黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、7x+3y-z=0是三元一次方程，不符合题意；
B、2x+3y-1=0是二元一次方程，符合题意；
C、x2+3y-1=0是二元二次方程，不符合题意；
D、2x+3y-1＞0是二元一次不等式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
2. 已知a＜b，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A. a+4＜b+4B. 2a＜2bC. —5a＜—5bD.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项进行分析判断
【详解】A.由不等式a＜b的两边同时加4，不等号的方向不变，等式成立，故本项错误.
B.由不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b；故本选项错误；
C. 由不等式a＜b的两边同时乘以−5，不等号的方向不变，即−5a<−5不成立，故本选项正确；
D．由不等式a＜b的两边同时除以3再-1，不等式的方向不变，即成立，故本选项正确.
【点睛】本题考查不等式的性质，解题关键在于分析判断不等式是否成立.
3. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合．
故选A．
【点睛】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可．
4. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】x－1＜0的解集为x＜1，
它在数轴上表示如图所示，
故选B．
5. 以下列各组线段为边，则能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，能够组成三角形．
故选：D．
6. 如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 钝角或直角三角形
【答案】A
【解析】
【详解】设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点睛】考点：三角形内角和定理．
7. 关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（ ）
A. m＜﹣1B. m＞﹣1C. m＞0D. m＜0
【答案】A
【解析】
【分析】本题是关于x的不等式，不等式两边同时除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等号发生改变，说明m+1<0，即可求出m的取值范围．
【详解】∵不等式(m+1)x>m+1的解集为x<1，
∴m+1<0，
∴m<−1，
故选A.
【点睛】考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键.
8. 一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组：，
故选：C．
9. 如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
【详解】解：∵点P（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，
解得：m＞，
故选：D．
【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m的取值范围．
10. 如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.4个结论中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的；
（2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴②“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的；
（3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴③“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的；
（4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴④“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的；
即上述说法中正确的个数为：2．
故选B．
二、填空题（每题3分，共计24分）
11. 不等式的最大整数解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式，再求最大整数解.
【详解】
所以，最大整数是：-3
故答案为-3
【点睛】考核知识点：考核知识点：解不等式.掌握一般步骤是关键.
12. 若是方程kx－2y＝2的一个解，则k的值为____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据二元一次方程解的定义，将x，y的值代入方程即可得到关于k的一元一次方程再解答即可．
【详解】解：∵是方程kx－2y＝2的一个解，
∴2k－2×5＝2
解得：k=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了已知二元一次方程的解求方程中的参数，解题的关键是熟知二元一次方程解的概念．
13. 如图，中，E在边上，D在延长线上，，，，则_____°．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：45．
14. 已知某文教店每本笔记本2元，每支钢笔5元．若小红用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小红最多能买的钢笔支数是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本，根据总价单价购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其内的最大整数即可得出结论．
【详解】解：设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
．
故答案为：13．
15. 如图，在中，的边上的高与边上的高的比值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了三角形内部线段的比例关系，根据面积相等，列出比例是求解即可，解题关键在于能够根据等面积法进行转化求解．
【详解】∵的边上的高为，边上的高为，
∴，
即，
∴，
故答案为：2．
16. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为_____．
【答案】##82度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质．根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据旋转角求出，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可得解．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到，，
，，
在中，．
故答案为：．
17. 如图，中，和的平分线交于点，若, 则______．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据三角形的内角和定理，得，再根据角平分线的定义，得，再根据三角形的内角和定理即可．
【详解】解：，
，
和的平分线交于点，
，
，
，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和为是解答此题的关键．
18. 在中，，为边上的高，，则___．
【答案】或
【解析】
【分析】首先画出图形，根据三角形高定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得的度数，然后再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】如图1，
为边上的高，
，
，
，
，
，
如图2，
为边上的高，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为：或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°．
