初中数学苏科版八年级下册第12章 二次根式12.2 二次根式的乘除巩固练习

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1.二次根式的乘法法则
1）二次根式乘法法则：（a≥0，b≥0） 扩展：（a≥0，b≥0，c≥0）
2)积的算术平方根：（a≥0，b≥0）
积的算术平方根是二次根式乘法的逆运算，常用在化简当中。如：。
注：若a≤0且b≤0，则。
2. 二次根式的除法
1) 二次根式的除法法则：
注： = 1 \* GB3 ①的前提条件是a≥0，b＞0； = 2 \* GB3 ②当存在带分数时，应先化成假分数，再进行计算。
2)商的算术平方根：（a≥0，b＞0）。商的算术平方根是二次根式除法的逆运算，常用在化简当中。
注：若a≤0且b＜0，则。
3.最简二次根式
1)规定最简二次根式： = 1 \* GB3 ①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。如； = 2 \* GB3 ②分母中不含被开方数。
= 3 \* GB3 ③分母中含被开方数转化为整式。
注：分母中的被开方数去掉后，要注意分子二次根式是否还能被开方。
2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤： = 1 \* GB3 ①分母、分子同乘（分母的二次根式）； = 2 \* GB3 ②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方； = 3 \* GB3 ③化简为最简二次根式
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023春·江苏·八年级校考）下列二次根式中，不能再化简的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质化简后即可判断．
【详解】解：A、不能再化简，故符合题意；B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；D、，故不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】D
【分析】利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可．
【详解】解：∵，
又∵∴，∴的值应在6和7之间．故选：D．
【点睛】本题考查无理数的估算．正确估算出的值是解题的关键．也考查了二次根式的乘法和二次根式的性质．
3．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4．（2022春·安徽阜阳·八年级阜阳实验中学校考期末）计算的结果是（ ）
A．10B．4C．6D．2
【答案】B
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可．
【详解】解：原式，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是正确把握二次根式乘法的运算法则．
5．（2022·河北八年级期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【答案】D
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解：，所以是型无理数，故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
6．（2022·平泉市教育局教研室八年级期末）计算：，则□中的数是（ ）
A．6B．C．2D．
【答案】D
【分析】由可得，化简即可．
【详解】解：∵∴＝ ＝ 故答案为：D
【点睛】本题考查二次根式的运算，根据相关知识点解题是重点.
7．（2023春·四川自贡·八年级校考阶段练习）计算：______．
【答案】10
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）将化为最简二次根式的结果是__________．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
9．（2023春·山东泰安·八年级山东省泰安第十五中学校考阶段练习）已知矩形的面积为18，一边长为，则矩形的另一边为______________
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解】解：由题意得：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则．
10．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n：_______．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开得尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵且是最简二次根式，∴，故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
11．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)13 (2)
【分析】（1）根据二次根式性质进行化简，然后再进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算．
12．（2023春·浙江·八年级期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)0 (2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则和立方根的计算法则求解即可；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂，立方根的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，零指数幂，负整数指数幂，立方根，正确计算是解题的关键．
13．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）（1）计算：
（2）计算：．
【答案】（1）0；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解．
【详解】(1)
；
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
14．（2022·江西）阅读下面问题：；
；．
试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）2020
【分析】（1）由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此式子乘以分母利用平方差公式计算即可；（2）乘以分母利用平方差公式计算即可；（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式，最后利用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：解：（1）；
（2）；
（3）原式
．
【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）估算的结果（ ）
A．在6和7之间B．在7和8之间C．在8和9之间D．在9和10之间
【答案】C
【分析】首先计算，并确定范围，然后再利用不等式的基本性质确定的范围即可．
【详解】解： 故选C
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、确定二次根式的范围、不等式的基本性质等知识点，范围的确定是解题关键．
2．（2023春·河北石家庄·八年级统考阶段练习）已知，，则，的关系为（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数
【答案】C
【分析】根据互为倒数的性质进行计算.
【详解】解：,∴，互为倒数，故选C.
【点睛】本题考查的是互为负倒数的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.
3．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；
【详解】解：原式
．故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．
4．（2023春·天津宝坻·八年级校考阶段练习）已知，，则的取值为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】利用完全平方公式，求解即可．
【详解】解：当，时，
，故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的运算，熟记完全平方公式，通过变形为是解答的关键．
5．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13B．14C．12D．11
【答案】A
【分析】先根据二次根式的乘法求出m的值，再估算出的范围，求出a、b的值，即可得出答案．
【详解】解：，
∵，∴，即，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法法则等知识点，能估算出的范围是解此题的关键．
6．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）若（，为有理数），则（ ）
A．3B．4C．14D．17
【答案】D
【分析】先计算，再利用有理数与无理数的对应关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，∴，故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
7．（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）计算：_____．
【答案】##
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键．
8．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决：(1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______；(2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值．
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值．
【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式，
∴，∴，故答案为：；
（2）∵与是关于C的共轭二次根式，
∴，∴，
∵C是有理数，∴，∴解得．
【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算．
9．（2022·洛阳市第五中学八年级期中）像（＋2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（＋1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，＋1与﹣1，2＋3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；（2）计算： ；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【答案】（1）（2）2＋2＋；（3）﹣＜﹣，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．
【详解】（1）＝；
（2）＝＋＝2＋＋＋＝2＋2＋；
（3）∵﹣＝，﹣＝，
又∵＋＞＋，∴＜，
即：﹣＜﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．
10．（2022·山东八年级期中）阅读下列解题过程：﹣1；则：
（1） ； ；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式 ；
（3）利用这一规律计算：的值．
【答案】（1）；（2）；（3）2019．
【分析】（1）根据题目给出的解题过程依次求解即可；（2）根据题目给出的解题过程求解即可；
（3）先将化简为，最后进行求解即可．
【详解】解：（1），
，故答案为：；
（2），故答案为：；
（3）
= ===2019．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．是无理数
C．整数部分是2D．一定能够在数轴上找到表示的点
【答案】A
【分析】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，选项符合题意；
B．，是无理数，则是无理数，选项不符合题意；
C．因为，则，所以的整数部分是2，选项不符合题意；
D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示的点，选项不符题意；选：A．
【点睛】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）等式“”中，括号内应填入（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，∴括号内应填入6，故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·校考模拟预测）下列二次根式，其中是最简二次根式有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
【详解】解：，不是最简二次根式；是最简二次根式；
，不是最简二次根式；是最简二次根式；
是最简二次根式；是最简二次根式；∴最简二次根式有4个，故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式．
4．（2022·重庆九龙坡·校联考三模）估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式乘法运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：．
∵，∴，即．故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键．
5．（2022·河北邯郸·校联考二模）若，则运算符号“□”表示（ ）
A．+B．-C．×D．÷
【答案】D
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：．故选：D
【点睛】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
6．（2023春·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）计算的结果是__．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行运算即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键．
7．（2023春·山东青岛·九年级校考阶段练习）计算：_________．
【答案】
【分析】运用二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）化为最简二次根式是___________
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，和化简方法即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，化简方法是解题的关键．
9．（2022·天津·统考中考真题）计算的结果等于___________．
【答案】18
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：，故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
10．（2022·福建泉州·统考一模）若无理数x与的积是一个正有理数，则x的最小值是______．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法求解即可．
【详解】解：∵，无理数x与的积是一个正有理数，
∴x=，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
11．（2022·河南商丘·统考二模）已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵n＞0且是最简二次根式，
∴n=1，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
12．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】先开平方、计算二次根式的除法、零指数幂，再算加减，即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．