2022-2023学年江苏省徐州高级中学高一下学期3月月考数学试题

这是一份2022-2023学年江苏省徐州高级中学高一下学期3月月考数学试题，文件包含江苏省徐州高级中学高一下学期3月月考数学试题原卷版docx、江苏省徐州高级中学高一下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】解：原式，
故选：C.
2. 某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生
A. 1260B. 1230C. 1200D. 1140
【答案】D
【解析】
【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．
【详解】设女生总人数为：人，由分层抽样的方法可得：
抽取女生人数为：人，
所以，解得：
故选D
【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式求出，再用二倍角公式可求得答案.
【详解】，则，
故选：D.
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式，是基础题.
4. 已知向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算，代入化简即可得解.
详解】向量，
且，则，
所以，则，即.
故选：A
5. 在中，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C 等腰直角三角形D. 正三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.
【详解】由，
得，
得，
由于，
所以，所以
故选：B
6. 在△ABC中， AB＝4，AC＝2点E，F分别是AB，AC的中点，则（ ）
A. －6B. 6C. －12D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算化简所求向量表达式，结合向量数量积运算律求其值.
【详解】∵ ，
，
∴
∴,
又，
∴
故选：B.
7. 定义运算，若，则等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由定义运算知，即，又
，又，，．
考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用
8. 设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，得到，再利用两角和的三角函数的公式求解.
【详解】因为直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知数据，，…，的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据，，…，，其中（i=1，2，…，60），则（ ）
A. 新数据的平均数是2a+1B. 新数据的方差是4b
C. 新数据的中位数是2cD. 新数据的极差是2d
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义即可判断答案.
【详解】的平均数为a，所以，A正确；
方差为b，即，所以，B正确；
中位数为c，则的中位数为，C错；
极差为d，则的极差为，D对.
故选：ABD.
10. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变换公式分析判断
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D，
，所以D错误，
故选：AC
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．
【详解】，A正确；
由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；
，C正确；
，
在上的投影为，又，
∴在上的投影向量为，D正确．
故选：ACD．
12. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B．利用两角和的正弦公式将条件展开，然后两边同除得到所满足的等式，
结合基本不等式确定出和的取值范围；
C．根据两角和的正弦和余弦公式化简C选项，从而可计算出的值并进行判断；
D．根据两角和的正切公式以及的取值范围化简并计算出的取值范围.
【详解】由，得，
同除，得，
由，故，
则，
解得，取等号时，
注意到，
于是，故A，B正确；
对于C选项，结合条件可得：
，
解得或，
但由AB选项可知都不可能成立，故C选项错误；
对于D选项，，
由知，，
∴，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，满足，，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：2.
14. 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式即可求出．
【详解】原式．
故答案为：
15. 若，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，又,故，
所以，
所以
.
故答案为：
16. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】设，，则，利用向量的数量积的运算律和定义，将化为关于的函数，利用三角函数知识可求出最小值.
【详解】设，，则，
所以
，
因，所以，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）当m＝﹣3时，求向量与夹角的余弦值；
（2）若A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
【分析】（1）求出向量，的坐标，运用向量的夹角公式，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，计算即可得到m．
【详解】解：（1）点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4），
则，，，
则向量与夹角的余弦值为；
（2）A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，
则有⊥，由于，，
则，解得．
18. 某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）分成六段后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，从图中估计总体的中位数是多少分（精确到0.1）？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的组中值作为代表，据此估计本次考试的平均分.
【答案】（1）0.3，直方图见解析
（2）73.3分 （3）71分
【解析】
【分析】（1）根据直方图各个小长方形的面积之和为列方程求解，由所求结果补全直方图；
（2）先确定中位数的范围，然后根据中位数平分直方图的面积求解；
（3）根据题意计算平均数即可.
【小问1详解】
设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有：
，解得，
分数在内的频率为0.3.
频率分布直方图如图所示.
【小问2详解】
分数在内的频率为：，
又分数在的频率为，中位数在内，
中位数要平分直方图的面积，中位数为.
【小问3详解】
利用组中值估算抽样学生的平均分为：
，
估计这次考试的平均分是71分.
19. 从①，②，③，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角是第四象限角，且满足__________.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，利用诱导公式求出的值，结合同角三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值；
选②，利用诱导公式求出的值，结合同角三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值；
选③，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系求出的正弦值和余弦值，再利用两角和的余弦公式可求得的值；
（2）求出值，利用两角差的正切公式可求得的值.
【小问1详解】
解：若选①，则由题意得，则，
又角是第四象限角，所以，
于是.
若选②，则由题意得，
又角是第四象限角，所以，
于是.
若选③，则由题意得，且为第四象限角，得，
所以，
于是.
【小问2详解】
解：由（1）可知，
所以.
20. 设向量，，其中.
（1）若，求实数x的值；
（2）已知且，若，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解.
(2)由向量垂直的坐标表示求出，再借助数量积建立函数关系求解作答.
【小问1详解】
因向量，，则，
又，则有，即，于是得，
而，解得，
所以实数x的值是.
【小问2详解】
因为且，则，即，有，
，因，则，，即，
所以的值域.
21. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意得，结合即可得解；
（2）由，求解即可.
【小问1详解】
在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
【小问2详解】
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
22. 扇形的圆心角为，所在圆半径为，它按如图1、图2两种方式有内接矩形.

（1）矩形的顶点在扇形的半径上，顶点在圆弧上，顶点在半径上，设；
（2）点是圆弧的中点，矩形的顶点在圆弧上，且关于直线对称，顶点分别在半径上，直线分别交于点，设.试研究（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？
【答案】（1）
（2），矩形面积的最大值为方式（1）
【解析】
【分析】（1）用所给的角得到矩形的面积，结合三角函数的性质，求得最大值；
（2）用所给的角得到矩形的面积，结合三角函数的性质，求得最大值，然后比较面积的最大值，即可得到结果.
【小问1详解】
如图所示，在直角中，
由，可得，.
又，
所以
.
当，即时，
矩形的面积最大，最大值为.
【小问2详解】
，于是，
又，
所以
，
当时，即时，矩形的面积最大，最大值为，
因为，
所以（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值为方式（1）.