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专题25 计数原理、概率、随机变量及其分布（全题型压轴题） 高考数学压轴题（新高考版）
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这是一份专题25 计数原理、概率、随机变量及其分布（全题型压轴题） 高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题25计数原理概率随机变量及其分布全题型压轴题教师版docx、专题25计数原理概率随机变量及其分布全题型压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc15063" ②二项式定理 PAGEREF _Tc15063 \h 4
\l "_Tc12505" ③概率综合 PAGEREF _Tc12505 \h 8
\l "_Tc26579" ④随机变量及其分布列 PAGEREF _Tc26579 \h 16
①排列、组合
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为.
故选：B
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
【答案】A
【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种，
若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种，
故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案.
故选：A.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种B．720种C．1080种D．1800种
【答案】C
【详解】恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；
第二步，从6个项目中选出3个排好，有.
根据分步计数原理可得，方法有；
4名学生所选的课全不相同的方法有.
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有.
故选：C.
4．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．
先求仅相邻的种数，把看作一个元素，
当排在首尾时，不同的排法有种；
当排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有种；
当排在第三个位置时，不同的排法有种，
故仅相邻共有种排法，
同理得仅相邻，仅相邻的情况，也都有种排法，
所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为．
故选：A.
5．（2023·贵州毕节·统考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（ ）
A．36种B．18种C．24种D．30种
【答案】D
【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.
后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.
故选：D
6．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有种，故A正确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种情况，
故共有种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾则有种排法，
故有种排法，故D正确；
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【详解】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．
故答案为：.
8．（2023·河南郑州·统考二模）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种．
【答案】240
【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法,
所以分配方案有种.
故答案为: 240.
②二项式定理
1．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设，则等于（ ）
A．45B．84C．120D．165
【答案】D
【详解】依题意，
.
故选：D
2．（多选）（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为
【答案】BC
【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；
则，
又的展开式的通项为，，
所以展开式中的常数项为，B正确；
含的项为，其系数为160，C正确；
展开式中无理项的系数之和为，D错误.
故选：BC.
3．（多选）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】令得：，所以选项A正确；
令得：，所以，所以选项B错误；
因为，
所以选项C正确；
，
两边对求导得：，
令得：，选项D错误；
故选：AC.
4．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，
的展开式的通项公式为，
，得，
，所以，故A正确；
令得，令，得，
所以，故B不正确；
，故C不正确；
由两边对求导得，
，
令，得，
所以，故D正确.
故选：AD
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）二项式的展开式中，所有项的系数和为1，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【详解】令，得的展开式中所有项的系数和为，解得，
则，
其中展开式的通项为（且），
令，解得，展开式中的项的系数为，
展开式中常数项为.
故答案为：
6．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）若，则 ．
【答案】
【详解】由题意，中含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
故.
故答案为：
7．（2023·河南·校联考模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 .
【答案】
【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．
整个式子中项可由，的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，
其中展开式的通项为（），
展开式的通项为（）；
故所求为．
故答案为：．
8．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）展开式中的系数是 .
【答案】
【详解】，
的通项公式为，，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
9．（2023·福建三明·统考三模）若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，6，8的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 .
【答案】
【详解】由，得，
于是展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
10．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ．
【答案】2
【详解】表示有5个因式相乘，来源如下：
有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，
此时系数是，即，解得：
故答案为：.
③概率综合
1．（2023·浙江·模拟预测）立德中学有甲､乙两家餐厅，如果赵同学上一天去甲餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.6，如果上一天去乙餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.8，已知赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5.
(1)求赵同学第二天去乙餐厅用午餐的概率；
(2)设赵同学第去甲餐厅用午餐的概率为，判断与的大小，并求.
【答案】(1)0.3
(2)；．
【详解】（1）因为赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5，,那么他去乙餐厅用午餐的概率也为0.5，则他第二天去乙餐厅用午餐的概率为；
（2）由已知，，，
，即，
因此，
，又，∴数列是等比数列，公比是，
∴，从而．
2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：）整理后得到如下表格：
(1)估计这名大学生每天课余学习时间的中位数；
(2)根据分层抽样的方法从课余学习时间在和，这两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽到的人的课余学习时间都在的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
这名大学生每天课余学习时间的中位数位于之间，
则中位数为.
