安徽省合肥市第六中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合均是的子集，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集，补集和包含关系定义即得.
【详解】因为，所以
故选：.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】，
故选:B.
3. 不存在函数，满足（ ）
A 定义域相同，值域相同，但对应关系不同
B. 值域相同，对应关系相同，但定义域不同
C. 定义域相同，对应关系相同，但值域不同
D. 定义域不同，对应关系不同，但值域相同
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD，举例判断，对于C，由两函数相等的条件分析判断.
【详解】对于A，如，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A错误，
对于B，如，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B错误，
对于C，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，
所以不存在函数，满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C正确，
对于D，如，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D错误，
故选：C
4. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.
【详解】由可得，解得，
所以或，
故选:.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.
【详解】由题可知，的定义域为，
又因为，
所以，为偶函数．
当时，，当时，，当时，.
故选：C．
6. 已知函数是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】由条件可知，,
故选：C.
7. 中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道宽度，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽变为原来的3倍，信噪比从1000提升到16000，则大约是原来的（ ）倍（其中）
A. 4.1B. 4.2C. 4.3D. 4.4
【答案】B
【解析】
分析】由即可求解.
【详解】解：当时，，
当时，，
则，
故大约是原来的4.2倍.
故选：B.
8. 已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
二､多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.
9. 下列关于单调性的表述中，错误的是（ ）
A. ，若，则函数在区间上单调递增
B. 且，若，则函数在区间上单调递增
C. 且，若，则函数在区间上单调递增
D. ，若，则函数在区间上单调递增
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义逐一判断.
【详解】对于A：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故错误；
对于：不满足两个自变量的任意性，故B错误；
对于C：与单调递增的定义吻合，故C正确；
对于：，得，或，
则函数在区间上单调递增，故D正确，
故选:.
10. 已知实数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A、C；结合指数函数，对数函数的单调性判断B、D.
【详解】对于，又，
故由不等式的同向可加性可得，故正确；
对于B：，故在R上单调递增，又，
故，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：，
故，
又，故，结合可知，错误，
故选：.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若命题，，则的否定为：，
B. 若不等式的解集为或，则
C. 若对恒成立，则实数的取值范围为
D. 定义在上的奇函数､偶函数在上单调递减，则
【答案】BC
【解析】
【分析】结合全称量词命题的否定，不等式的解集及函数的单调性与奇偶性依次判断即可.
【详解】解：对于A：量词任意改成存在，结论否定应是小于等于，故A不正确；
对于B：不等式解集为或，
则方程两根为，且，故，
则，故B正确；
对于C：设函数，则单调递增，
故，对恒成立，则只需，
即，故C正确；
对于D：偶函数在上单调递减，
在上单调递增，
奇函数在上单调递减，
在上单调递减，D错误.
故选：BC.
12. 已知，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值是
C. 的最小值是8D. 的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D.
【详解】对于A，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，矛盾，故等号取不到，故错误，
故选：AC.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三､填空题：本大题共4小题.
13. 已知幂函数过点，则不等式解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】代入法求出，再利用符号法则求解不等式.
【详解】设，则，所以，
，
即，解集为.
故答案为：
14. 已知函数是函数的反函数，则过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解
【详解】函数是函数的反函数，
又函数过定点所以函数过定点.
故答案：
15. 已知平面直角坐标系，点在半径为2的圆上，现点从圆与轴非负半轴的交点出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点的纵坐标为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得.
【详解】由题意，点顺时针转过了角，
故，
.
故答案为：1.
16. 已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为，若，则实数的取值范围是__________.（）
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的类周期性作出函数的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，
则当时，，
当时，，此时，
当时，，此时，
依次类推：作出函数的图象：
的零点转化为函数与的交点的横坐标，作出函数和的图象
由图象知，当时,,，
即是函数在,内的唯一一个根，
则是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
是函数在,内的唯一一个根，
，
，
在,内没有根，则，
故实数的取值范围是
故答案为：．
四､解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，对任意实数恒成立.
（1）计算、的值；
（2）试探究与的关系，并证明你的结论.
【答案】（1），
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性求函数解析式，进而可得结果；
（2）根据（1）中函数解析式分析证明.
【小问1详解】
由得，
因为为偶函数，为奇函数，则，
即，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知：，，
探究结果：.
证明如下：，，
所以.
18. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，
（1）计算的值；
（2）计算的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，得，所以，再利用弦化切求值；
（2）先求出，再因式分解求值即可.
【小问1详解】
由已知，关于的不等式的解集中有且只有一个元素，
，则.
.
【小问2详解】
，
，
.
19. 已知函数．
（1）若，，解关于的不等式；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先转化为关于的不等式，然后对进行分类讨论即可；
（2）先求出和，再应用待定系数法求出，最后应用不等式的性质相加即可.
【小问1详解】
因为，所以，
又因，所以，
所以，代入可得，
即，即
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
所以当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为；
【小问2详解】
，
又因为，令，解得，
而，两式相加可得，所以，
即.
20. 已知常数，函数，
（1）若，求关于的不等式的解集；
（2）若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）然后根据对数的单调性进行求解即可.
（2）函数至少有一个零点在内，化简为在上有解，对和讨论即可.
【小问1详解】
当时，函数
或，
即不等式的解集为.
【小问2详解】
，
即且，
故至少有一个零点在内，
即在上有解，且，
当时，，不符合题意；
当时，或，，所以，
则
综上所述，实数的取值范围是.
21. 是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当时，．
（1）判断的单调性并加以证明；
（2）不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）判断出在上为增函数，令，可得出，令，可得出，然后任取、且，可得出，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）将已知不等式变形可得，利用（1）中的结论可得，整理可得对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数在上为增函数，证明如下：
令，可得，则，
令，可得，所以，，
任取、且，则，故，
所以，，即，
因此，函数在上为增函数.
【小问2详解】
由可得，
所以，，整理可得对任意的恒成立，
当时，即，则有，解得，不合乎题意；
当时，则有，解得.
因此，实数的取值范围是.
22. 已知函数，
（1）试判断函数的单调性（无需证明），若在上的最小值为，求的值；
（2）证明：函数有且仅有一个零点，且.
【答案】（1）增函数，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数的性质判断单调性和求参数即可.
（2）先利用零点存在性定理确定范围，再证明即可.
【小问1详解】
当时，函数是增函数，又函数在上也是增函数，
在上是增函数，（做出判断即可，无需证明）
在上的最小值为，即.
【小问2详解】
定义域为，在上单调递增，
当时，，函数在上不存在零点.
当时，函数是增函数，，
即，又在上单调递增，
在内存在唯一的零点，且，
此时，故要证，
即证，
即证，
设，则在上单调递减，，
即当时，，，
设，则在上单调递增，，
即，
综上所述，函数有且仅有一个零点，且.