2023年高考数学【讲通练透】 真题完全解读（全国乙卷文科）

这是一份2023年高考数学【讲通练透】 真题完全解读（全国乙卷文科），共27页。试卷主要包含了提升考试成绩，调整备考重点，适应题型变化等内容，欢迎下载使用。

一、提升考试成绩。分析历年真题可以帮助考生更好地了解考试内容和形式，从而提升考试成绩。通过研究历年真题，考生可以掌握考试的命题趋势和出题规律，了解各个知识点的考查频率和重要程度。这样一来，考生就能够有针对性地进行备考，把握重点和难点，提高答题的准确性和速度。
二、调整备考重点。分析历年真题还可以帮助考生调整备考的重点。通过研究历年真题，考生可以了解到各个知识点的考查频率和重要性，从而有针对性地调整备考的重点。相反，如果某个知识点在历年真题中很少或没有出现，那么考生就可以适度减少对该知识点的关注，将更多时间和精力放在其他更重要的知识点上。
三、适应题型变化。随着时间的推移，考试的题型和形式往往会有一定的变化。分析历年真题可以帮助考生及时了解题型的变化趋势，适应新的考试形式。通过研究历年真题，考生可以了解到每个题型的命题规律和解题技巧，从而更好地应对新的考试形式。
2023年高考数学【讲通练透】
真题完全解读（乙卷文科）
2023年高考数学全国卷乙卷文科数学与2022年相比试题平和,模式相对稳定,难度稍降,没有开放题,没有不良结构题,对新教材删除的三视图、古典概型、线性规划都进行了考查,但难度不大.总的来说试卷能反映新时代基础教育课程理念,落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求,全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养,体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求,突出理性思维,发挥数学科在人才选拔中的重要作用.具体来说,该试卷有以下特点：
一、充分发挥基础学科的作用,突出素养和能力考查,甄别思维品质、展现思维过程,给考生搭就了展示的舞台、发挥的空间,致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔.首先是重点考查逻辑推理素养,如第10题的三角函数综合问题,第19题的线面位置关系证明,都考查了思维的条理性、严谨性.深入考查直观想象素养,如第3题的三视图、第7题的几何概型都考查直观想象、又如第19题以几何体为依托,考查空间线面关系.扎实考查数学运算素养,要求考生理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.如第3题的表面积的计算,第4题的解三角形及第6题的数量积运算,都需要借助运算求解,又如17题平均数与方差的计算都考查数学运算素养.
二、试卷在命制情境化试题过程中,在剪裁素材时,控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题时,设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题时,设置合适的运算过程和运算量,力求使情境化试题达到试题要求层次和考生认知水平的契合与贴切.首先是现实生活情境,数学试题情境取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.如第7题以学校作文比赛主题选择学的情境考查古典概型,背景学生比较熟悉,又能引导学生全面发展.其次是科学研究情境与劳动生产情境,如第17题取材于橡胶生产的实际情境,比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,借助假设检验的基本思想,利用样本平均数和方差作为工具进行统计推断,考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.
三、在反套路,反机械刷题上下功夫,突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求.同时,合理控制试题难度,科学引导中学教学,力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接,促进考教衔接,引导学生提高在校学习效率,避免机械、无效的学习.
突出基础性要求,试卷在选择题和填空题部分均设置了多个知识点,全面考查了集合、复数、平面向量、古典概型、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容,实现了对基础知识的全方位覆盖.同时在解答题部分深入考查基础,考查考生对基础知识和基本方法的深刻理解和融会贯通的应用.如第17题考查统计抽样中样本的基本数字特征,考查考生对样本平均数、样本方差等概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合.彰显综合性要求,如第10题是把三角函数的单调性、对称性、三角函数的图象及三角函数求值交汇考查.体现创新性要求,通过命题创新,创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式,考查考生思维的灵活性与创造性,如第10题的立体几何题、第21的解析几何题.
1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.
2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求
4. 第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.
