的（　　） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 【答案】C 【详解】解：设，则，故选C． 14．如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多______米（结果保留）． 【答案】 【详解】设，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：平分， ， ， ， ， 是的直径，， 的长， 故答案为：． 题型四 利用弧长公式求扇形半径 16．把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：设半径为R． 由题意，， ∴， 故选：C． 17．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【详解】由题得 解得 故选：C 18．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， （三线合一）， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接,为 中点，为中点， ， ，， ， 即; 故选：C ． 19．一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是，则此扇形的半径是___________． 【答案】12 【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得： ，解得：； 故答案为:12． 20．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为______ ． 【答案】 【详解】解：由扇形的圆心角为，它所对的弧长为， 即，， 根据弧长公式， 得， 即．故答案为：． 题型五 求扇形面积 21．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；∵， ∴， ∴， 故选A． 22．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（）占骨柄（）的骨柄长为，折扇张开的角度为．则扇面（阴影部分）的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴扇面（阴影部分）的面积， 故选：C． 23．如图，在平面内将绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到，若，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【详解】解：是由旋转而成， ，， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 24．如图，在扇形中，半径的长为，点C 在弧上，连接，，．若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【详解】∵四边形为菱形， ∴， ∴与为全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为： 25．如图，是的直径，弦于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：是的直径，弦， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的直径，， ， 在中，， 扇形阴影部分的面积， 答：阴影部分的面积为． 26．如图，在等腰直角三角形中，，点在上，以点为圆心，为半径画弧交边于点，以点为圆心，为半径画弧交边于点．设，图中阴影部分的面积为．（取3） (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)当点在什么位置时，有最大值？最大值是多少？ 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∵设， ∴， ∴ ∵以B为圆心、为半径画弧交边于E， ∴，， 则， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大， 当时，即为的中点，y有最大值，最大值为1． 题型六 求弓形面积 27．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 28．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵扇形， ∴， 又∵， ∴为大圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 29．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【详解】∵在扇形中，，， ∴ 故答案为： 30．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的半圆上，飞镖落在阴影区域的概率为___． 【答案】 【详解】解：阴影部分的面积为：， 则概率为： 故答案为：． 31．如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：连接． ∵A为圆心，∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点A作于点H， 则， ∴，， ∴ ． 32．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接． (1)求和的度数； (2)若，且，求弦的长度； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∴， ∵是直径， ∴， ∴， （2）如图，连接， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （3）∵，， ∴， 又∵， ∴． 题型七 不规则图形面积的求解 33．如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，弧的长度为，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】四边形是矩形， ，，， ∵以点为圆心，以长为半径画弧交于点， ∴， ∵弧的长度为， ∴ ∴，即， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 故选：D． 34．如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形 作，则           故选：D 35．如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为的扇形；则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， 为的直径，即， 又， ， ， 故答案为：． 36．如图，矩形的边，平分，交于点，若点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【详解】∵矩形的边，平分， ∴， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴图中阴影部分面积 故答案为： 37．如图，内接于，是的直径．直线与相切于点，在上取一点使得，线段的延长线交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【详解】（1）证明：连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， 即， ， 直线是的切线； （2）解：连接， ， ， ， 是等边三角形，     ， ， ， ， ． 38．如图，在中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)已知图中阴影部分面积为6π． 求的半径；直接写出图中阴影部分的周长． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径，，为的中点， ， ， ， ， ； （2）解：， 是等边三角形， ， 在和中， ， （AAS）， ， 阴影部分的面积扇形的面积, 图中阴影部分面积为6π, ， 解得：， 即的半径是6； ， ， ， ，过， ， ， 的长是， ， 阴影部分的周长是的长． 题型八 圆锥的侧面积 39．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（　　） A．12 B．24 C．12π D．24π 【答案】C 【详解】解：它的侧面展开图的面积；故选：C 40．已知一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，侧面积为，圆锥侧面积公式， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 41．一个圆锥的底面半径和高都是，则圆锥的侧面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由勾股定理知：圆锥母线长， 则圆锥侧面积， 故答案为： 42．如图，已知圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【详解】解：底面半径，高， 由勾股定理得：母线， 圆锥的侧面积． 故答案为：． 43．扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为________． 【答案】 【详解】解：∵扇形的圆心角为150°，半径为4cm， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的表面积为． 故答案为：． 题型九 求圆锥底面半径和圆锥的高 44．已知圆锥的侧面积展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（    ） A．cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】B 【详解】解：设底面半径为R，则底面周长，圆锥的侧面展开图的面积， ∴， 故选：B． 45．若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为（　　） A．a B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵圆锥的母线即半圆的半径是a， ∴圆锥的底面周长即半圆的弧长， ∴，即圆锥的底面半径是． 圆锥的高、母线和底面半径组成直角三角形，由勾股定理，得圆锥的高是 ． 故选：D． 46．如图，是的外接圆，，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据圆的性质， ∵， ∵ ∴ ∴ ∴圆锥底面圆的半径为： ∴圆锥的高 故选：D 47．现有一个圆心角为120°，半径为15cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则围成的圆锥底面圆的半径为________cm． 【答案】5 【详解】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是r，则． 解得：． 故答案为5． 48．如图，在中，，，，若把绕边所在直线旋转一周，则所得圆锥的体积是______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴底面的面积是：， ∴圆锥的体积 故答案为：． 题型十 求扇形和圆锥侧面展开图的圆心角 49．在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【详解】∵， ∴圆心角的度数为n=2×30°=60°． ∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为， 故选A． 50．若圆锥的底面圆半径是，圆锥的侧面展开图是一个半径为扇形，则此扇形的圆心角为（     ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】解：设这个圆心角度数为n°， 由题意得：， 解得， 故选C． 51．一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______． 【答案】 【详解】根据弧长公式， 解得. 故答案为：150. 52．如图，圆锥的底面圆的半径是4，其母线长是8，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ___________． 【答案】 【详解】解：圆锥底面周长， ∴扇形的圆心角的度数． 故答案为：． 53．如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ____． 【答案】 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n， 根据题意得2π×3，解得n＝180， ∴∠CAB′＝90°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝3， 在Rt△ADB′中，B′D＝， ∴蚂蚁爬行的最短距离为， 故答案为．