2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期3月阶段测试数学试题

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一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据诱导公式将变形为，然后根据两角和的余弦公式求解出结果.
【详解】由题意，，
所以原式．
故选：C．
2. 在中，，，，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 2或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理：，即，
则，解得或.
故选：C.
3. 在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理可求解.
【详解】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，
则，，.
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里
故选：A
4. 设，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题.
5. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.
【详解】由题知，，是方程的两根，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为，则，所以，，
所以，.
故选：B.
7. 在中，已知，，则等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式可求得结果.
【详解】在中，因为，所以，
因为，所以或，
因为在中，，所以，
所以，所以角为锐角，
所以，
又，
所以.
故选：B
8. 函数在区间上的零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】令，可解得，根据解的个数可得.
【详解】，
令可得或(舍去)，
因为区间有2个根，所以在区间上的零点个数为2.
故选：A.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．
【解答过程】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
10. 在中，角所对的边分别为，且，．若有二解，则的值可以是（ ）
A 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题可得，即可求出参数的取值范围，从而得解；
【详解】因为，，有二解，
所以，即.
故选：BC.
11. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若则定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边中，边长为2，则其面积为
D. 若三角形三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ABCD
【解析】
【分析】A，根据大角对大边及正弦定理可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据三角形面积公式求解即可；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角.
【详解】对于A选项，在中，由，得，由正弦定理得，故A选项正确；
对于B选项，由于，由于，是三角形的内角，
所以或，即或，
因此可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；
对于C选项，在等边中，边长为2，则，故C选项正确；
对于D选项，因为的三边之比为，所以设三边长依次为，，，其中，
设最大角是，由余弦定理知，所以，
因为，所以，即此三角形的最大角为钝角，故D选项正确.
故选：ABCD.
12. 在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（ ）
A. 若，最大内角是最小内角的倍
B. 若，则一定为直角三角形
C. 若，则外接圆半径为
D. 若，则一定是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，求得，由此确定选项正确.对于B选项，求得，由此确定选项正确.对于C选项，利用正弦定理求得外接圆半径，由此确定选项错误.对于D选项，证得，得到，确定选项正确.
【详解】对于A选项，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，，由正弦定理得，
，，由于，所以，故B选项正确.
对于C选项，，，，
设三角形外接圆半径为，则，故C选项错误.
对于D选项，，故，同理可得，
要使，
则需，
所以，所以，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径，要注意公式是，而不是.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 函数的最小正周期为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二倍角公式将原函数化简为，然后根据周期公式可得到结果.
【详解】因为
所以函数的最小正周期为，
故答案为：.
14. 已知则_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可求出结果.
【详解】因为,
所以，
故答案为：2.
15. 已知在中，是的中点，，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先在中，利用正弦定理求，再求，最后根据面积公式求解.
【详解】在中，由正弦定理得，解得，故，

所以，由为的中点所以．
故答案为：
16. 函数的最大值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】令，化简函数得到，最大值为1
【详解】令，则.
∴
.∴.
故答案为1
【点睛】本题考查了三角函数的最大值问题，取可以简化运算，是解题的关键.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知，，，，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】(1)由题意整理所给的三角函数式求得的值，然后结合角的范围即可确定的值；
(2)首先由同角三角函数基本关系求得的值，然后结合(1)中的结论和诱导公式、二倍角公式即可确定的值.
【详解】（1）.
因为，所以，所以，所以.
（2）因为，，所以，所以
.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，二倍角公式与诱导公式的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18. 解答下列问题：
（1）中，角所对的边分别为若，判断的形状；
（2）在中，角的平分线求的长.
【答案】（1）等边三角形；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由可得，由可得，即可得答案；
(2) 在中，由正弦定理可得，，在中，可得，，，利用正弦定理求解即可.
【小问1详解】
解：因，
所以因为，
所以，
即，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以为等边三角形；
【小问2详解】
解：如图所示：
在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，，
所以，
由正弦定理可得，
即，
解得.
19. 在中，角所对的边分别为且
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简求解.
（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理有：
，
因为在中，，所以，
所以，由倍角公式有：，
因在中，，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
由（1）有：，因为的面积为
所以，即，解得，
由余弦定理有：，
即，解得，所以，
所以的周长.
20. （1）已知，求的值；
（2）已知，，则．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设条件利用倍角公式整理得，再根据齐次式问题化简求值；
（2）先根据运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式化简求解.
【详解】（1）∵，则，即，
∴．
（2）∵，则，
整理得，
所以，
又∵，则，且，
则，即，
∴，
故．
21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若，D为边的中点，，求a；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在和中，利用余弦定理结合，可得的关系式，在中，利用余弦定理可得的关系式，即可得解；
（2）根据，，结合正弦定理化角为边，即可求得角，再利用余弦定理即可基本不等式即可得解.
【小问1详解】
在中，，
在中，，
因为，所以，
即，化简得，
在中，由，得，
所以，解得或（舍去），
所以，所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，所以，
又，所以，
则，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
即面积的最大值．
22. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为
【解析】
【分析】
（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.
（2）计算，得到，得的最值.
【详解】（1）设，则在直角中，，.
在直角中，，
.
，，
所以当，即，的最大值为.
（2）在直角中，由，
可得.
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当，达到最大值.
【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.