2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数为虚数单位的模为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】应用复数除法化简复数，即可得模.

【详解】，故模为.

故选：C

2．已知向量，且两向量夹角为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用数量积的定义即可得到答案.

【详解】，

故选：A.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】，

故选：B.

4．已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由边角关系知边长为对应角最大，应用余弦定理求其大小.

【详解】由大边对大角知：边长为对应角最大，，

所以.

故选：C

5．设复数，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.

【详解】，则.

故选：A

6．在中，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由正弦定理得，根据边角关系求目标式的值即可.

【详解】由题设，

所以.

故选：D

7．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解方程得到，根据二倍角公式得到，再次利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】，解得，或（舍），

故，，解得或，

，故，，故，同理，

，解得或（舍）.

故选：B

8．在中，在上，且平分且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由角平分线性质知，应用余弦定理、勾股定理知、，结合已知有即可得结果.

【详解】由题设，而，

所以，则，，故，

又平分，则，故.

故选：C

二、多选题

9．下列选项中哪些是正确的（    ）

A．

B．的最大值为1

C．

D．复数可能为纯虚数

【答案】AC

【分析】由向量加法法则判断A；辅助角公式化简，结合正弦型函数确定最值判断B；应用二倍角正弦公式化简求值判断C；由纯虚数定义列方程组求参数即可判断D.

【详解】A：，正确；

B：，故最大值为，错误；

C：，正确；

D：若为纯虚数，则，显然无解，错误.

故选：AC

10．下列选项中哪些是正确的（    ）

A．当时，向量的夹角为锐角

B．

C．在中，若，则此三角形为直角三角形

D．（为虚数单位）

【答案】ACD

【分析】A应用向量夹角坐标表示列不等式求参数范围；B二倍角余弦公式求值即可；C应用正弦边角关系，三角形内角性质、三角恒等变换化简求得；D根据复数的乘方及求化简左侧并求值.

【详解】A：由，

若为锐角，则，即，正确；

B：，错误；

C：由，即，

所以，而，故，且，即，正确；

D：由，又，

则，正确.

故选：ACD

11．下列选项中哪些是正确的（    ）

A．在任意三角形中恒成立

B．在中，角所对的边长分别为，若，则，反之也成立.

C．已知向量，则在上的投影向量为

D．

【答案】BC

【分析】A应用三角恒等变换化简证恒成立，注意均不能为直角；B由判断；C根据投影向量的定义求在上的投影向量；D应用和角正弦公式化简分子即可.

【详解】A：由

，

显然，均不能为直角，对斜三角形成立，错误；

B：由正弦定理知，故，则，反之也成立，正确；

C：在上的投影向量为，正确；

D：由，

所以，错误.

故选：BC

12．已知为坐标原点，点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据向量的运算法则结合和差公式计算得到ACD正确，举反例得到B错误，得到答案.

【详解】对选项A：，，正确；

对选项B：取，，则，，，，错误；

对选项C：，

，正确；

对选项D：，

，正确.

故选：ACD

三、填空题

13．复数的共轭复数为__________.

【答案】

【分析】由共轭复数的定义确定已知复数的共轭复数.

【详解】由共轭复数的定义知：的共轭复数为.

故答案为：

14．在中，若，则__________.

【答案】

【分析】直接利用余弦定理计算得到答案.

【详解】，，故.

故答案为：

15．已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是__________.

【答案】

【分析】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，由并应用数量积的坐标表示求最小值即可.

【详解】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，如下图示，

由，则，

而，则，

所以，当时，的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．中，已知，则__________，若将前面的条件中的改为，则__________.

【答案】          /

【分析】计算，，再利用和差公式计算得到答案；排除的情况，计算，再根据计算得到答案.

【详解】，故，，

；

，则或，

，，

若，故，，故，

此时，不成立，排除，故，

；

，故

故答案为：；

五、解答题

17．已知复数

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）法1：设，利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可；法2：应用复数除法求；

（2）利用复数除法化简即可.

【详解】（1）法1：设，，

所以，则，故；

法2：；

（2）由（1）知：

18．已知点求

(1)的模；

(2)的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得到的坐标，进而得到的坐标求解；

（2）利用夹角公式求得，进而得到，然后利用三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

所以

.

（2）因为，

所以，

，

所以，

.

19．已知

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后根据两角的取值范围即可求解；

（2）利用同角三角函数的基本关系得到，然后结合（1）的结论和两角和的正弦公式即可求解.

【详解】（1），

，，.

（2）由，

求得，

.

20．在①，②三角形面积为2③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，__________？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】根据正弦定理和余弦定理化简得到，，若选择①②得到，若选择③，计算得到，矛盾，得到答案.

【详解】由可得：，则，故，

若选择条件①：，

则三角形存在且；

若选择条件②：

为等腰直角三角形，，，

所以，且此时三角形存在；

若选择条件③：，则，由得，矛盾，

所以三角形不存在.

21．已知在锐角中，定义向量且

(1)求角B；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量平行的充要条件和同角三角函数的基本关系可得，进而求解即可；

（2）结合（1）知，然后利用三角函数的图象和性质即可求解.

【详解】（1）由得，

，，

（2）由（1）知，

，

，，

，

22．现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.

(1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值

(2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，）

【答案】(1)，矩形面积的最大值为

(2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优.

【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值；

（2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论.

【详解】（1）解：由题得，则，

则，

所以，，

所以矩形面积为

，

因为，则，故当时，即当时，

矩形的面积取最大值，且最大值为.

（2）解：取中点，连接，设，如下图所示：

设，其中，由圆的几何性质可知，

，，

因为四边形为矩形，则且，

因为，则，且，所以，四边形为矩形，

所以，，即为的中点，

又因为，则，所以，，

所以，，

所以，，

所以，，

则矩形的面积为

，其中，

因为，则，

所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为

，

，则，所以第一种方案更优.