初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和当堂检测题

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一、单选题
1．内角和为540°的多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
2．一个仿古窗户的轮廓是一个正五边形，它的一个内角度数是（ ）
A．72°B．108°C．540°D．360°
3．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，那么∠5的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
4．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，点E为∠ABC与∠BCD的角平分线的交点，则∠E的度数是（ ）．

A．90°−αB．90°+αC．12αD．360°−α
5．如图，n个相同的正五边形恰好可以围成一个环状，则n的值为（ ）

A．8B．10C．12D．14
6．如图，把△ABC沿EF折叠，折叠后的图形如图所示，∠A=50°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
7．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于（ ）
A．10°B．12°C．15°D．20°
8．在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为2024°”．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是（ ）
A．24°B．44°C．136°D．144°
二、填空题
9．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 边形．
10．若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形是正 边形．
11．如图，在正六边形ABCDEF中，则∠DBE= ．
12．如图，一个正方形和一个正五边形各有一边AB，CD在直线l上，且只有一个公共顶点P，则∠BPC的度数为 ．
13．如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠HAD= 度．
14．如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转72°，再沿直线前进5米，又向左转72°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n⋅90°，则n= ．
16．在一张五边形纸片ABCDE（如图①）中，若∠A＝∠D，AE⊥DE，∠C＝95°，∠B＝110°，将∠A以BE为折痕往下折，点A恰好落在CD上（如图②），再分别以AB，AE为折痕，将∠C与∠D分别往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上（如图③），则图③中∠CAD的度数为 ．
三、解答题
17．如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°．
(1)这个多边形的内角和是多少度？
(2)求这个多边形的对角线的总条数．
18．已知一个n边形的每一个外角都等于30°．
(1)该n边形是否一定是正n边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个n边形的内角和；
(3)从这个n边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
19．小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求∠1的度数．
20．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，求图中∠AED的值．

