2023-2024学年广东省佛山市顺德区美辰学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区美辰学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中是无理数的是( )
A. 227B. 1.2012001C. π3D. 81
2.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 3B. 12C. 32D. 2 7
3.下列计算错误的是( )
A. 6 2× 3=6 6B. 27÷ 3=3
C. 32− 2=3 2D. ( 2− 3)( 2+ 3)=1
4.已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为( )
A. 5B. 7C. 5或 7D. 5
5. 7的小数部分为( )
A. 7−1B. 7−2C. 3− 7D. 7−3
6.估计 77的值在哪两个整数之间( )
A. 76和78B. 8和9C. 7和8D. 6和7
7.已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距( )
A. 35海里
B. 40海里
C. 45海里
D. 50海里
8.如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取π=3)( )
A. 10cm
B. 12cm
C. 14cm
D. 20cm
9.如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，若BC的长为15cm，那么AA′的长为( )
A. 10 3cm
B. 15 3cm
C. 30 3cm
D. 30cm
10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF= 2，AB=3，下列结论：①∠COD=45°；②AE=5；③CF=BD= 17；④△COF的面积是32.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.比较大小： 7+1______3(填“>”、“<”或“=”)．
13.若已知a，b为实数，且 a−3+ 3−a=2b+2，则a+b= ______．
14.如图，在5×5的边长为1的小正方形组成的网格中，格点上有A、B、C、D四个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接______.(写出一个答案即可)
15.如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为半径画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是______，点P2表示的数是______．
16.如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是______cm．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算或解方程：
(1) 24−6 16+|1− 6|；
(2)4(x−1)2=9．
18.(本小题6分)
已知x2=9，y3=−18，且xy<0，求2x−4y的平方根．
19.(本小题6分)
已知将边长分别为a和2b(a>b)的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求a2+b2和a2−b2的值．
20.(本小题7分)
如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，
(1)求折叠后DE的长；
(2)求重叠部分△BEF的面积．
21.(本小题7分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或进行计算．
(1)在图1中，画一条长为 10的线段；
(2)在图2中，画一个面积为3的钝角三角形；
(3)在图3中，计算图中四边形ABCD的面积．
22.(本小题7分)
先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足a+ 2b=3−2 2，求ba的值．
解：由题意得(a−3)+(b+2) 2=0，因为a、b都是有理数，所以a−3，b+2也是有理数，由于 2是无理数，所以a−3=0，b+2=0，所以a=3，b=−2，所以ba=(−2)3=−8．
问题：设x、y都是有理数，且满足x2−2y+ 5y=10+3 5，求x+y的值．
23.(本小题9分)
铁路上A，B两站(视为直线上的两点)相距50km，C，D为两村庄(视为两个点)，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B(如图).已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离．
24.(本小题9分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
(1)求证：AD=AE；
(2)若AD=8，DC=4，求AB的长．
25.(本小题9分)
已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE=90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2+DB2=2DF2；
(1)当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A．227是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
C.π3是无理数；
D. 81=9，是整数，属于有理数．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】A
【解析】解：A． 3的被开方数3不含有能开得尽方的数或因式，因此 3是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B. 12=2 3，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；
C. 32= 62，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；
D.2 7=2 77，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的意义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、平方差公式是解决问题的关键．
利用二次根式的乘法法则对A进行判断；利用二次根式的除法法则对B进行判断；利用二次根式的加减法对C进行判断；利用平方差公式对D进行判断．
【解答】
解：A.原式=6 2×3=6 6，所以A选项不符合题意；
B.原式= 27÷3=3，所以B选项不符合题意；
C.原式=4 2− 2=3 2，所以C选项不符合题意；
D.原式=2−3=−1，所以D选项符合题意．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，
由勾股定理得，第三边长为 32+42=5．
故选：A．
直接根据勾股定理解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵4<7<9，
