2023年高考数学真题完全解读（全国乙卷理科）

这是一份2023年高考数学真题完全解读（全国乙卷理科），共32页。

2023年高考数学真题完全解读（全国乙卷理科）
适用省份
江西、甘肃、河南、山西、内蒙古、青海、宁夏、新疆

2023年高考数学全国卷乙卷理科数学与2022年相比试题平和,模式相对稳定,难度稍降,没有开放题,没有不良结构题,对新教材删除的三视图、古典概型、线性规划都进行了考查,但难度不大.总的来说试卷能反映新时代基础教育课程理念,落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求,全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养,体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求,突出理性思维,发挥数学科在人才选拔中的重要作用.具体来说,该试卷有以下特点：
一、充分发挥基础学科的作用,突出素养和能力考查,甄别思维品质、展现思维过程,给考生搭就了展示的舞台、发挥的空间,致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔.首先是重点考查逻辑推理素养,如第10题的数列题,又如第21题要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论,考查了思维的条理性、严谨性.深入考查直观想象素养,如第3题的直观图、第5题的几何概型、第8题圆锥体积的计算、又如第19题以几何体为依托,考查空间线面关系.扎实考查数学运算素养,要求考生理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.如第3题的表面积的计算,第12题的数量积最大值的计算都有一定的运算量,有如17题平均数与方差的计算都考查数学运算素养.
二、试卷在命制情境化试题过程中,在剪裁素材时,控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题时,设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题时,设置合适的运算过程和运算量,力求使情境化试题达到试题要求层次和考生认知水平的契合与贴切.首先是现实生活情境,数学试题情境取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.如第7题以学生选择课外读物的情境考查排列组合内容,引导学生全面发展.其次是科学研究情境与劳动生产情境,如第17题取材于橡胶生产的实际情境,比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,借助假设检验的基本思想,利用样本平均数和方差作为工具进行统计推断,考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.
三、在反套路,反机械刷题上下功夫,突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求.同时,合理控制试题难度,科学引导中学教学,力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接,促进考教衔接,引导学生提高在校学习效率,避免机械、无效的学习.
突出基础性要求,试卷在选择题和填空题部分均设置了多个知识点,全面考查了集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容,实现了对基础知识的全方位覆盖.同时在解答题部分深入考查基础,考查考生对基础知识和基本方法的深刻理解和融会贯通的应用.如第17题考查统计抽样中样本的基本数字特征,考查考生对样本平均数、样本方差等概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合.彰显综合性要求,如第10题是集合、数列、三角函数的综合题,对集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,可以通过三角函数的周期性求解,也可以用数形结合的方法求解.体现创新性要求,通过命题创新,创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式,考查考生思维的灵活性与创造性.第10题的知识交汇

题号
分值
题型
考查内容
模块（题目数）
1
5分
选择题
复数的概念与运算
复数（共1题）
2
5分
选择题
集合的交并补运算
集合（共2题）
3
5分
选择题
三视图与组合体的表面积
立体几何（共4题）
4
5分
选择题
函数的奇偶性
函数与导数（共3题）
5
5分
选择题
直线与圆及几何概型
1.解析几何（共4题）
2.概率统计（共3题）
6
5分
选择题
三角函数的图象与性质
三角函数与解三角形（共3题）
7
5分
选择题
排列组合
概率统计（共3题）
8
5分
选择题
圆锥的体积
立体几何（共4题）
9
5分
选择题
线面角与二面角
立体几何（共4题）
10
5分
选择题
集合、数列、三角函数
1.集合（共2题）
2.数列（共2题）
3.三角函数与解三角形（共3题）
11
5分
选择题
双曲线
解析几何（共4题）
12
5分
选择题
数量积的最值
平面向量（共1题）
13
5分
填空题
抛物线
解析几何（共4题）
14
5分
填空题
线性规划
不等式（共1题）
15
5分
填空题
等比数列
数列（共2题）
16
5分
填空题
用导数研究函数单调性
函数与导数（共3题）
17
12分
解答题
用样本估计总体
概率统计（共3题）
18
12分
解答题
解三角形
三角函数与解三角形（共3题）
19
12分
解答题
线面位置关系的证明及二面角
立体几何（共4题）
20
12分
解答题
椭圆、定点
解析几何（共4题）
21
12分
解答题
导数几何意义、对称问题、极值
函数与导数（共3题）
22
10分
解答题
极坐标与参数方程
选修4-4（共1题）
23
10分
解答题
不等式解法及不等式组表示的区域
选修4-5（共1题）


1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理； 熟悉并运用常见的基本技能和方法.
2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求
4. 第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.
5. 对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.