5. 对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.
2023年全国卷乙卷理科数学试题及解读
1．=（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
【命题意图】本题考查的性质及复数的模,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】由题意可得,
则.故选C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
2．设全集,集合,则（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的并集与补集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
因为,所以,=,故选A.
因为,所以,=,故选A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
3.如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（ ）

A．24B．26C．28D．30
【命题意图】本题考查三视图及组合体的表面积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：较易.
【答案】D
【解析】如图所示,在长方体中,,,
点为所在棱上靠近点的三等分点,为所在棱的中点,
则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体,

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,其表面积为.故选D.
【点评】有关三视图的试题,大多与几何体的体积、表面积交汇考查,难度一般不大,属于送分题.
【知识链接】1.三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
2. 多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积要注意衔接部分的处理．
4.在中,内角的对边分别是,若,且,则（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查正弦定理的应用,考查逻辑推理、数学运算的核心素养.难度：较易.
【解析】解法一：由正弦定理及得,即,因为,所以,,所以=,故选C.
解法二：由题意结合正弦定理可得,
即,
整理可得,由于,故,
据此可得,则.故选C.
【点评】三角函数与解三角形是高考中的重点,若解答题中没有解三角形,则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题,这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B),b＝eq \f(asin B,sin A),c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b),sin B＝eq \f(bsin A,a),sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,求,有时可配方把式子化为整体代入求值．
5．已知是偶函数,则（ ）
A．B．C．1D．2
【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：较易
【答案】D
解法一：因为是偶函数,所以
=,所以,故选D.
解法二：因为是偶函数,且,所以,故选D.
【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
(4)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(5)若奇函数在x＝0处有意义,则f(0)＝0.
2.常见的奇函数与偶函数
,,是奇函数,是偶函数
6. 正方形的边长是2,是的中点,则（）
A. B. 3C. D. 5
【命题意图】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算、直观想象等核心素养.难度：较易.
【解析】
解法一：因为E是AB中点,
所以
=,故选B.
解法二：如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
则,可得,
所以；
解法三：由题意可得：,
在中,由余弦定理可得,
所以.故选B.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.
【知识链接】与几何图形有关的数量积计算,思路一是选取2个不共线向量作为基底,把其他向量用基底表示,然后利用数量积的性质及定义求解,二是建立坐标系,把问题转化为向量的坐标运算.
7.设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查以面积为测度的几何概型,体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.难度：较易.
【答案】C
【解析】如图所示,点A位于阴影区域内,其中阴影区域面积是圆环面积的,所以所求概率为,故选C.
【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年热点题,如程序框图、线性规划、三视图、几何概型等,受新教材的影响,这些内容的考查热点有所降低,但不要认为新教材删除的内容都不考,如本卷中考查了三视图、几何概型及线性规划.
【知识链接】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．
8. 函数存在3个零点,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查导数在研究函数性质中的应用,考查数学运算、直观想象等核心素养.难度：中等
【解析】因为,所以,若,单调递增,只有1个零点,不满足题意,所以,由得,结合的图象,可得,即,所以,故选B.
【知识连接】函数有3个零点的充要条件是有2个极值点,且.
9. 某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查古典概型,考查数学建模、数据分析的核心素养.难度：中等.
【答案】A
【解析】因为共有6个主题,甲乙两位学生抽取1个主题,结果有36种,其中抽到的主题相同的结果有6种,所以甲乙两位学生抽到不同主题的概率为,故选A.
【点评】文科对概率的考查一般以客观题形式考查,难度基本都不大.
【知识链接】求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率．
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
10．已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条对称轴,则（ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：较难.
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增,所以,且,则,,当时,取得最小值,则,,
则,,不妨取,则,则,
故选D.
【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题具有综合性,把三角函数的图象、单调性、对称性及三角函数求值交汇考查.
【知识链接】1.根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
2.f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象关于直线对称,则,关于点对称,则.
