2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高一下学期期中数学试题

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边上的点，求得三角函数的值，可得答案.
【详解】由题意可得：，，则.
故选：C.
2. 设是虚数单位，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0,计算求解即可.
【详解】，取值周期为4，连续4项的和为0，
所以，
故选:D.
3. 已知向量与是两个单位向量，且与的夹角为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的运算计算可得；
【详解】因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，
因为，，
所以
.
故选：C.
4. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417-公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…．如图，若记，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和余弦公式，求得的值，即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
5. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，求出，再根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】，，，
则，
，
，
的面积为．
故选：．
6. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.
详解】，由正弦定理化简得，
即，故，，
则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
故选：B.
8. 八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正八边形的边长为2，求出外接圆的半径OF和内切圆的半径OM，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果．
详解】正八边形中， ，
所以，
连接，过点O作，交、于点、，交于点，

，设，由余弦定理得，
中， ，，
中，，
所以，解得，
，解得，
所以，
当P与M重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，
当P与N重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为，
因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是.
故选：A．
【点睛】方法点睛：由图形可得，为定值，研究在上的投影向量的大小和方向即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则与共线
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据数量积的运算律，整理方程，求得数量积为零，可得答案；
对于B，利用数量积的定义式，化简方程，求得夹角余弦值，可得答案；
对于C，利用数量积的运算律，结合数量积的结果，可得向量关系，可得答案，
对于D，利用分类讨论的解题思想，解得向量的共线定理，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，则，
即，故A正确；
对于B，因为，且设向量夹角为，所以，
则，即或，即与共线，故B正确；
对于C，因为，所以，则或，故C错误；
对于D，因为，当时，，即，
当时，由共线向量定理可得，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知是复数，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的虚部为
C. 复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限
D. 若复数是纯虚数，则复数的共轭复数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，复数除法求出，结合复数模公式，即可求解；
对于B，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解；
对于C，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；
对于D，结合纯虚数和共轭复数的定义，即可求解．
【详解】对于A，，则，故，故A正确；
对于B，，则，，其虚部为，故B正确；
对于C，，故复数z在复平面中对应的点所在象限为第一象限，故C错误；
对于D，复数是纯虚数，则，解得，
故，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 若，则
D. 在内使的所有的和为
【答案】AB
【解析】
【分析】运用和差角、二倍角等公式将三角函数解析式化简后利用三角函数的图象和性质，逐一验证．
【详解】．
，故A正确；
当时，，正弦函数在单调递增，故B正确；
若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，，故C错误；
令，，，
在的根分别为：，
则有，
在内使的所有的和为：，故D错误．
故选：AB．
12. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有两解
B. 周长的最大值为12
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理判断A；由余弦定理结合基本不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断C；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理得，又，
所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误；
对于B，由余弦定理得：，
则，所以，
所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确；
对于C，，
因为，则的取值范围为，
所以的取值范围为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，则，则，
，
因为，
所以
.
因为，所以，则，
所以当，即时，取得最大值为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】方法点睛：三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，向量，，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】因为向量，，且，则，
因为，则，可得，故.
故答案为：.
14. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________．

【答案】90
【解析】
【分析】利用三角形内角和求得内角，结合正弦定理求得边长，利用直角三角形中的锐角三角函数，可得答案.
【详解】在三角形中，，，
，又，
由正弦定理可得：，，
解得，又在中，由题意可知：，
.
故答案为：.
15. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式可得，再结合题意分析求解.
【详解】因为，
整理得，
则，
所以
，
即.
故答案为：
16. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得的取值范围，再由向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．
【详解】，为单位向量，则，即，
，得，
令，
，
，
，
，
有，
由，则，即，得，
，即.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
本题考查向量的数量积和模等基础知识，解题关键在于令，把表示成关于的函数，由已知求出的取值范围，利用函数思想求的最小值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有点先向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到函数，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数图像最大值得，利用周期算，代图像上的点计算，得函数的解析式；
（2）由函数图像的变换求的解析式，由函数定义区间，利用解析式和正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
由图形可得，，解得，
∵过点，∴，即，
∴．又∵，∴．
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
将图像上所有点向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，
得到，
∵，∴，∴
∴
所以的值域为
18. 已知，，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，得到，再由求解；
（2）由求解.
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴，
；
【小问2详解】
由（1）知，，
又∵，，
∴，
∵，
所以，
∴，
.
19. 在中，已知，，，点为线段上一动点，设，.
（1）当时，试用，表示向量，并求；
（2）当取最小时，求与夹角余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量运算法则表示向量，利用向量模的公式求解模长即可；
（2）利用向量运算法则表示向量，利用向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
设，
则
，
∴，
当时，∴，
此时，∴，∴，
所以与夹角的余弦值为.
20. 已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，，
所以，，
即，
所以，，
又因为，则，所以，，
又因为，则，所以，，故.
【小问2详解】
解：由正弦定理知，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，则，
所以，，
因此，的取值范围是．
21. 已知向量，．
（1）如果且，求的值；
（2）令，若，且，，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，结合同角三角函数的商数关系求出，把要解的算式用两角和的正弦余弦公式展开，利用齐次式转化为求解.
（2）由向量的坐标运算和倍角公式化简，得，可求，由求出，利用倍角公式和两角和的余弦公式，求出，可得的大小.
【小问1详解】
∵，∴，又∵，
∴，∴，
∴
【小问2详解】
∴，
∵，∴，，
∴，
∴，，∴
有，，∴，
∴，
又∵，∴.
22. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，方案一平行四边形区域为停车场，方案二矩形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点在道路上，点，，在道路上，且米，，设．

（1）当点为弧的中点时，求的值；
（2）记平行四边形的面积为，矩形的面积为，说明，的大小关系，并求为何值时，停车场面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）
（2），当，最大为．
【解析】
【分析】（1）根据点位置，利用正弦定理得到,的长度，利用数量积公式可得.
（2）由面积公式可知，求，都可以利用正弦定理得到边的长度，再根据面积公式，结合三角函数可得最大值.
【小问1详解】
当点为弧的中点时，，
在中，，∴，∴
由正弦定理得
∴
【小问2详解】
因为矩形与平行四边形的底和高都相等，所以
若由平行四边形计算停车场面积
由平行四边形得，在中，，，
则，即，
即，
则停车场面积
，其中
所以，
则时，即时，
若由矩形计算停车场面积
在中，，，
在中，，∴
则停车场面积
，其中．
所以，
则时，即时，
答：不管是方案一还是方案二，当时，停车场面积最大，最大为．