（2）由题意知：从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为，从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为；
从这人中随机抽取人，所有的基本事件为：，共个基本事件；
其中“抽到的人的课余学习时间都在”包含的基本事件为：，共个基本事件；
抽到的人的课余学习时间都在的概率.
3．（2023·贵州遵义·统考三模）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程．为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄，，，，分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；
(2)为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从，，三组中抽取了6人，再从这6人中任意抽取2人来讲述自己所了解的中国航天的发展历程，求这2人中至少有1人的年龄位于之间的概率．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），得，
由图知：年龄位于这一组频率为0.35，此时频率最大，
所以，众数为.
（2）由题可得，后三组，，的人数比例为，
∴从后三组抽取的6人中有3人的年龄位于之间，分别记为，，；
2人的年龄位于之间，分别记为，；1人的年龄位于之间，记为，
从6人中任意抽取2人有：,
，共15种不同的方法.
则2人中至少有1人的年龄位于之间有如下情况：
，，，，，，，，，共有9种不同的情况，
则2人中至少有1人的年龄位于之间的概率为．
4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）某学校有两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
为了吸引学生就餐，餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张.
假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求的分布列和数学期望；
(3)餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去餐厅就餐的概率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率为，若餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去餐厅就餐的概率是，求.
【答案】(1)0.3，0.4
(2)，分布列见解析
(3)
【详解】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐”，
事件D为“乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以.
（2）由题意知，可以取的值为：0，1，2
，，，
故的分布为：
.
（3）设表示事件“去餐厅就餐获奖”，
表示事件“学生甲午餐去餐厅就餐”，
由题知，，，，，
则，
解得.
即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率.
5．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有人，
其中体验戏曲活动的学生共人，
设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为.
（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
所以，，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
（3）解：由题可知，，，
，，，
故，所以当取得最大值时，.
6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为，
列举出中国队的出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：
①负于，只有一种情况，获胜的概率为；
②负于，此前共淘汰4人，及，共进行4场比赛，而日本队负1场，有种情况，获胜的概率为；
③负于，此前共进行5场比赛，日本队负2场，共有种情况，获胜的概率为；
④负于，此前共进行6场比赛，日本队负3场，共有种情况，获胜的概率为；
⑤负于，此前共进行7场比赛，日本队负4场，共有种情况，获胜的概率为，
这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为：.
方法二：由于两队的实力相当，则可认为与（）比赛时，获胜的概率为，
而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的出场且获得胜利，就有9人被淘汰，则共进行了9场比赛，
且最后一场是中国队胜，在此之前的8场比赛中，中国队必胜4场，负4场（若胜5场，则不必出场），
所以所求事件的概率为.
（2）中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了场比赛，
前场比赛中，中国队被淘汰了人，负了场，
所以.
（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是胜的个互斥事件的和，
由（2）知，胜的概率为，
所以中国队获得擂台赛胜利的概率.
7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）.
(1)若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
(2)求使取得最大值的整数.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件A：“顾客甲第一次抽中”，事件B：“顾客甲第二次抽中”，
因为A与B是相互独立事件，所以与相互独立，
由于，
故，
所以甲被抽中的概率；
（2）“由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，
抽取两次”所包含的基本事件总数为，
当时，两次都中奖的人数为，只在第一次中奖的顾客人数为，
只在第二次中奖的顾客人数也为，
由乘法原理知：事件所包含的基本事件数为，
，，
由可得：，
整理得：，
化简得：，
则有，
整理得，解得，即，
因为为整数，所以，
所以取到最大值时，.
④随机变量及其分布列
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．
(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
【答案】(1)最大值点
(2)小李应选规则一参加比赛．
【详解】（1）由题意得则，
则，
令，得，
当时，，在区间内单调递增，当时，，在区间内单调递减，所以的最大值点．
（2）若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．
则，则，
记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则，．
若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．
记小李第k次投进为事件，未投进为事件，
所以投进0次对应事件为，其概率为；
投进1次对应事件为，
其概率；
投进2次对应事件为，
其概率．
投进3次对应事件为，
其概率，
所以Z的分布列为
所以；
记L为小李所得鸡蛋的盒数，则，，
因为，所以小李应选规则一参加比赛．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.