2023年全国卷乙卷理科数学试题及解读
1．设,则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查复数的运算与共轭复数,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】A
【解析】因为,所以,故选B.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
2．设集合,集合,,则（    ）
A． B．
C． D．
【命题意图】本题考查集合的交并补集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易
【答案】A
【解析】由题意可得,则,A正确；
,则,B错误；,则或,C错误；或,则或,D错误；故选A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
3.如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（    ）
  
A．24 B．26 C．28 D．30
【命题意图】本题考查三视图及组合体的表面积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：较易
【答案】D
【解析】如图所示,在长方体中,,,
点为所在棱上靠近点的三等分点,为所在棱的中点,
则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体,
  
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,其表面积为.故选D.
【点评】有关三视图的试题,大多与几何体的体积、表面积交汇考查,难度一般不大,属于送分题.
【知识链接】1.三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
2. 多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积要注意衔接部分的处理．
4．已知是偶函数,则（    ）
A． B． C．1 D．2
【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：较易
【答案】D
解法一：因为是偶函数,所以
=,所以,故选D.
解法二：因为是偶函数,且,所以,故选D.
【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
(4)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(5)若奇函数在x＝0处有意义,则f(0)＝0.
2.常见的奇函数与偶函数
,,是奇函数,是偶函数
5.设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查以面积为测度的几何概型,体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.难度：较易
【答案】C
【解析】如图所示,点A位于阴影区域内,其中阴影区域面积是圆环面积的,所以所求概率为,故选C.

【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年热点题,如程序框图、线性规划、三视图、几何概型等,受新教材的影响,这些内容的考查热点有所降低,但不要认为新教材删除的内容都不考,如本卷中考查了三视图、几何概型及线性规划.
【知识链接】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．
6．已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条对称轴,则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增,所以,且,则,,当时,取得最小值,则,,
则,,不妨取,则,则,
故选D.
【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题具有综合性,把三角函数的图象、单调性、对称性及三角函数求值交汇考查.
【知识链接】1.根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
2.f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象关于直线对称,则,关于点对称,则.
7．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【命题意图】本题考查分步计数原理与排列组合,考查数学建模与数学运算的核心素养.难度：中等
【答案】C
【解析】先从6种读物中选1种作为两人所选相同的读物,再从另外5本中选2本分别为甲乙,所以不同的选法种数为,故选C.
【点评】注意分步用乘法.
【知识链接】1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连续,逐步完成．
2.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理．
8．已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,,若的面积等于,则该圆锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查圆锥体积的计算,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度：中等
【答案】B
【详解】在中,,而,取中点,连接,有,如图,

,,由的面积为,得,
解得,于是,所以圆锥的体积.故选B.
【点评】高考数学老高考全国卷中立体几何客观题一般有两道,一般分别涉及多面体与旋转体,本卷客观题中出现了3道客观题（3题、8题、9题）,这与新高考考查趋势吻合.
【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.
9．已知为等腰直角三角形,AB为斜边,为等边三角形,若二面角为,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查线面角与二面角的计算,考查直观想象与逻辑推理等核心素养.难度：较难
【答案】C
【解析】解法一：如图所示,取AB中点E,连接CE,DE,由题意得,所以,设,且,由余弦定理得=,
由,可得平面平面ABC,所以点D在平面ABC上的射影G在直线CE上,所以,,直线CD与平面ABC所成角为,=,故选C.