11. 已知实数满足,则的最大值是（）
A. B. 4C. D. 7
【命题意图】本题考查圆的方程,考查直观想象、逻辑推理的核心素养,难度；较难.
【答案】C
【解析】解法一：令,则,
代入原方程化简得,
因为存在实数,则,即,
化简得,解得,
故的最大值是,
解法二：,整理得,
令,,其中,
则,
,所以,则,即时,取得最大值,
解法三：题中方程可化为,它表示圆心为,半径为3的圆,设,则直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,解得,故选C.
解法四：因为可得,由得=,故选C.
【点评】本题非常经典,有多种解法,不同解法涉及直线与圆、三角函数、基本不等式及方程思想等.
【知识链接】与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离的平方的最值问题．
12. 已知点是双曲线C：上的两点,则可以作为中点的是（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难.
【答案】D
【解析】设,则的中点,可得,因为在双曲线上,则,两式相减得,所以.对于选项A：可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误；对于选项B：可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误；对于选项C：可得,则由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误；
对于选项D：,则,联立方程,消去y得,此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确；故选D.
解法二：同解法一,先求得,结合双曲线图形及直线与双曲线渐近线斜率的大小进行判断.
【点评】本题可以利用点差法,也可以利用中点坐标公式,后者方法容易想到,但运算量较大.
【知识链接】
1.与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标代入圆锥曲线方程作差,得到关于的关系式,再结合题中条件求解.
2.求双曲线的以某点为中点的弦所在直线方程,求出方程以后一定要检验该直线与双曲线是否有2个公共点.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．已知点在抛物线C：上,则A到C的准线的距离为______.
【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质,考查数学运算的核心素养.难度：容易.
【答案】
【解析】由题意可得,则,抛物线的方程为,准线方程为,点到的准线的距离为.
【点评】本题属于送分题,解析几何在高考中一般有3到4道试题,若有3道试题,则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题,则这4道试题分别涉及圆、椭圆、双曲线、抛物线.
【知识链接】
1.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力,特别是求解有关线段长度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.
2.抛物线y2＝2px(p>0)焦点到顶点距离为,到准线距离为p.
3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
= 1 \* GB3 ①x1x2＝eq \f(p2,4),y1y2＝－p2.
= 2 \* GB3 ②,|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
14. 若,则________．
【命题意图】本题考查三角函数的基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素.难度：较易.
【答案】
【解析】
解法一：因为,则,又因为,则,且,解得或（舍去）,所以.
解法二：由得,因为,所以,,所以.
解法三：由且得,所以,
==.
【点评】三角函数求值要注意消元与方程思想的应用,与有关的运算要重视的应用.
【知识链接】利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
15．若x,y满足约束条件,则的最大值为______.
【命题意图】本题考查线性规划,考查直观想象与数学运算的核心素养,难度：较易.
【答案】8
【解析】作出可行域如下图所示：,移项得,
联立有,解得,设,显然平移直线使其经过点,此时截距最小,则最大,代入得,

【点评】线性规划在前些年一直是高考热点,随着新教材的推进,热度与难度有所降低,前2年都没有考查线性回归,今年虽然考查了线性规划题,但试题为常规题,且数据设置简单,为送分题.
【知识链接】
如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.
特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPi＝mx＋ny,比较各个ZPi,得最大值或最小值.
16.已知点均在半径为2的球面上,是边长为3的等边三角形,平面,则________．
【命题意图】本题考查球与几何体的切接,考查直观想象、逻辑推理等核心素养.难度：难.
【答案】2
【解析】如图,将三棱锥转化为直三棱柱,
设的外接圆圆心为,半径为,
则,可得,
设三棱锥的外接球球心为,连接,则,
因为,即,解得.
【点评】球与几何体的切接是高考的热点与难点,常作为客观题中的压轴题,考查热点是几何体的外接球,此类问题要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.
