山东省青岛市九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(学生版+解析)

这是一份山东省青岛市九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 圆上的点到直线的最大距离是， 已知，，，则，，的大小关系为， 已知双曲线的方程为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

2023.4
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第七章第一节结束.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有( )
A. 16种B. 24种C. 64种D. 81种
3. 质点M按规律做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在时的瞬时速度为( )
A. 16m/sB. 36m/sC. 64m/sD. 81m/s
4. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. C. 3D. 4
5. 圆上的点到直线的最大距离是( )
A. B. C. D.
6. 从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A. 112B. 32C. 56D. 12
7. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是( )
A. 焦点为B. 渐近线方程为
C. 离心率e为D. 焦点到渐近线的距离为
10. 已知，则( )
A. B.
C. D.
11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )

A.
B. 第2023行的第1012个和第1013个数最大
C. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D. 第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3
12. 已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则曲线在处切线方程为_________.
14. 正项等比数列中，，是方程的两个根，则_________.
15. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．
16. 已知函数，其导函数记为，则__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 设数列是公差为的等差数列，已知，
(1)求数列通项公式；
(2)若，且的前n项和为，求.
18 设函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的取值范围．
19. 2022年4月16日3名宇航员太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
(1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
(2)3名宇航员互不相邻的概率；
(3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
20. 设椭圆：的离心率为，且短轴长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．
(1)求证：平面ACF；
(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数.
(1)判断在上的单调性；
(2)若，求证：.
2022～2023学年度第二学期高二期中考试
数学试卷
2023.4
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第七章第一节结束.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，
故选：C.
2. 若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有( )
A. 16种B. 24种C. 64种D. 81种
【答案】D
【解析】
【分析】每位教师报名都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】每位教师报名都有3种选择，则4名教师报名方式有(种).
故选：D.
3. 质点M按规律做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在时的瞬时速度为( )
A. 16m/sB. 36m/sC. 64m/sD. 81m/s
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的物理意义，求函数的导数，即可得到结论.
【详解】由，得，
∴质点M在时的瞬时速度为36m/s.
故选：B.
4. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，
因为抛物线上一点的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.
故选：B.
5. 圆上的点到直线的最大距离是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.
【详解】圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
6. 从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A. 112B. 32C. 56D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用分层抽样的定义和方法确定抽到的女护士与男医生的人数，结合组合数公式求出结果.
【详解】∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，
根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，
∴不同的抽取方法数为种.
故选：A.
7. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小.
【详解】依题意可得，，，
设，则，当时，，单调递减，
又，所以，即，即.
故选：D.
8. 若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.
【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，
此时在区间恒成立，
可得，则，可得，
故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是( )
A. 焦点为B. 渐近线方程为
C. 离心率e为D. 焦点到渐近线的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据方程求出，再由双曲线的性质以及点到直线的距离公式得出答案.
【详解】由方程可知
则焦点为，渐近线方程为，即
离心率为，焦点到渐近线的距离为
故选：BC
10. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二项展开式系数的性质，结合赋值法，逐项计算，即可求解.
【详解】由，
令，可得，所以A正确；
含的项为，故，所以B错误；
令，可得，
又因为，故，所以C正确；
令，可得，
又由，故，所以D正确.
故选：ACD.
11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )

A.
B. 第2023行的第1012个和第1013个数最大
C. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D. 第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，利用组合数运算公式计算；B选项，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；C选项，第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，C错误；D选项，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.
【详解】A选项，，，故A正确；
B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；
C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；
D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确；
对于B中，由，
令时，可得，当时，或，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误；
对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，
可得函数大致图象，

所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则曲线在处的切线方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】，则，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
14. 正项等比数列中，，是方程的两个根，则_________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用韦达定理、等比数列的性质，结合对数的运算求解.
【详解】，是方程的两个根，由韦达定理可得，
正项等比数列中，有，所以.
故答案为：
15. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据，由全概率公式计算可得结果.
【详解】记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；
，；，，
.
故答案为：.
16. 已知函数，其导函数记为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用求导法则求出，即可知道，令，可证得为奇函数，利用奇偶性即可求解.
【详解】函数，则，显然为偶函数，
令，
，，所以为奇函数，又为偶函数，
所以，，
所以.
故答案为：2.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 设数列是公差为的等差数列，已知，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；
(2)结合(1)的结论得到，利用裂项相消法即可求解.
小问1详解】
因为数列是公差为的等差数列，且，
所以，则或.
又，，∴.
【小问2详解】
由(1)可得，，
∴
18. 设函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
【解析】
【分析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
(2)由(1)可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域.
【小问1详解】
因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由(1)可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，
又，所以，
所以.
19. 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
(1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
(2)3名宇航员互不相邻的概率；
(3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
【答案】(1)12 (2)
(3).
【解析】
【分析】(1)利用分步乘法计数原理以及排列数的计算求得排法数.
(2)利用插空法、排列数以及古典概型的知识求的所求概率.
(3)根据名航天科学家之间的人数进行分类讨论，利用古典概型的知识求得所求的概率.
【小问1详解】
第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，
所以总共有(种).
【小问2详解】
先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有(种)，
5人排成一排一共(种)，所以所求的概率为：.
小问3详解】
①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，
故.
20. 设椭圆：的离心率为，且短轴长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由离心率的值可得，，可求出的值，由此得解；
(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，从而得到直线的方程.
【小问1详解】
由题可得，由有，，
解得，
故所求椭圆方程为：.
【小问2详解】
由题意可知直线的斜率存在，设：，，，
联立，
或，
∴，，
∴，
，故直线AB的方程为.
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．
(1)求证：平面ACF；
(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，的长为或，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
(2)设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.
【小问1详解】
依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，
底面ABCD为直角梯形，其中，，，，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
由于，
所以平面.
【小问2详解】
存在，理由如下：
设，，
，
，
依题意与平面所成角的正弦值为，
即，
，解得或.
，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.
22. 已知函数.
(1)判断在上的单调性；
(2)若，求证：.
【答案】(1)在上是减函数，在上是增函数
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)先求的导数得到，设，再对求导，可得在上是增函数，则，即可求出单调性.(2)用导数法判断在上的单调性，从而得到在处有最大值，令，再用导数法求出在处的最大值为，即可证明结论.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，设，则在上是增函数，
所以.
所以时，单调递减；
时，，单调递增，
所以在上是减函数，在上是增函数.
小问2详解】
证明：由(1)知，
因为，所以，
因为在上是增函数，且，，
所以存在，使得，即，
且时，，，递增，
时，，递减，
所以时.
设，则，
所以在上是增函数，.
即.