∴2< 7<3，
∴ 7的小数部分为 7−2，
故选：B．
运用算术平方根知识进行估算、求解．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
6.【答案】B
【解析】解：∵8< 77<9，
∴ 77在8和9之间，
故选：B．
首先对 77进行估算，再确定 77是在哪两个相邻的整数之间．
本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算无理数的大小是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了20×2=40海里，15×2=30海里，
根据勾股定理得： 302+402=50(海里)．
故选：D．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
本题考查了勾股定理的应用，考查了方向角计算，解本题的关键是找出题目中隐藏的直角三角形，并根据勾股定理求解．
8.【答案】A
【解析】解：将此圆柱展成平面图得：
∵有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，
∴BC=8cm，AC=12AA′=12×4π=6(cm)，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10(cm)．
∴需要爬行的最短路程为10cm．
故选：A．
首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
此题考查了最短路径问题．此题难度适中，注意将立体图形展成平面图形是关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AA′．
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC=B′C，AC=A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB= 3BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB=15 3cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，
∴AA′= AB2+BA′2=30 3cm．
故选：C．
连接AA′.构建Rt△ABA′；由旋转的性质可以推知BC=B′C，AC=A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得
AB=15 3cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可．
本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得：∠COE=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=45°，故①正确；
∵EF= 2，
∴OE=2，
∴AE=5，故②正确；
连接DF交OE于点P，
由题意得：OP=DP=1，
∴AD= AP2+DP2= 17，
∵∠AOC=∠DOF，
∴∠AOD=∠COF，
∵AO=CO，DO=FO，
∴△AOD≌△COF(SAS)，
∴CF=AD= 17，故③错误；
∵△AOD≌△COF，
∴S△COF=S△AOD=12⋅AO⋅DP=32，故④正确；
故选：C．
连接DF交OE于点P，根据正方形的性质可求出OP、PE、DP，再根据“手拉手”模型证明△AOD≌△COF，即可判断各个选项的正误．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键．
11.【答案】x≥−3
【解析】解：∵二次根式 x+3在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，解得x≥−3．
故答案为：x≥−3．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键．
12.【答案】>
【解析】解：∵4<7<9，
∴2< 7<3，
∴3< 7+1<4，
即 7+1>3，
故答案为：>．
先估算出 7的范围，再求出3< 7+1<4，即可得出答案．
本题考查了实数的大小比较和估算无理数的范围，能估算出 7的范围是解此题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵ a−3≥0, 3−a≥0，
∴a−3=0，
解得：a=3，
把a=3代入 a−3+ 3−a=2b+2，可得：2b+2=0，
解得：b=−1，
把a=3，b=−1代入a+b中，a+b=3−1=2，
故答案为：2．
根据二次根式的意义得出a=3，进而得出b，再代入解答即可．
此题考查二次根式的意义，关键是根据二次根式的意义得出a=3解答．
14.【答案】AD(或BD)
【解析】解：由勾股定理得，AD= 12+32= 10，BD= 22+32= 13，
3< 10< 13<4，
∴连接AD或BD均可，
故答案为：AD(或BD)．
根据勾股定理求出AD和BD的长，根据算术平方根的大小比较方法解答．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】−1− 2 −1+ 2
【解析】解：∵点A表示的数是−1，O是原点，
∴AO=1，BO=1，
∴AB= 12+12= 2，
∵以A为圆心、AB长为半径画弧，
∴AP1=AB=AP2= 2，
∴点P1表示的数是−1− 2，
点P2表示的数是−1+ 2，
故答案为：−1− 2；−1+ 2．
首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据题意可得AP1=AB=AP2= 2，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可．
此题主要考查了勾股定理，以及实数与数轴，关键是掌握勾股定理，计算出AB的长．
16.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查平面展开−最短路径问题及勾股定理，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答．根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是： (7+5)2+92= 225=15(cm)；
当展开前面和上面时，最短路线长是： 72+(9+5)2= 245=7 5(cm)；
当展开左面和上面时，最短路线长是： 52+(9+7)2= 281(cm)，
∵15<7 5< 281，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为15．
17.【答案】解：(1) 24−6 16+|1− 6|
=2 6− 6+ 6−1
=2 6−1；
(2)4(x−1)2=9，
x−1=±32，
x1=52,x2=−12．
【解析】(1)根据实数的混合计算解答即可；
(2)根据平方根解方程即可．
此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答．
18.【答案】解：∵x2=9，y3=−18，
∴x=±3，y=−12，
∵xy<0，
∴x=3，y=−12，
∴2x−4y=2×3−4×(−12)=6+2=8，