【知识链接】
1. 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解,其中公式使用频率非常高,考生一定要重视．
2．若三棱锥有1条侧棱与底面垂直,求解其外接球问题,通常把该棱锥补成一个直三棱柱,设该棱柱底面外接圆半径为r,高为h,则外接球半径.
三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,．试验结果如下：
记,记的样本平均数为,样本方差为．
（1）求,；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高）
【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：较易.
【解析】（1）
,
,
,
的值分别为: ,
故（2）由（1）知:,,故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【本题】明显可以看出该题参考了2021年乙卷文17题,无论难度或命题模式都一样,本题属于基础题,主要考查考生的运算能力,运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,排列组合、二项式定理、统计与概率、随机变量的分布列、正态分布都有可能涉及.
【知识链接】
1.方差计算公式
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2](xn是样本数据,n是样本容量,eq \x\t(x)是样本平均数)．
2.有关平均数、方差的一些结论
若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2.
则ax1,ax2,…,axn的平均数为,方差为a2s2.
数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为,方差为m2s2.
18. 记为等差数列的前项和,已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度；中等.
【解析】（1）设等差数列的公差为,
由题意可得,即,解得,
所以,
（2）因为,
令,解得,且,
当时,则,可得；
当时,则,可得
；
综上所述：.
【点评】本题为常规题型,可以在很多资料上找到非常相似的题,易错之处是求忽略分类讨论.
【知识链接】方程思想求等差数列与等比数列中的基本量
(1)等差数列中,已知5个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个．除已知a1,d,n求an,Sn可以直接用公式外,其他情况一般都要列方程或方程组求解,因此这种问题蕴含着方程思想．
(2)在等比数列五个基本量a1,q,n,an,Sn中,已知其中三个量,可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量,计算有时要整体代换,根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．
19. 如图,在三棱锥中,,,,,的中点分别为,点在上,．
（1）求证：//平面；
（2）若,求三棱锥的体积．
【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.
【解析】（1）连接,设,则,,,
则,
解得,则为的中点,由分别为的中点,
于是,即,
则四边形为平行四边形,
,又平面平面,
所以平面.
（2）过作垂直的延长线交于点,
因为是中点,所以,
在中,,
所以,
因为,
所以,又,平面,
所以平面,又平面,
所以,又,平面,
所以平面,
即三棱锥的高为,
因为,所以,
所以,
又,
所以.
【点评】立体几何解答题是高考全国卷必考题,难度中等,一般分2问,通常1问考查平行或垂直的证明,1问考查求几何体的表面积、体积或距离问题,对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,对于求几何体的表面积、体积或距离问题,运算错误是失分的主要原因.
【知识链接】
证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
20. 已知函数．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程．
（2）若函数在单调递增,求的取值范围．
【命题意图】本题考查导数的几何意义及用导数研究函数单调性.难度：较难.
【解析】（1）当时,,
则,
据此可得,
所以函数在处的切线方程为,即.
（2）,
满足题意时在区间上恒成立.
令,则,
令,原问题等价于在区间上恒成立,
则,
当时,由于,故,在区间上单调递减,
此时,不合题意;
令,则,
当,时,由于,所以在区间上单调递增,
即在区间上单调递增,
所以,在区间上单调递增,,满足题意.
当时,由可得,
当时,在区间上单调递减,即单调递减,
注意到,故当时,,单调递减,
由于,故当时,,不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点评】求曲线的切线方程及要导数研究函数单调性都是高考高频考点.
【知识链接】
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导,合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集．
21.已知椭圆的离心率是,点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点,直线与轴的交点分别为,证明：线段的中点为定点．
【命题意图】本题考查求椭圆的方程及直线过定点定值问题,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难.
【解析】（1）由题意可得,解得,
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在,设,
联立方程,消去y得：,
则,解得,
可得,
因为,则直线,
令,解得,即,
同理可得,
则
,
所以线段的中点是定点.
