高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册6 受迫振动 共振优秀学案设计

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一、振动中的能量损失
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，用手将振子向下拉动一下释放，观察较长一段时间，你发现振子在振动过程中振幅有什么变化？为什么会出现这种现象？
答案 振子在振动的过程中振幅逐渐减小，因为振子在实际振动过程中受到空气的阻碍作用，振动的能量逐渐减少。
1．固有振动和固有频率
(1)固有振动：振动系统在没有外力干预的情况下的振动。
(2)固有频率：固有振动的频率。
2．阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻碍作用时，振幅随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能减少。
1．阻尼振动的振幅、周期和频率特点
物体在做阻尼振动的过程中，振幅逐渐减小，但其周期是由振动系统本身决定，与振幅大小无关，振动过程中周期和频率保持不变。
2．阻尼振动的能量特点
物体在做阻尼振动的过程中，总机械能逐渐减小，物体位移大小相等时，势能大小相等，但动能与上一次相比将减小。
例1 (2022·福安市第一中学高二月考)如图是一单摆做阻尼振动的位移—时间图像，比较摆球在M与N对应时刻的物理量，(EpM代表M点重力势能，EpN代表N对应点重力势能)以下说法正确的是( )
A．速率vM＝vN
B．受到的拉力FM>FN
C．重力势能EpM>EpN
D．机械能EM答案 B
解析 由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在M点所对应时刻的机械能大于在N点所对应的机械能，摆球的势能是由摆球相对最低点的高度h和摆球的质量m共同决定的(Ep＝mgh)。单摆摆球的质量是定值，由于M、N两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对最低点的高度相同，重力势能也相同，但由于M点的机械能大于N点的机械能，所以M点对应时刻的动能大于在N点对应时刻的动能，可得速率vM>vN，故A、C、D错误；由于M、N两时刻摆球的位移大小相同，所以其细线拉力与竖直方向上的夹角θ也相等，对单摆受力分析，根据牛顿第二定律F－mgcs θ＝meq \f(v2,L)，得F＝mgcs θ＋meq \f(v2,L)，由于vM>vN，所以FM>FN，故B正确。
二、受迫振动
在一中，匀速转动手柄从而给弹簧上端一个周期性的上、下外力，几次改变手柄的转速，观察不同转速下振子的振动情况有什么特点？
答案 手柄转动的越快，振子上下振动的也越快，手柄不停的转动，振子也将持续的振动。
1．驱动力
作用于振动系统的周期性的外力。
2．受迫振动
(1)定义：系统在驱动力作用下的振动。
(2)受迫振动的频率(周期)
物体做受迫振动达到稳定后，其振动频率总等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
(1)受到阻力作用的振动一定是阻尼振动。( × )
(2)阻尼振动的振幅逐渐减小，机械能逐渐减小。( √ )
(3)受迫振动的振幅越来越大。( × )
(4)受迫振动稳定后的频率与振动系统的固有频率无关。( √ )
例2 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。
(1)开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，不考虑阻力，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
答案 (1)固有振动 0.5 s 2 Hz 阻尼振动 (2)受迫振动 0.25 s
解析 (1)用手往下拉振子，放手后，因振子所受回复力满足F＝－kx，所以做固有振动，根据题意T固＝eq \f(t,n)＝eq \f(10,20) s＝0.5 s，f固＝eq \f(1,T固)＝2 Hz，由于阻力的存在，振子克服阻力做功消耗能量，振幅越来越小，故振动为阻尼振动。
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动，振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或固有周期)无关，即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s。
三、共振现象及其应用
1．定义
驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，物体做受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。
2．共振曲线(如图所示)
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来。
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？
(2)期间剧烈振动的原因是什么？
答案 (1)开始时，脱水桶转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱。
(2)当洗衣机脱水桶转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈。
1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。
2．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。
f＝f0时发生共振；f>f0或f3．共振的利用与防止
(1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如共振筛、共振转速计等。
(2)防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如：部队行军过桥时应便步走。
特别说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。
(1)驱动力频率越大，受迫振动的振幅越大。( × )
(2)做受迫振动的物体一定会发生共振。( × )
例3 (多选)(2022·长沙市高二期末)如图所示，A、B、C、D四个单摆的摆长分别为L、2L、L、eq \f(L,2)，摆球的质量分别为2m、2m、m、eq \f(m,2)，四个单摆静止地悬挂在一根水平细线上。现让A球振动起来，通过水平细线迫使B、C、D也振动起来，则下列说法正确的( )
A．B、C、D中B的摆长最长，振幅最大
B．B、C、D中C的振幅最大
C．B、C、D中因D的质量最小，故其振幅是最大的
D．A、B、C、D四个单摆的周期均相同
答案 BD
解析 A做自由振动，其振动周期就等于其固有周期2πeq \r(\f(L,g))，而B、C、D在A产生的驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，即等于A的固有周期，所以四个单摆的振动周期相等，选项D正确；由于C、A的摆长相等，则C的固有周期与驱动力周期相等，产生共振，其振幅比B、D的大，选项A、C错误，选项B正确。