21．如图所示，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G的度数．
22．已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】
（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；
（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α,β表示）
（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α,β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
参考答案
1．解：设该多边形的边数为n，由题意得：
180°×n−2=540°，
∴n=5，
∴该多边形为五边形；
故选：B．
2．解：5−2×180°÷5=108°．
故选B．
3．解：由题意得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，
∴∠5=360°−280°=80°，
故选：C．
4．解：∵∠A+∠D=α，
∴∠ABC+∠BCD=360°−α，
∵EB、EC为角平分线，
∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠BCD)=12(360°−α)
∴∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−12(360°−α)
即：∠E=12α．
故答案为：C．
5．解：正五边形每个内角的度数为：5−2×180°5=108°，
正n边形每个内角的度数为：360°−108°−108°=144°，
正n边形每个外角的度数为：180°−144°=36°，
正n边形的边数n=360°÷36°=10，
故选B．
6．解：∵∠A=50°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−50°=130°，
∴∠FEB+∠EFC=360°−130°=230°，
∵把△ABC沿EF对折，
∴∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=230°，
∴∠1+∠2=∠B′EF+∠EFC′−∠AEF+∠AFE=230°−130°=100°
故选：D．
7．解：在图中标上点A，B，C，如图所示，
根据题意得：∠BAC=180°−∠2−90°=180°−40°−90°=50°；
∠ABC=180°−∠1−60°=180°−50°−60°=70°；
∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−50°−70°=60°．
∴∠3=180°−∠ACB−(5−2)×180°5=180°−60°−108°=12°．
故选：B．
8．解：由多边形内角和公式(n−2)×360°
知多边形的内角和是360°的整数倍
5×360°=1800°
6×360°=2160°
2160°−2024°=136°
故选：C．
9．解：设多边形的边数为n，
由题意得，n−2⋅180°=360°，
解得n=4，
∴这个多边形是四边形，
故答案为：四．
10．解：外角是180°−120°=60°，
360°÷60=6，则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
11．解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴BC=CD，∠C=∠ABC=16×6−2×180°=120°，
∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC=60°．
∵BC=CD，
∴∠CBD=12180°−∠C=180°−120°=30°，
∴∠DBE=∠CBE−∠CBD=60°−30°=30°．
故答案为：30°．
12．解：正五边形的一个内角∠PCD=5−2×180°5=108°，正方形的一个内角∠PBA=4−2×180°4=90°，
∴∠PCB=180°−108°=72°，∠PBC=180°−90°=90°，
∴∠BPC=180°−90°−72°=18°，
故答案为：18°．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵六边形BEFGHA是正六边形，
∴∠HAB=180°6−26=120°，
∴∠HAD=360°−∠DAB+∠HAB=360°−90°+120°=150°．
故答案为：150．
14．解：第一次回到出发点A时，
走的图形是正多边形，且每个外角为72°，
∴72°n=360°，
解得：n=5，
∴共走路程为5×5=25（米），
故答案：25．
15．解：连接AB，设AD与BG交于点O，
∵∠BOA=∠DOG，∠ABO+∠BAO+∠BOA=∠D+∠G+∠DOG=180°，
∴∠ABO+∠BAO=∠D+∠G，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n⋅90°=五边形ABCEF内角和，
由多边形内角和公式可得：n⋅90°=5−2×180°，
解得：n=6，
故答案为：6．
16．65°
17．（1）解：设这个正多边形的一个外角为x°，
依题意有x+4x+30=180，
解得x=30，
360°÷30°=12
∴这个正多边形是十二边形．
∴这个正多边形的内角和为(12−2)×180°=1800°
（2）解：对角线的总条数为(12−3)×122=54(条) ．
18．（1）解：∵一个n边形的每一个外角都等于30°，
∴该n边形的每一个内角都等于：180°−30°=150°，
但该n边形的各边不一定都相等，
故该n边形不一定是正n边形，
故答案为：不一定是；
（2）∵多边形的外角和是360°，
∴n=360÷30=12，
∴内角和是：180°×12−2=1800°，
∴这个n边形的内角和为1800°；
（3）从n边形的一个顶点出发，可以画出n−3条对角线，
∵n=12，
∴n−3=12−3=9，
∴从这个n边形的一个顶点出发，可以画出9条对角线．
故答案为：9．
19．（1）解：正三角形一个内角是60°，
正方形的一个内角是90°，3×60°+2×90°=360°
正五边形的一个内角是180°×5−25=108°，
正六边形的一个内角是180°×6−26=120°，2×60°+2×120°=360°
∴可以进行地面的镶嵌是②或④．
（2）解：正五边形的每个内角度数为180°×5−25=108°．
所以，∠1=360°−108°×3=36°．
20．解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED=540°，∠A=150°，∠D=160°，
∴∠AED=540°−∠A−∠B−∠C−∠D=50°．
21．解：连接BF，如图：
记∠ABF为∠1，∠GFB为∠2，则∠A+∠G=∠1+∠2．
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G
=∠1+∠2+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG
=5−2×180°
=540°．
22．解：（1）∵ ∠ADC=110°,∠BCD=120°，
∴ ∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD=360°−110°−120°=130°，
∵ ∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，
∴ ∠FAB=12∠DAB,∠FBE=12∠CBE，
∵ ∠F+∠FAB=∠FBE，
∴ ∠F=∠FBE−∠FAB=12∠CBE−12∠DAB=12180°−∠ABC−∠DAB=12×180°−130°=25°，
故答案为：25；
（2）由（1）得∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD，∠F=12180°−∠ABC−∠DAB，
∴ ∠F=12180°−360°+∠ADC+∠BCD=12180°−360°+α+β=12α+12β−90°，
故答案为：12α+12β−90°；
（3）若AG∥BH，则α+β=180°，证明如下：
∵ AG∥BH，
∴ ∠GAB=∠HBE，
∵ AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴ ∠DAB=2∠GAB,∠CBE=2∠HBE，
∴ ∠DAB=∠CBE，
∴ AD∥BC，
∴ ∠ADC+∠BCD=α+β=180°；
挑战：如图4，∠AFB=90°−12α−12β，证明如下：
∵ AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴ ∠MAB=12∠DAB,∠NBE=12∠CBE，
∵ ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠ADC=α,∠BCD=β，
∴ ∠DAB+∠ABC=360°−α−β，
∴ ∠DAB+180°−∠CBE=360°−α−β，
∴ ∠DAB−∠CBE=180°−α−β，
∵ ∠ABF=∠NBE，∠MAB=∠F+∠ABF，
∴ ∠MAB=∠AFB+∠NBE，
∴ ∠AFB=∠MAB−∠NBE=12∠DAB−12CBE=12∠DAB−180°+∠ABC
=12360°−α−β−180°=90°−12α−12β