【答案】(1)7点47分
(2)
(3)12
【详解】（1）根据题意可知若7点46分出门，则一定不会迟到；若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到，则迟到的概率为，不迟到的概率为，
若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，迟到的概率为，
迟到的概率为，
所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发.
（2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为，不迟到的概率为，
所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率为.
（3）方法1：根据题意可知小李每天上班时长可能得取值为，11，12，13，14（分钟），则
，
，
，
的分布列为
所以上班路平均时长为（分钟）.
方法2：设小李每天上班时长，11，12，13，14（分钟），
易知遇到的红灯个数，1，2，3，4服从，
所以，
所以（分钟）.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．
(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．
①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；
②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望；
(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析
【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以；
②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以.
（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元，
设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始，
到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量，
则，其中，而，
所以，
所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为，
所以应该去乙店购买非盲盒文具．
4．（2023·江西景德镇·统考三模）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.
(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.
【答案】(1)报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为
(2)
【详解】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则；
该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则.
（2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，；
该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为，
；
；
；
；
随机变量的分布列：
；
该考生更有希望进入大学的面试环节，，即，
解得：，的范围为.
5．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）由直方图可知，
解得．
因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，
解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，
，
则的分布列为
6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为，.
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大
【详解】（1）记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，
这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
所以.
（2）设小明每天赢得的局数为，则易知，
于是.
假设赢得局的概率最大，则据条件得，
即，
整理得，解之得，
又因为，所以，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
7．（2023·河南开封·统考三模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随机变量，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：，．
【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系
(2)分布列见解析，期望，方差．
【详解】（1）由频率分布表可得列联表如下：
所以的观测值，
因为，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系．
（2）由频率估计概率知：从当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
于是为，
，
，
所以随机变量的分布列为：
期望，
方差．
课余学习时间
人数
选择餐厅情况（午餐，晩餐）
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天
传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴
汉服
戏曲
面塑
高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数
40
60
60
80
40
高三体验人数
15
50
40
75
30
Z
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
5
4
3
2
FI
男
411
579
101
79
女
417
463
162
258
非虚弱
虚弱
总计
男
1170
女
1300
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非虚弱
虚弱
总计
男
990
180
1170
女
880
420
1300
总计
1870
600
2470
0
1
2
\l "_Tc15063" ②二项式定理 PAGEREF _Tc15063 \h 4
\l "_Tc12505" ③概率综合 PAGEREF _Tc12505 \h 8
\l "_Tc26579" ④随机变量及其分布列 PAGEREF _Tc26579 \h 16
①排列、组合
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为.
故选：B
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
【答案】A
【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种，
若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种，
故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案.
故选：A.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种B．720种C．1080种D．1800种
【答案】C
【详解】恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；
第二步，从6个项目中选出3个排好，有.
根据分步计数原理可得，方法有；
4名学生所选的课全不相同的方法有.
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有.
故选：C.
4．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．
先求仅相邻的种数，把看作一个元素，
当排在首尾时，不同的排法有种；
当排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有种；
当排在第三个位置时，不同的排法有种，
故仅相邻共有种排法，
同理得仅相邻，仅相邻的情况，也都有种排法，
所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为．
故选：A.
5．（2023·贵州毕节·统考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（ ）
A．36种B．18种C．24种D．30种
【答案】D
【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.
后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.
故选：D
6．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有种，故A正确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种情况，
故共有种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾则有种排法，
故有种排法，故D正确；
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【详解】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．
故答案为：.
8．（2023·河南郑州·统考二模）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种．
【答案】240
【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法,
所以分配方案有种.
故答案为: 240.
②二项式定理
1．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设，则等于（ ）
A．45B．84C．120D．165
【答案】D
【详解】依题意，
.
故选：D
2．（多选）（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为
【答案】BC
【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；
则，
又的展开式的通项为，，
所以展开式中的常数项为，B正确；
含的项为，其系数为160，C正确；
展开式中无理项的系数之和为，D错误.
故选：BC.
3．（多选）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】令得：，所以选项A正确；
令得：，所以，所以选项B错误；
因为，
所以选项C正确；
，
两边对求导得：，
令得：，选项D错误；
故选：AC.