解法二：取的中点,连接,因为是等腰直角三角形,且为斜边,则有,
又是等边三角形,则,从而为二面角的平面角,即,

显然平面,于是平面,又平面,
因此平面平面,显然平面平面,
直线平面,则直线在平面内的射影为直线,
从而为直线与平面所成的角,令,则,在中,由余弦定理得：
,
由正弦定理得,即,
显然是锐角,,
所以直线与平面所成的角的正切为.故选C.
【点评】在客观题中考查线面角与二面角是近两年高考的热点,请考生注意这种变化趋势.
【知识链接】利用线面角定义求线面角,关键是确定斜线上某一点在平面上的射影,以便求出该点到平面的距离,有时可把问题转化棱锥的高来求.根据线面角的定义或二面角的平面角的定义求线面角,通常是先作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．
10.已知等差数列的公差为,集合,若,则（    ）
A．－1 B． C．0 D．
【命题意图】本题考查等差数列、三角函数的周期性及集合中元素的互异性,考查数学抽象、逻辑推理等核心素养.难度：较难.
【答案】B
【解析】解法一：因为是公差为的等差数列,所以,=,所以数列是周期为3的数列,前3项依次为,因为集合中只有2个元素,不妨取,此时,所以,故选B.
解法二：等差数列中,,函数的周期为3,而,即最多3个不同取值,又,则在中,或,于是有,即有,解得,所以,.故选B
【点评】本题是集合、数列、三角函数的综合题,对等差数列、集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,在知识点交汇处命题,活而不难,背景新颖,是一道考查能力的好题.
【知识链接】求解通项中含有以n为变量的三角函数的数列问题,如含有 等形式的数列,通常通常先利用三角函数的周期性,研究数列一个周期内的项的规律.
11. 已知点是双曲线C：上的两点,则可以作为中点的是（）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：较难
【答案】D
【解析】设,则的中点,可得,因为在双曲线上,则,两式相减得,所以.对于选项A： 可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误；对于选项B：可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误；对于选项C：可得,则由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误；
对于选项D：,则,联立方程,消去y得,此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确；故选D.
解法二：同解法一,先求得,结合双曲线图形及直线与双曲线渐近线斜率的大小进行判断.
【点评】本题可以利用点差法,也可以利用中点坐标公式,方法容易想到,但运算量较大.
【知识链接】
1.与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标代入圆锥曲线方程作差,得到关于的关系式,再结合题中条件求解.
2.求双曲线的以某点为中点的弦所在直线方程,求出方程以后一定要检验该直线与双曲线是否有2个公共点.
12．已知的半径为1,直线PA与相切于点A,直线PB与交于B,C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为（    ）
A． B．
C． D．
【命题意图】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算、直观想象等核心素养.试题难度：难.
【答案】A
【解析】如图所示,,则由题意可知,由勾股定理可得

当点位于直线异侧时,设,则

,
,则当时,有最大值.

当点位于直线同侧时,设,
则

,则
当时,有最大值.
综上可得,的最大值为.故选A.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.
【知识链接】求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．已知点在抛物线C：上,则A到C的准线的距离为______.
【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质,考查数学运算的核心素养.难度：容易.
【答案】
【解析】由题意可得,则,抛物线的方程为,准线方程为,点到的准线的距离为.
【点评】本题属于送分题,解析几何在高考中一般有3到4道试题,若有3道试题,则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题,则这4道试题分别涉及圆、椭圆、双曲线、抛物线.
【知识链接】
1.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力,特别是求解有关线段长度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.
2. 抛物线y2＝2px(p>0)焦点到顶点距离为,到准线距离为p.
3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
①x1x2＝,y1y2＝－p2.
②,|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
14．若x,y满足约束条件,则的最大值为______.
【命题意图】本题考查线性规划,考查直观想象与数学运算的核心素养,难度：容易
【答案】8
【解析】作出可行域如下图所示：,移项得,
联立有,解得,设,显然平移直线使其经过点,此时截距最小,则最大,代入得,
  