【点评】本题第（1）问也是送分题,难度甚至小于选择题的前3题,难题争取得部分分应成为每位考生的追求,解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大,相等一部分学生会因运算不过关出错,或嫌麻烦,直接放弃,其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线方程,难度比较小,不要放弃,第（2）问的思路还是比较容易想到的,平时多做几道类似的题,总结运算规律,争取做到题不二错,这部分分通过努力还是能够得到的. 第（2）问虽为定点问题,实质是定值问题,即求线段的中点纵坐标为定值.
【知识链接】
1.处理定点问题的思路
(1)确定题目中的核心变量（不失一般性,设为）
(2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关与的等式
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形,直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式,则考虑将含的项归在一组,变形为“”的形式,从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式, 的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式）
2.定值问题解题思路与策略
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.
因此定值问题的解题思路是：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
（二）选考题,共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线：（为参数,）.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）若直线既与没有公共点,也与没有公共点,求的取值范围.
【命题意图】本题考查极坐标与参数方程,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：中等偏易
【解析】（1）因为,即,可得,
整理得,表示以为圆心,半径为1的圆,
又因为,
且,则,则,
故.
（2）因（为参数,）,
整理得,表示圆心为,半径为2,且位于第二象限的圆弧,
如图所示,若直线过,则,解得；
若直线,即与相切,则,解得,
若直线与均没有公共点,则或,
即实数的取值范围.
【点评】第22题第（1）问,一般为方程的互化,基本可以说是送分的,第（2）问,出题方向不固定,今年第（2）问易错之处是忽略角的范围限制.
【知识链接】
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形．特别提醒：把参数方程化为普通方程时要防止变量范围扩大或缩小.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）在直角坐标系中,求不等式组所确定的平面区域的面积.
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式表示的平面区域,考查逻辑推理的核心素养.难度：中等
【解析】（1）依题意,,
不等式化为：或或,
解,得无解；解,得,解,得,因此,
所以原不等式的解集为
（2）作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影,
由,解得,由, 解得,又,
所以的面积.
【点评】本题第（1）问是常规题型,学生训练较多,属于得分题,第一问解含有两个绝对值的不等式一般采用零点分区间法,注意是“求不等式的解集”,结果要用集合或区间表示.
【知识链接】
1.|x－a|＋|x－b|≤c,|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．适用省份
江西、甘肃、河南、山西、内蒙古、青海、宁夏、新疆
题号
分值
题型
考查内容
模块（题目数）
1
5分
选择题
复数的概念与运算
复数（共1题）
2
5分
选择题
集合的交并补运算
集合（共2题）
3
5分
选择题
三视图与组合体的表面积
立体几何（共3题）
4
5分
选择题
解三角形
三角函数与解三江小学（共3题）
5
5分
选择题
函数的奇偶性
函数与导数（共3题）
6
5分
选择题
平面向量的数量积
平面向量（共1题）
7
5分
选择题
几何概型
概率统计（共3题）
8
5分
选择题
函数的零点
函数与导数（共3题）
9
5分
选择题
古典概型
概率统计（共3题）
10
5分
选择题
三角函数的图象与性质
三角函数与解三角形（共3题）
11
5分
选择题
直线与圆
解析几何（共4题）
12
5分
选择题
双曲线
解析几何（共4题）
13
5分
填空题
抛物线
解析几何（共4题）
14
5分
填空题
三角变换
三角函数与解三角形（共3题）
15
5分
填空题
线性规划
不等式（共1题）
16
5分
填空题
球与几何体的切接
立体几何（共3题）
17
12分
解答题
用样本估计总体
概率统计（共3题）
18
12分
解答题
等差数列的通项与去和
数列（共1题）
19
12分
解答题
线面位置关系的证明及几何体体积
立体几何（共3题）
20
12分
解答题
导数几何意义及函数单调性
函数与导数（共3题）
21
12分
解答题
椭圆、定点
解析几何（共4题）
22
10分
解答题
极坐标与参数方程
选修4-4（共1题）
23
10分
解答题
不等式解法及不等式组表示的区域
选修4-5（共1题）
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536