4．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，
的展开式的通项公式为，
，得，
，所以，故A正确；
令得，令，得，
所以，故B不正确；
，故C不正确；
由两边对求导得，
，
令，得，
所以，故D正确.
故选：AD
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）二项式的展开式中，所有项的系数和为1，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【详解】令，得的展开式中所有项的系数和为，解得，
则，
其中展开式的通项为（且），
令，解得，展开式中的项的系数为，
展开式中常数项为.
故答案为：
6．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）若，则 ．
【答案】
【详解】由题意，中含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
故.
故答案为：
7．（2023·河南·校联考模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 .
【答案】
【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．
整个式子中项可由，的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，
其中展开式的通项为（），
展开式的通项为（）；
故所求为．
故答案为：．
8．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）展开式中的系数是 .
【答案】
【详解】，
的通项公式为，，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
9．（2023·福建三明·统考三模）若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，6，8的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 .
【答案】
【详解】由，得，
于是展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
10．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ．
【答案】2
【详解】表示有5个因式相乘，来源如下：
有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，
此时系数是，即，解得：
故答案为：.
③概率综合
1．（2023·浙江·模拟预测）立德中学有甲､乙两家餐厅，如果赵同学上一天去甲餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.6，如果上一天去乙餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.8，已知赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5.
(1)求赵同学第二天去乙餐厅用午餐的概率；
(2)设赵同学第去甲餐厅用午餐的概率为，判断与的大小，并求.
【答案】(1)0.3
(2)；．
【详解】（1）因为赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5，,那么他去乙餐厅用午餐的概率也为0.5，则他第二天去乙餐厅用午餐的概率为；
（2）由已知，，，
，即，
因此，
，又，∴数列是等比数列，公比是，
∴，从而．
2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：）整理后得到如下表格：
(1)估计这名大学生每天课余学习时间的中位数；
(2)根据分层抽样的方法从课余学习时间在和，这两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽到的人的课余学习时间都在的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
这名大学生每天课余学习时间的中位数位于之间，
则中位数为.
（2）由题意知：从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为，从课余学习时间在这一组抽取人，分别记为；
从这人中随机抽取人，所有的基本事件为：，共个基本事件；
其中“抽到的人的课余学习时间都在”包含的基本事件为：，共个基本事件；
抽到的人的课余学习时间都在的概率.
3．（2023·贵州遵义·统考三模）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程．为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄，，，，分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；
(2)为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从，，三组中抽取了6人，再从这6人中任意抽取2人来讲述自己所了解的中国航天的发展历程，求这2人中至少有1人的年龄位于之间的概率．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），得，
由图知：年龄位于这一组频率为0.35，此时频率最大，
所以，众数为.
（2）由题可得，后三组，，的人数比例为，
∴从后三组抽取的6人中有3人的年龄位于之间，分别记为，，；
2人的年龄位于之间，分别记为，；1人的年龄位于之间，记为，
从6人中任意抽取2人有：,
，共15种不同的方法.
则2人中至少有1人的年龄位于之间有如下情况：
，，，，，，，，，共有9种不同的情况，
则2人中至少有1人的年龄位于之间的概率为．
4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）某学校有两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
为了吸引学生就餐，餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张.
假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求的分布列和数学期望；
(3)餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去餐厅就餐的概率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率为，若餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去餐厅就餐的概率是，求.
【答案】(1)0.3，0.4
(2)，分布列见解析
(3)
【详解】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐”，
事件D为“乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以.
（2）由题意知，可以取的值为：0，1，2
，，，
故的分布为：
.
（3）设表示事件“去餐厅就餐获奖”，
表示事件“学生甲午餐去餐厅就餐”，
由题知，，，，，
则，
解得.
即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率.
5．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有人，
其中体验戏曲活动的学生共人，
设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为.
（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
所以，，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
（3）解：由题可知，，，
，，，
故，所以当取得最大值时，.
6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为，
列举出中国队的出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：
①负于，只有一种情况，获胜的概率为；
②负于，此前共淘汰4人，及，共进行4场比赛，而日本队负1场，有种情况，获胜的概率为；
③负于，此前共进行5场比赛，日本队负2场，共有种情况，获胜的概率为；
④负于，此前共进行6场比赛，日本队负3场，共有种情况，获胜的概率为；
⑤负于，此前共进行7场比赛，日本队负4场，共有种情况，获胜的概率为，
这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为：.