例4 (多选)一个弹簧振子做受迫振动，它的振幅A与驱动力频率f之间的关系如图所示。由图可知( )
A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，受迫振动的振幅比共振小，但振子振动的频率仍为f2
C．如果振子做自由振动，它的频率为f2
D．振子可以做频率为f1的等幅振动
答案 ACD
解析 处于共振状态时，振幅最大，A正确；振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以驱动力频率为f3时，受迫振动的振幅比共振小，但振子振动的频率为f3，B错误；当驱动力频率等于振子固有频率时，振子处于共振状态，所以如果振子做自由振动，则它的频率为f2，C正确；振子可以做频率为f1的等幅振动，D正确。
例5 (多选)(2023·长春二中月考)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6 m，列车的固有周期为0.315 s。下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
答案 AD
解析 当列车受到冲击的频率和列车的固有频率相同时，会发生共振现象，比较危险，由T＝eq \f(l,v)可得，列车的危险速率为v＝eq \f(l,T)＝eq \f(12.6,0.315) m/s＝40 m/s，A正确；列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象，B错误；列车的速度不同，则振动频率不同，C错误；根据T＝eq \f(l,v)可知，增加钢轨的长度可以使危险速率增大，有利于列车高速运行，D正确。
课时对点练
考点一 振动中的能量损失
1．(2022·华中师大一附中检测)由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
答案 B
解析 由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能逐渐减小，转化为内能，振幅逐渐减小，而振动系统的振动周期与本身结构有关，为固有周期，故周期不变，选项B正确。
2．(2022·北京市东城区检测)如图所示为单摆做阻尼振动的位移x随时间t变化的图像，t1、t2时刻的位移大小均为2 cm，t3时刻的位移大于2 cm。关于摆球在t1、t2和t3时刻的速度、重力势能、动能、机械能，下列说法正确的是( )
A．摆球在t1时刻的机械能等于在t2时刻的机械能
B．摆球在t1时刻的动能等于在t2时刻的动能
C．摆球在t1时刻的重力势能等于在t2时刻的重力势能
D．摆球在t3时刻的速度大于在t2时刻的速度
答案 C
解析 摆球做阻尼振动，机械能随时间不断减小，所以摆球在t1时刻的机械能大于在t2时刻的机械能，故A错误；根据对称性可知，摆球在t1时刻的重力势能等于在t2时刻的重力势能，而摆球的机械能等于动能与重力势能之和，所以摆球在t1时刻的动能大于在t2时刻的动能，故B错误，C正确；摆球在t3时刻的速度等于零，摆球在t2时刻的速度大于零，所以摆球在t3时刻的速度小于在t2时刻的速度，故D错误。
考点二 受迫振动和共振
3．(2022·金华市十校调研)关于受迫振动，下列说法正确的是( )
A．为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
B．鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是自由振动
C．洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
D．唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振
答案 D
解析 为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要散步通过桥梁，A错误；鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是受迫振动，B错误；洗衣机工作时机壳的振动频率等于电机转动时所给的驱动力的频率，C错误；唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振，D正确。
4．(多选)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f，下列说法正确的是( )
A．当fB．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0的整数倍
答案 BC
解析 当f＝f0时，系统发生共振，振幅最大，当ff0时，随着f的减小，驱动力的频率接近固有频率，该振动系统的振幅增大，故B正确；该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于驱动力的频率，故C正确，D错误。
5．(2022·唐山一中月考)如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
答案 B
解析 支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力做受迫振动时，甲、乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们的振动频率都等于驱动力的频率，即9 Hz，由于甲的固有频率接近驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B正确，A、C、D错误。
6．(多选)下列关于共振和防止共振的说法，正确的是( )
A．共振现象总是有害的，所以要避免共振现象发生
B．队伍过桥要慢行是为了不产生周期性的驱动力，从而避免产生共振
C．火车过桥慢行是为了使驱动力的频率远小于桥的固有频率，从而避免产生共振
D．利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率，防止共振危害时，应使驱动力的频率远离振动物体的固有频率
答案 CD
解析 共振现象有利也有弊，A项错误；队伍和火车过桥慢行都是为了使驱动力的频率与桥的固有频率相差很多，从而避免产生共振，B项错误，C项正确；要利用共振，应尽量使驱动力的频率与振动物体的固有频率一致。在防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和振动物体的固有频率不相等，而且相差越多越好，D项正确。
7．(2022·北京市西城区高二期末)据史书记载：晋朝初期，京城有户人家挂着的铜盘每天早晚轻轻自鸣两次，人们十分惊恐。当时的学者张华判断，这是铜盘与皇宫早晚的钟声共鸣所致。后来把铜盘磨薄一些，它就不再自鸣了。声音的共振称为共鸣，振动系统受迫振动的振幅A随驱动力频率f变化的关系图像如图所示，请根据图像分析把铜盘磨薄的目的是( )
A．改变铜盘固有振动的振幅
B．改变铜盘固有振动的频率
C．改变皇宫敲钟引起的空气振动的强度
D．改变皇宫敲钟引起的空气振动的频率
答案 B
解析 把铜盘磨薄一些，是为了改变铜盘固有振动的频率，铜盘与皇宫早晚的钟声不再发生共振，即不再出现共鸣，故A、C、D错误，B正确。