三、解答题（共66分，19题12分，20-23题各6分，24-26题各10分）
19. 计算：
（1）解方程组：
（2）解不等式：
（3）解不等式组：
（4）解不等式组：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了方程组，不等式，不等式组的解法，
（1）选择代入消元法解答即可．
（2）根据解不等式的基本步骤求解即可．
（3）根据解不等式组的基本步骤求解即可．
（4）根据解不等式组的基本步骤求解即可．
【小问1详解】
，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故方程组的解为．
【小问2详解】
去分母，得
，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
．
【小问3详解】
解不等式组：，
解①得，解②得，，
故不等式组解集为．
【小问4详解】
，
解①得，解②得，，
故不等式组的解集为．
20. 过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出__________个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 __________个三角形．
【答案】（1）3（2）6
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形；
（2）根据三角形的定义，再A、B、D、E中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形．
（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个；
（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．
考点：本题考查了三角形的定义，网格结构的知识
点评：根据网格结构作出图形是解题的关键．
21. 请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．按照这种规定的运算，请解答下列问题：
（1）填空：计算 ；
（2）若，，且满足，请你求出k的整数值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，有理数的混合运算，正确地理解题意是解题的关键．
（1）根据题目中的，计算即可；
（2）根据题目中的列方程组得到，，再根据列不等式组即可得到结论．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴的整数值为，．
22. 如图所示，在中，D是边上的一点，，，，求的度数．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．设，利用三角形外角的性质知，则，即可得出答案．
【详解】解：，
设，
则，
，
，
，
，
．
23. 已知关于的方程组的解，则m的取值范围是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点，先解方程组求出的值，根据列出关于m的不等式，求解即可，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
【详解】，
，得，
把代入②得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 某商店欲购进、两种商品，已知购进种商品5件和种商品4件共需300元；若购进种商品6件和种商品8件共需440元．
（1）求、两种商品每件的进价分别为多少元；
（2）若该商店每销售1件种商品可获利8元，每销售1件种商品可获利6元，且商店将购进、共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求种商品至少购进多少件？
【答案】（1）A种进价为40元，B种进价为25元
（2）至少购进A种商品25件
【解析】
【分析】（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组解方程组即可求解；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（）件．根据获得的利润超过348元，建立不等式求出其解即可．
【小问1详解】
解：设A种进价为x元，B种进价为y元．
由题意，得，
解得：，
答：A种进价为40元，B种进价为25元．
【小问2详解】
设购进A种商品a件，则购进B种商品（）件．由题意，得
8a+6（）＞348，
解得：a＞24，
答：至少购进A种商品25件．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
25. （1）如图1，这是一个五角星，求的度数．
（2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数．
（3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数．
（4）如图4，求度数．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形内角与外角的关系，解答此类题目时利用三角形内角与外角的关系把多个角划到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理解答即可．
（1）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）延长交于点，再根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（4）连接，利用三角形内角和定理结合四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，
是的外角，
．
是的外角，
．
，
；
（2）如图，
是的外角，
．
是的外角，
．
，
；
（3）如图，延长交于点，
是的外角，
．
是的外角，
，
，
；
（4）如图，连接，
则，
∴
．
26. 如图，在平面直角坐标系中，两坐标轴上有三点，其中a，b是二元一次方程组的解，连接，在上有一点，其中m是不等式的最小整数解．

（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，过点E作轴于F，动点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，连接，点D是线段的中点，连接，设运动时间为t秒，的面积为y，直接写出y与t之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，过B点做的垂线，交直线于点G，动点Q从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点F匀速运动，点P、Q同时出发，其中一点停止运动，另一个点也停止运动，连接．当t为何值时，，并直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）12 （2）或
（3）；
【解析】
【分析】（1）解方程组得出，从而得出A、B、C三个点的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可；
（2）分两种情况：当点P在线段上，即时，当点P在线段的延长线上，即时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：由得：，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由不等式得：，
∵m是不等式的最小整数解，
∴，
∴，
∵动点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，
∴，
当点P在线段上，即时，如图所示：
，
∵点D是线段的中点，
∴；
当点P在线段的延长线上，即时，如图所示：
，
∵点D是线段中点，
∴；
综上分析可知：；
【小问3详解】
解：当点Q在线段上时，如图所示：
∵，
∴点Q运动到点E所用时间为：（秒），
∴此时点P在上，
∴，
∵，
∴，
解得：；
此时点Q的坐标为：；
当点Q在线段延长线上时，如图所示：
∴，
当时，
∵，
∴，
解得：；
此时点Q的坐标为：；
当时，
∵，
∴，
解得：，不符合题意舍去；
综上分析可知，；．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元二次方程，解不等式，三角形面积的计算，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．