方法二：由于两队的实力相当，则可认为与（）比赛时，获胜的概率为，
而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的出场且获得胜利，就有9人被淘汰，则共进行了9场比赛，
且最后一场是中国队胜，在此之前的8场比赛中，中国队必胜4场，负4场（若胜5场，则不必出场），
所以所求事件的概率为.
（2）中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了场比赛，
前场比赛中，中国队被淘汰了人，负了场，
所以.
（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是胜的个互斥事件的和，
由（2）知，胜的概率为，
所以中国队获得擂台赛胜利的概率.
7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）.
(1)若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
(2)求使取得最大值的整数.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件A：“顾客甲第一次抽中”，事件B：“顾客甲第二次抽中”，
因为A与B是相互独立事件，所以与相互独立，
由于，
故，
所以甲被抽中的概率；
（2）“由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，
抽取两次”所包含的基本事件总数为，
当时，两次都中奖的人数为，只在第一次中奖的顾客人数为，
只在第二次中奖的顾客人数也为，
由乘法原理知：事件所包含的基本事件数为，
，，
由可得：，
整理得：，
化简得：，
则有，
整理得，解得，即，
因为为整数，所以，
所以取到最大值时，.
④随机变量及其分布列
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．
(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
【答案】(1)最大值点
(2)小李应选规则一参加比赛．
【详解】（1）由题意得则，
则，
令，得，
当时，，在区间内单调递增，当时，，在区间内单调递减，所以的最大值点．
（2）若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．
则，则，
记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则，．
若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．
记小李第k次投进为事件，未投进为事件，
所以投进0次对应事件为，其概率为；
投进1次对应事件为，
其概率；
投进2次对应事件为，
其概率．
投进3次对应事件为，
其概率，
所以Z的分布列为
所以；
记L为小李所得鸡蛋的盒数，则，，
因为，所以小李应选规则一参加比赛．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.
【答案】(1)7点47分
(2)
(3)12
【详解】（1）根据题意可知若7点46分出门，则一定不会迟到；若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到，则迟到的概率为，不迟到的概率为，
若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，迟到的概率为，
迟到的概率为，
所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发.
（2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为，不迟到的概率为，
所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率为.
（3）方法1：根据题意可知小李每天上班时长可能得取值为，11，12，13，14（分钟），则
，
，
，
的分布列为
所以上班路平均时长为（分钟）.
方法2：设小李每天上班时长，11，12，13，14（分钟），
易知遇到的红灯个数，1，2，3，4服从，
所以，
所以（分钟）.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．
(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．
①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；
②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望；
(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析
【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以；
②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以.
（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元，
设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始，
到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量，
则，其中，而，
所以，
所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为，
所以应该去乙店购买非盲盒文具．
4．（2023·江西景德镇·统考三模）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.
(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.
【答案】(1)报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为
(2)
【详解】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则；
该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则.
（2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，；
该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为，
；
；
；
；
随机变量的分布列：
；
该考生更有希望进入大学的面试环节，，即，
解得：，的范围为.
5．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）由直方图可知，
解得．
因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，
解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，
，
则的分布列为
6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为，.
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大
【详解】（1）记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，
这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
所以.
（2）设小明每天赢得的局数为，则易知，
于是.
假设赢得局的概率最大，则据条件得，
即，
整理得，解之得，
又因为，所以，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
7．（2023·河南开封·统考三模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随机变量，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：，．
【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系
(2)分布列见解析，期望，方差．
【详解】（1）由频率分布表可得列联表如下：
所以的观测值，
因为，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系．
（2）由频率估计概率知：从当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
于是为，
，
，
所以随机变量的分布列为：
期望，
方差．
课余学习时间
人数
选择餐厅情况（午餐，晩餐）
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天
传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴
汉服
戏曲
面塑
高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数
40
60
60
80
40
高三体验人数
15
50
40
75
30
Z
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
5
4
3
2
FI
男
411
579
101
79
女
417
463
162
258
非虚弱
虚弱
总计
男
1170
女
1300
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非虚弱
虚弱
总计
男
990
180
1170
女
880
420
1300
总计
1870
600
2470
0
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