∴2x−4y的平方根是：±2 2．
【解析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
19.【答案】解：根据题意得
a2+b2=52=25，
a⋅2b=24，
∴a2+b2+2ab49，
∴a+b=7，
∵a>b，
∴a=4，b=3，
∴a2+b2=25，a2−b2=7．
【解析】根据勾股定理，长方形的面积为24，正方形的面积计算方法，列出关于a、b方程组，然后求解．
本题考查正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．解答该题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系．
20.【答案】解：(1)设DE=xcm．
由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=(9−x)cm．
在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=(9−x)2+32．
解得：x=5．
DE的长为5cm．
(2)由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC/​/AD．
∴∠BFE=∠DEF．
∴∠BFE=∠FEB．
∴FB=BE=5cm．
∴△BEF的面积=12×BF×AB=12×5×3=7.5cm2．
【解析】(1)设DE=xcm，由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=(9−x)cm，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得ED的长；
(2)由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF，由矩形的性质可知BC/​/AD，从而得到∠BFE=∠DEF，故此可知∠BFE=∠FEB故此FB=BE，最后根据三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，线段AB即为所求；
(2)如图，△ABC即为所求；

(3)S四边形ABCD=4×4−12×1×2−12×2×2−12×2×4=9．
【解析】(1)利用勾股定理，数形结合的思想作出图形即可；
(2)作一个底为3，高为2的三角形即可；
(3)把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−应用与设计作图，四边形的面积，勾三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分割法求四边形面积．
22.【答案】解：移项得：(x2−2y−10)+ 5(y−3)=0，
∵ 5是无理数，
∴y−3=0，x2−2y−10=0，
解得：y=3，x=±4，
故x+y=7或−1．
【解析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得(x2−2y−10)+ 5(y−3)=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．
本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，比较新颖．
23.【答案】解：如图，连接CD，并作线段CD的垂直平分线，与AB相交于点E，点E即为所建土特产收购站的地点．
连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50−x) km，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2，
∴DE2=202+x2，
在Rt△BCE中，CE2=CB2+BE2，
∴CE2=102+(50−x)2，
又∵DE=CE，
∴202+x2=102+(50−x)2，
解得x=22．
∴收购站E到A站的距离为22km．
【解析】连接CD，并作线段CD的垂直平分线，与AB相交于点E，点E即为所建土特产收购站的地点；利用C，D两村庄到收购站E的距离相等，得出等式进而求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，将两个直角三角形的斜边表示出来，根据两斜边相等求解即可．
24.【答案】(1)证明：连接AC，
∵AB/​/CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
∵AC=AC，
∴∠D=∠AEC∠DCA=∠ACBAC=AC，
∴△ADC≌△AEC，(AAS)
∴AD=AE；
(2)解：由(1)知：AD=AE，DC=EC，
设AB=x，则BE=x−4，AE=8，
在Rt△ABE中∠AEB=90°，
由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，
解得：x=10，
∴AB=10．
说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．
【解析】(1)连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；
(2)设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．
本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．
25.【答案】解：(1)图2中，CD2+DB2=2DF2成立．
证明：连接CF、BE，

∵∠ACB=90°，F为AB边的中点，
∴CF=BF，
又∵∠DFC+∠DFB=∠EFB+∠DFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFB(SAS)，
∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DB2+BE2=DE2，
∵DE2=2DF2，
∴CD2+DB2=2DF2．
(2)图3成立．CD2+DB2=2DF2．
证明：连接CF、BE，

∵∠ACB=90°，F为AB边的中点，
∴CF=BF，
又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°，DF=EF，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DFC≌△EFB(SAS)，
∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°，
∵∠EBD=∠EBF−∠FBD=135°−45°=90°，
在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2，
∵DE2=2DF2，
∴CD2+DB2=2DF2．
【解析】(1)由图1猜想结论成立；连接CF、BE，证明△DFC≌△EFB(SAS)，由全等三角形的性质得出CD=BE，∠DCF=∠EBF=45°，由勾股定理及直角三角形的性质可得出结论．
(2)连接CF、BE，证明△DFC≌△EFB(SAS)，由全等三角形的性质得出CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°，由勾股定理及直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．