2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集运算结果可得出关于的等式，求出的值，再进行检验即可.

【详解】因为，且，则，解得，

此时，，合乎题意.

故选：B.

2．已知命题且，命题，则是的（    ）

A．充要条件 B．充分且不必要条件

C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】当且时，由不等式的基本性质可得，即，

若，取，，命题成立，但命题不成立，即，

因此，是的充分且不必要条件，

故选：B.

3．已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；

对于B选项，当时，，且，B中的对应法则可以作为从到的函数；

对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；

对于D选项，当时，，则，且，

D中的对应法则可以作为从到的函数.

故选：C.

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若，，则 D．若则

【答案】D

【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D.

【详解】A：时，，错；

B：时，，错；

C：当时，，错；

D：，则，故，对.

故选：D

5．设函数，若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数，先由得，由代入分段函数可得.

【详解】由题意，

因，

所以，

故选：C

6．若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.

【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，

①当时，即当时，则，合乎题意；

②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，

则，解得.

综上所述，或.

故选：D.

7．已知，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由指数式化对数式可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质可求得的值.

【详解】因为，则，，

所以，.

故选：A.

8．若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围.

【详解】由，

仅当，即时等号成立，

要使不等式有解，只需，

所以.

故选：B

二、多选题

9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】ACD

【分析】利用集合的交集并集及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求解.

【详解】由图可知，阴影部分中的元素在集合中但不在集合中，

所以阴影部分所表示的集合是，，，

故选：ACD.

10．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用对数的运算性质可判断BD选项；利用根式的性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，C错；

对于D选项，

，D对.

故选：BD.

11．下列命题中是真命题的是（    ）

A．是的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件

D．是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件

【答案】BCD

【分析】A选项，举出反例，得到充分性不成立；B选项，解不等式得到且，从而得到B正确；C选项，根据的根都是正根求出，从而得到C正确；D选项，分与两种情况，求出，从而得到D正确.

【详解】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误；

B选项，，解得且，

所以不能推出，但能推出，故是的必要不充分条件，B正确；

C选项，的根都是正根，则要满足，解得，

故，但，

故是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件，C正确；

D选项，不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，满足题意，

当时，要满足，解得，

综上所述，不等式对一切实数恒成立，则，

因为，但，

故是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件，D正确.

故选：BCD

12．下列说法正确的是（    ）

A．若为正数，且满足，则的最小值为

B．已知实数，则表达式的最小值为

C．已知实数且，满足，则的最小值为

D．若两个不相等的正数满足，则的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据基本不等式、“1”的代换以及二次函数求最值判断各选项.

【详解】对于A，若为正数，，得，解得，所以当时，的最小值为；故A正确.

对于B，已知实数， ，

当时，即时，的最小值为，故B正确；

对于C，已知且，则，，，

，

所以当时，即，时，取最小值1，但已知，故C错误；

对于D，已知两个不相等的正数，

因为，所以，

所以，解得，，

所以

，

，

当时，，

所以当时，有最小值.

所以的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．命题“，”的否定是              ．

【答案】，

【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.

故答案为：，.

14．函数定义域为             ．

【答案】

【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得且，

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

15．对任意，记且，并称为集合的对称差．已知集合，集合，则              ．

【答案】

【分析】先根据解集求参数，再分别求出集合，进而求出，最后根据新定义求出对称差即可.

【详解】因为，

所以所以，

所以

所以，

且.

故答案为：.

16．已知

关于的不等式的整数解集为集合，若集合满足：①是有限集，②，则集合中所有元素的和为       ．

【答案】

【分析】分、两种情况，根据集合满足的条件求得，从而解不等式，可得，从而问题可解.

【详解】当时，，则，不满足题意，舍去.

当时，由题意可得，解得，

，即，

，，

原不等式为，即，解得，，

故集合中所有元素的和为.

故答案为：

四、解答题

17．计算求值：

(1)计算：

(2)已知，求 的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数和指数幂运算法则，化简求值；

（2）首先将条件等式两边平方，再根据立方差公式，化简求值.

【详解】（1）

；

（2），

，

.

18．已知为实数，，

(1)若，求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用交集和补集的定义即可求解；

（2）利用集合的运算与子集的关系，结合子集的定义即可求解.

【详解】（1），

由，得，

，

，

.

（2），

，

由（1）知，，

当时，,解得；

当 时，，解得,

综上所述：实数a的取值范围是.

19．已知命题函数的两个零点均在上，命题．

(1)若是真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）因为命题是真命题，则函数的两个零点均在上列不等式组计算即可；

（2）是的必要且不充分条件得出集合间关系列不等式组求解即可.

【详解】（1）因为函数的两个零点均在上

所以

所以

所以实数的取值范围为

（2）因为，所以

因为是的必要且不充分条件，

所以 且两等号不同时成立，

，所以实数的取值范围为

20．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．

(1)求利润函数及利润函数的最大值；

(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．

【答案】(1)利润函数，最大值为（元）

(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元

【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；

（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.

【详解】（1）由题意知，

，

易得的对称轴为，

所以当或时，取得最大值为（元）．

所以利润函数，最大值为（元）；

（2）依题意，得

（元）.

当且仅当时等号成立，即时，等号成立．

所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．

21．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：

①函数图象过点；

②函数图象开口向上，过点，对称轴为，且顶点到轴的距离为；

③函数的顶点为，且函数的图象与轴交点间的距离为．

已知二次函数， ．

(1)求函数的解析式；

(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数k的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①：设一般式，根据题意列式求解即可；若选②：根据题意可设顶点式，列式求解即可；若选③：根据题意可设两点式，再代入即可得解；

（2）根据题意分析可得在上恒成立，换元令，根据恒成立问题结合二次函数分析求解.

【详解】（1）若选①：设，

由题意可得：，解得，

所以；

若选②：根据题意可设，

因为，解得或（舍去），

所以；

若选③：因为函数的顶点为，与轴交点间的距离为，

所以与轴交于点，

设，

可得，则，

所以.

（2）因为的图象恒在图象的上方，

所以在上恒成立， 即，

且，可得在上恒成立，

令，则，可得，

当时，取最小值，可得，

所以实数k的取值范围.

22．已知函数.

(1)当时，求关于的不等式的解集；

(2)若，的值域为，，的值域为，若，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）时，，分、、三种情况讨论即可求解.

（2）由，得，根据一次函数的性质可得，根据二次函数的性质结合对称轴分析可得，进而结合集合包含关系求解即可.

【详解】（1）因为，，

当时，，无解；

当时，，所以解为；

当时，，所以解为.

综上所述，当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为．

（2）由，得.

因为，，

所以的值域，

对于，，

①时，，的值域是，

此时的值域为，，所以成立．

②时，的对称轴为，

所以的最大值为，最小值为，值域为，

所以，所以．

③时，的对称轴为，

当，即时，

的最大值为或，最小值为，

所以，所以.

当，即时，

的最大值为，最小值为，

所以，解得．

综上所述，的取值范围是．

【点睛】方法点睛：解含参一元二次不等式，常常利用分类讨论的思想求解，常见分类如下：

（1）二次项系数是否为0；

（2）二次项系数是否大于0；

（3）判别式及两根的大小.