2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试题

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1. 在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的几何意义求解即可
【详解】因为，
所以复数对应的点为，且在第二象限，
故选：B
2. 已知（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标的加减运算及数量积公式求解结果.
【详解】，
，
.
故选：A.
3. 已知且都是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为且都是第二象限角，
所以，，
所以.
故选：C.
4. 设是平面内的一组基底，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确.
【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误；
B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误；
C选项，，
，
故，故三点共线，C正确；
D选项，，
设，则，无解，故三点不共线，D错误.
故选：C
5. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以所求最小正周期.
故选：C.
6. 在中，已知，则形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
7. 京西某游乐园摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A. 10分钟B. 12分钟C. 14分钟D. 16分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得出第一次距地面34米到第二次距地面34米之间经过的圆周角为，结合即可求解.
【详解】由题意，可得如下图：
由图可知，所以，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为.
故选：B
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD：DC：AD＝2：3：6，则∠BAC的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan∠BAD、tan∠CAD，利用两角和的正切函数求出tan∠BAD的值，由∠BAC的范围和特殊角的正切值求出∠BAC；
【详解】解：∵BD：DC：AD＝2：3：6，AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，
则tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝＝1，
又∠BAC∈（0，π），
则∠BAC＝ ；
故选：B．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若则B. 若则
C. 若则D. 若则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的有关知识即可得出．
【详解】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；
．，则，正确；
C.，则与不能比较大小；
．，则，因此正确．
故选：．
10. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐项判断即可.
【详解】对于A，，
故A正确；
对于B，
，
，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量模长运算可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：BC.
12. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，进而根据数量积的公式即可求解A,C,根据模长公式可求B,根据夹角公式可求D.
【详解】,故A错，C对，，故B对，
，由于，故，故D对.
故选：BCD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知为虚数单位，复数z满足那么的最小值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】用代数形式表示出复数z，然后采用三角代换可得最小值.
【详解】设，代入得，
设，，则，
当时，即取等号. 即的最小值是1.
故答案为：1.
14. 已知，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
15. 如图，点是线段的三等分点，以为基底表示______.

【答案】##
【解析】
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】因为点是线段的三等分点，则，
所以.
故答案为：.
16. 已知向量满足，且与的夹角为，与的夹角为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为，与的夹角为，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理可求出结果.
【详解】因为，
所以三个向量首尾相接后，构成一个三角形，如图，

设，
因为与的夹角为，与的夹角为，
所以，
所以由正弦定理得，得，
所以，解得，
所以，
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在复平面内，复数（其中为虚数单位，）．
（1）若复数z为纯虚数，求a的值；
（2）若复数z>0，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值.
（2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值.
【小问1详解】
由于为纯虚数，
所以，可得．
【小问2详解】
由于与可以比较大小，所以为实数，且，
所以，可得．
18. 已知角θ满足，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】由题设，利用和角正切公式求得，
（1）利用二倍角正余弦公式化简三角函数式，进而化切即可求值.
（2）应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的平方关系，并将弦化切，即可求值.
【详解】，解得.
（1）.
（2）.
19. 已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
20. 已知向量设函数
（1）求的单调区间；
（2）若函数其中当函数大于等于恒成立时，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，利用整体法求解单调区间；
（2）求出函数在的值域，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
∵，
令，，解得，；
令，，解得，；
∴的单调递增区间为，；
∴的单调递减区间为，；
小问2详解】
由，可得，则，
所以函数在的值域为.
，即在上恒成立，
∴.
的取值范围是.
21. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
（1）求氢能源环保电动步道的长；
（2）若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；
（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
【小问1详解】
解：．，，
，，由余弦定理得，
，．
【小问2详解】
解：若选①：，在中，由正弦定理得，．
，由（1）知．代入上式可得，解得，
，
，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
若选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），
．，，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
22. 如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且
（1）求；
（2）设与相交于点，求与的夹角的余弦值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理求解，再结合向量的数量积及模公式求得结果；
（2）利用求与的夹角的余弦值.
【小问1详解】
设，，则，，，，
，
，则，即；
【小问2详解】
，同理可得，，
∴，
∵，∴.