【点评】线性规划在前些年一直是高考热点,随着新教材的推进,热度与难度有所降低,前2年都没有考查线性回归,今年虽然考查了线性规划题,但试题为常规题,且数据设置简单,为送分题.
【知识链接】
如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.
特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPi＝mx＋ny,比较各个ZPi,得最大值或最小值.
15.已知为等比数列,,,则______.
【命题意图】本题考查等比数列基本量的计算,难度：较易.
【答案】
【解析】设的公比为,则,显然,
则,即,则,因为,则,
则,则,则.
【点评】本题利用方程思想求基本量,属于常规题型,课本有类似习题,且本题难度不超过课本习题.在高考试卷中若解答题中有数列题,在客观题中一般没有数列题,若解答题中没有数列题,客观题中一般有两道数列题,一道考查等差数列,一道考查等比数列.
【知识链接】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解．注意为使问题有确定的解所列方程的个数应与未知数的个数相等.
16. 已知,函数在上单调递增,则的取值范围是____________．
【命题意图】本题考查导数的应用及函数的单调性,考查逻辑推理与数学运算的核心素养,难度：难
【答案】
【解析】解法一：因为,,所以,设,则,所以在上单调递增,,因为在上单调递增,所以,即,解得,所以的取值范围是.
解法二：由函数的解析式可得在区间上恒成立,则,即在区间上恒成立,
故,而,故,
故即,故,
结合题意可得实数的取值范围是.
【点评】求解本题易错之处是误认为在上单调递增的充要条件是.
【知识链接】
若函数连续可导,则在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零．
三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记,记的样本平均数为,样本方差为．
（1）求,；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高）
【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：较易.
【解析】（1）
,
,
,
的值分别为: ,
故（2）由（1）知:,,故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【本题】明显可以看出该题参考了2021年乙卷文17题,无论难度或命题模式都一样,本题属于基础题,主要考查考生的运算能力,运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,排列组合、二项式定理、统计与概率、随机变量的分布列、正态分布都有可能涉及.
【知识链接】
1.方差计算公式
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数)．
2.有关平均数、方差的一些结论
若数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2.
则ax1,ax2,…,axn的平均数为 ,方差为a2s2.
数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为,方差为m2s2.
18. 在中,已知,,.
（1）求；
（2）若D为BC上一点,且,求的面积.
【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易
【解析】解法一：因为,
在△ABC中,由余弦定理得
==7,
所以.
由正弦定理得.
（2）由（1）得,且为锐角,
所以=,
在Rt△BAD中,=,
所以△BAD的面积.
解法二：（1）由余弦定理可得：
,
则,,
.
（2）由三角形面积公式可得,
则.
【点评】本题把正弦定理、余弦定理及三角形面积公式交汇考查,命题形式与往年基本相同,学生对此类问题训练较多,如运算能力过关,该题得满分应该没有问题.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,求,有时可配方把式子化为整体代入求值．
19. 如图,在三棱锥中,,,,,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,,点F在AC上,.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及二面角的计算,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.
【解析】（1）连接,设,则,,,
则,
解得,则为的中点,由分别为的中点,
于是,即,则四边形为平行四边形,
,又平面平面,
所以平面.

（2）由（1）可知,则,得,
因此,则,有,
又,平面,
则有平面,又平面,所以平面平面.
（3）过点作交于点,设,
由,得,且,
又由（2）知,,则为二面角的平面角,
因为分别为的中点,因此为的重心,
即有,又,即有,
,解得,同理得,
于是,即有,则,
从而,,
在中,,
于是,,
所以二面角的正弦值为.

【点评】高考试卷中立体几何解答题一般有2问（今年3问）,第一问多为线面位置关系的证明或长度、面积、体积的计算, 对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,第二问多为利用空间向量线面角或二面角（有时也可不利用空间向量）,在高考中立体几何解答题一般难度不大,属于得分题,若利用空间向量求空间角,运算错误是失分主要原因.
【知识链接】
证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
20.已知椭圆的离心率是,点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点,直线与轴的交点分别为,证明：线段的中点为定点．
【命题意图】本题考查求椭圆的方程及直线过定点定值问题,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难
【解析】（1）由题意可得,解得,
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在,设,
联立方程,消去y得：,
则,解得,
可得,
因为,则直线,
令,解得,即,
同理可得,
则

,
所以线段的中点是定点.