8．(多选)(2021·浙江1月选考)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．振动器振动稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案 AD
解析 要使落果效果最好，应使振动器(打击杆)与树木做共振，因不同树木的固有频率可能不同，所以振动器(打击杆)的振动频率也可能不同，A项正确；只有当驱动力的频率与固有频率相等时振幅最大，所以振动器频率增加时树干振动的振幅不一定增大，B项错误；不同粗细树干固有频率不一定相同，C项错误；因树干做的是受迫振动，稳定后受迫振动的频率等于驱动力的频率，D项正确。
9．(2022·青岛市质检)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”的固有周期是0.5 s，这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带，如图，已知相邻两条减速带间的距离为1.0 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是( )
A．当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为2 Hz
B．轿车通过减速带的速度大小不同，车身上下振动的幅度大小也必然不同
C．轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D．当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
答案 D
解析 当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的周期为T＝eq \f(L,v)＝eq \f(3,25) s，则车身上下振动的频率为f＝eq \f(1,T)＝8eq \f(1,3) Hz，A错误；车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近，车身上下振动的幅度越大，所以当轿车通过减速带的速度大小不同时，车身上下振动的幅度大小可能相同，B、C错误；当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(v,L)＝2 Hz，车身系统的固有频率为f0＝eq \f(1,T0)＝2 Hz，此时f＝f0，所以车身发生共振，上下颠簸得最剧烈，D正确。
10．(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力，下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期
C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
答案 CD
解析 若使M振动起来，其他单摆都会做受迫振动，故A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确；O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则周期为3 s，故D正确。
11．(多选)(2022·福建浦城县期中考试)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz。现匀速转动摇把，转速为240 r/min。则( )
A．当振子振动稳定时，它的振动周期是0.5 s
B．当振子振动稳定时，它的振动周期是0.25 s
C．当摇把转速为240 r/min时，弹簧振子的振幅最大，若减小摇把转速，弹簧振子的振幅一定减小
D．若摇把转速从240 r/min逐渐减小到120 r/min，弹簧振子的振幅逐渐增大
答案 BD
解析 摇把的转速为n＝240 r/min＝4 r/s，它的周期T＝eq \f(1,n)＝eq \f(1,4) s＝0.25 s，转动摇把时，弹簧振子做受迫振动，振子做受迫振动，振动周期等于驱动力的周期，当振子振动稳定时，它的振动周期是0.25 s，故A错误，B正确；弹簧振子的固有周期T固＝eq \f(1,f固)＝eq \f(1,2) s＝0.5 s，当n＝
240 r/min时，驱动力周期是0.25 s，振子没有发生共振，此时弹簧振子的振幅不是最大，若减小摇把转速，振动周期变大，与固有周期接近时，弹簧振子的振幅会增大，故C错误；当n＝120 r/min＝2 r/s时，驱动力周期是0.5 s，与固有周期相等，则若摇把转速从240 r/min逐渐减小到120 r/min，弹簧振子的振幅逐渐增大，故D正确。
12．(多选)(2022·绵阳市期末)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
答案 ABC
解析 图线中振幅最大处对应频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率为f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz。根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))，当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝eq \f(1,f12)∶eq \f(1,f22)＝25∶4，选项B正确；图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))可解得l2≈1 m，选项C正确，D错误。
13．(2023·黄冈中学月考)汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数均为k＝1.5×105 N/m。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))(l为弹簧的压缩长度，g取9.8 m/s2)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量均为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
答案 5
解析 人体的固有频率f固＝2 Hz，汽车的振动频率与其越接近，人感到越难受，即f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))＝f固，得l＝eq \f(g,4π2f固2)，代入数据得l≈0.062 1 m
由胡克定律，得kl＝(m1＋nm2)g，
则n＝eq \f(kl－m1g,m2g)＝eq \f(1.5×105×0.062 1－600×9.8,70×9.8)≈5，
即乘坐5人时，人感到最难受。类型
项目
固有振动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
固有频率
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小不确定
振动图像
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
机械能逐渐减小
驱动力对振动系统做功，补偿系统的能量损耗
常见例子
弹簧振子或单摆
敲锣打鼓时发出的声音越来越弱
机器运转时底座发生的振动