2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区高一下学期期中数学试题

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考试时间120分钟 满分150分 2023.04
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题—第8题）、多项选择题（第9题—第12题）、填空题（第13题—第16题）、解答题（第17题—第22题）四部分．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡的指定位置上，写在本试卷上无效．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗．考试结束后，请将试卷与答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，得.
故选：C
2. 一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（ ）
A. B. 23C. D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】根据力对物体所做的功是平面向量的数量积，计算即可.
【详解】由题意知，，，
所以对物体所做的功为，
故选：D.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和二倍角公式求解即可.
详解】由题意得，.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及三角函数在各个象限的符号即可求解.
【详解】由于,所以，进而可知
，
故选：B
5. 在中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理求出，再运用定义法求数量积.
【详解】在中，根据余弦定理得，，
所以.
故选：C
6. 在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦和角公式求出，再用正弦定理得到，进而运用三角形面积公式计算面积.
【详解】由题意得，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
又因为
所以的面积为.
故选：B
7 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切二倍角公式展开，再切化弦，化简得到，进而求解.
详解】显然，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
化简得，，
因为，所以，
所以.
故选：A
8. 如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接,则,用余弦定理求出，再利用数量积的公式计算即得解.
【详解】
连接,则,
在中，由余弦定理得：.
所以.
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于函数，则下列说法正确是（ ）
A. 的最大值为2B. 的最小正周期为
C. 是的一个的零点D. 是的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意，函数，因此函数的最大值为，最小正周期为，A错误，B正确；
由于，则是的一个的零点，C正确；
由于，则是图象的一条对称轴，D正确.
故选：BCD
10. 已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量定义、数量积的计算公式、向量平行的定义等知识直接求解.
【详解】对于A，若，则，
则，但与不一定相同，
所以得不到，无法得到，故A错误；
对于B，若，平方得，即，所以，故B正确；
对于C，若，，则显然成立，故C正确；
对于D，，，
若，则，若，原式不成立，故D错误.
故选：BC
11. 已知，，分别是两边上的动点，若，则面积的可能取值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】根据余弦定理找出三个边长的关系，运用基本不等式得范围，进而用三角形面积公式求解答案.
【详解】设，，
在中，由余弦定理得，，
即，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
显然，A和B符合，C和D不符合.
故选：AB
12. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.
【详解】，故，根据正弦定理：，即，
，故，，.
，化简得到，解得或，
若，故，故，不满足，故.
.
故选：.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 与向量方向相反的单位向量的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单位向量求解得坐标公式直接计算.
【详解】因为，
所以与向量方向相反的单位向量的坐标为.
故答案为：
14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再借助数量积的定义列式计算作答.
【详解】在四边形中，由，得，而，则，
因此，解得，
所以实数.
故答案为：
15. 已知，是方程的两根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程韦达定理找出和的关系，再利用正切的和角公式求出，再利用余弦二倍角公式和齐次式的弦化切求值即可.
【详解】因为，是方程的两根，
所以，，
所以，
所以
.
故答案为：
16. 在中，点是边BC的中点，，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理算出，再运用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，
设，

在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知.求：
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求的值；（2）根据二倍角公式求出，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论.
【详解】（1），
即，
化简得，①
又sin2α+cs2α=1，②
由①②解得csα=或csα=，
因为，
所以.
（2）因为，
csα=，
所以sinα=，
则cs2α=1-2sin2α=，
sin2α=2sinαcsα=，
所以.
【点睛】本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题.
18. 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，．
（1）用余弦定理证明：；
（2）用正弦定理证明：；
（3）用向量的方法证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由余弦定理边角互化即可化简求证，
（2）由和差角公式结合正弦定理边角化即可求证，
（3）由向量的线性表示，结合数量积的运算即可求证.
【小问1详解】
证明：根据余弦定理，右边
左边,所以．
【小问2详解】
证明：△中有，则
所以
由正弦定理,得．
【小问3详解】
证明：中有,所以
所以,即
19. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
20. 已知在直角梯形ABCD中，，，若点在线段AC上．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意建系，得到，进而得到向量坐标，根据数量积的坐标公式计算即可；
（2）根据坐标计算向量的模，结合二次函数图像求解最值即可得到取值范围.
【小问1详解】
以为坐标原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，设，则．

若，则，
所以，
所以
【小问2详解】
由（1）知：，．
则，
所以
，．
当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
所以的取值范围为
21. 已知，，，直线经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量在直线的法向量上的投影向量的模就是点到直线的距离．
（1）求直线的一个法向量；
（2）运用上述方法，求点到直线的距离．
【答案】（1）（答案不唯一，满足向量坐标满足即可）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意设出向量，利用向量垂直的坐标计算公式计算即可；
（2）根据题目中所给信息，结合向量坐标计算公式，求出投影向量的模即可.
【小问1详解】
设直线的法向量．
由题知直线的一个方向向量为．
由直线的法向量与直线垂直，则．
所以，取，
则直线的一个法向量．
（满足即可）
【小问2详解】
向量在法向量上的投影向量．
所以．
又因为，．
所以．
则点到直线的距离为.
22. 如图，中，，的平分线AD交BC于．

（1）若，求的余弦值；
（2）若，求AD的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质可得可得，即可利用余弦定理，联立方程即可求解，
（2）由向量的线性运算以及模长公式，即可求解.
【小问1详解】
设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，
又，所以，所以．
由题意，．
中，①,
中， ②
联立①②得．又，则．
所以．
【小问2详解】
因为，，．
所以
所以．
所以．
因为，所以．
所以．