【点评】本题第（1）问也是送分题,难度甚至小于选择题的前3题,难题争取得部分分应成为每位考生的追求,解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大,相等一部分学生会因运算不过关出错,或嫌麻烦,直接放弃,其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线方程,难度比较小,不要放弃,第（2）问的思路还是比较容易想到的,平时多做几道类似的题,总结运算规律,争取做到题不二错,这部分分通过努力还是能够得到的. 第（2）问虽为定点问题,实质是定值问题,即求线段的中点纵坐标为定值.
【知识链接】
1.处理定点问题的思路
(1)确定题目中的核心变量（不失一般性,设为）
(2)利用条件找到与过定点的曲线 的联系,得到有关与的等式
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形,直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式,则考虑将含的项归在一组,变形为“”的形式,从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式, 的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式）
2.定值问题解题思路与策略
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好.
因此定值问题的解题思路是：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
21.已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a,b,使得曲线关于直线对称,若存在,求a,b的值,若不存在,说明理由.
（3）若在存在极值,求a的取值范围.
【命题意图】本题考查曲线的切线方程的求法、函数图象对称性及函数的极值,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：难
【解析】（1）当时,,,所以切点为,
,所以切线斜率为 ,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
（2）,
由,得函数 的定义域为,
定义域关于直线对称,由题意可得,
由对称性可知,
取可得,
即,则,解得,
经检验满足题意,故.
即存在满足题意.
（3）,
由区间存在极值点,则在区间上存在变号零点;
令,
则,
令,
在区间存在极值点,等价于在区间上存在变号零点,

当时,,在区间上单调递减,
此时,在区间上无零点,不合题意;
当,时,由于,所以在区间上单调递增,
所以,在区间上单调递增,,
所以在区间上无零点,不符合题意；
当时,由可得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故的最小值为,
令,则,
函数在定义域内单调递增,,
据此可得恒成立,
则,
令,则,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
故,即(取等条件为),
所以,
,且注意到,
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时,,单调减,
当时,,单调递增,
所以.
令,则,
则单调递减,注意到,
故当时,,从而有,
所以

,
令得,所以,
所以函数在区间上存在变号零点,符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点评】（1）看到没,本题第（1）问依然属于得分题,你能做对吗？
（2）本题第（2）问是“纯”函数问题,不涉及导数,在导数解答题中的某一问只考函数问题,还是第一次出现,请同学们注意这种变化趋势；
（3）导数解答题一般为压轴题,位于第21题或22题的位置上,无论是求极值、最值或研究零点问题或证明不等式,大多要利用导数研究函数的单调性,然后利用单调性求解,所以掌握研究函数单调性的方法至关重要,另外确定极值点或零点个数时有时还要涉及赋值确定函数有无零点,请同学们认真阅读【知识链接】中的赋值理论.
【知识链接】
1.确定方程实根个数或函数极值点个数,有时可转化为函数零点个数问题.用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
2.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行.
三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.
（二）选考题,共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线：（为参数,）.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）若直线既与没有公共点,也与没有公共点,求的取值范围.
【命题意图】本题考查极坐标与参数方程,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：中等偏易
【解析】（1）因为,即,可得,
整理得,表示以为圆心,半径为1的圆,
又因为,
且,则,则,
故.
（2）因（为参数,）,
整理得,表示圆心为,半径为2,且位于第二象限的圆弧,
如图所示,若直线过,则,解得；
若直线,即与相切,则,解得,
若直线与均没有公共点,则或,
即实数的取值范围.

【点评】第22题第（1）问,一般为方程的互化,基本可以说是送分的,第（2）问,出题方向不固定,今年第（2）问易错之处是忽略角的范围限制.
【知识链接】
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形．特别提醒：把参数方程化为普通方程时要防止变量范围扩大或缩小.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）在直角坐标系中,求不等式组所确定的平面区域的面积.
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式表示的平面区域,考查逻辑推理的核心素养.难度：中等
【解析】（1）依题意,,
不等式化为：或或,
解,得无解；解,得,解,得,因此,
所以原不等式的解集为
（2）作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影,

由,解得,由, 解得,又,
所以的面积.
【点评】本题第（1）问是常规题型,学生训练较多,属于得分题,第一问解含有两个绝对值的不等式一般采用零点分区间法,注意是“求不等式的解集”,结果要用集合或区间表示.
【知识链接】
1.|x－a|＋|x－b|≤c,|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．