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最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第03讲 极值与最值（七大题型）（讲通）
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这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第03讲 极值与最值（七大题型）（讲通），文件包含第03讲极值与最值七大题型讲义原卷版docx、第03讲极值与最值七大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 极值与最值
目录
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
2021年I卷第15题，5分
2021年乙卷第10题，5分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 极值与最值
目录
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
2021年I卷第15题，5分
2021年乙卷第10题，5分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
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