2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又非必要条件
2.直线l1：x+my+7=0和直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相垂直，则实数m的值为( )
A. m=−3B. m=12
C. m=1或m=3D. m=−1或m=3
3.直线x− 3y=0绕原点按顺时针方向旋转30∘后所得的直线l与圆(x−2)2+y2=3的位置关系是( )
A. 直线l过圆心B. 直线l与圆相交，但不过圆心
C. 直线l与圆相切D. 直线l与圆无公共点
4.在区间(0,1)上，若f′(x)>1，则下列四个图中，能表示函数y=f(x)的图像的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.8− 2与8+ 2的等差中项是______.
6.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是______.
7.直线 3x+y+1=0的倾斜角是______.
8.已知函数f(x)=xlnx，则f′(x)=______.
9.空间向量a=(2,2,−1)的单位向量的坐标是______.
10.已知曲线x2m+2+y2m+1=1是焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是______.
11.过点A(2,3)且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是______.
12.直线x+y−1=0与直线2x−y=0的夹角是______(用反三角表示).
13.圆x2+y2−2x+2y+1=0的圆心到直线x+y+1=0的距离是______.
14.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若S3=72，S6=632，则an=______.
15.若双曲线的一条渐近线为y=34x，且右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为______.
16.已知空间三点A(−1,3,1)，B(2,4,0)，C(0,2,4)，则以AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积为______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(1,4,−2)，b=(−2,2,4).
(1)若c=12b，求cs的值；
(2)若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值.
18.(本小题10分)
已知圆x2+y2=8内有一点P0(−1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α=3π4时，求|AB|的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
19.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−n(n∈N*).
(1)求证：数列{an+1}是等比数列；
(2)若数列bn=lg2(an+1)，求数列{bn}的前n项和.
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=13x3−4x+4.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[−3,4]上的最大值和最小值.
21.(本小题12分)
椭圆C：x24+y22=1.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若F1、F2分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且PF1⋅PF2=1，求点P的坐标；
(3)如果l：y=x+m被椭圆C截得的弦长4 53，求该直线的方程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如果一个数列是常数列，那么这个数列不一定是等比数列，如常数列：0，0，0，…，不是等比数列，充分性不成立；
如果一个数列是公比为1的等比数列，那么这个数列是常数列，必要性成立；
是必要不充分条件．
故选：B.
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由于直线l1：x+my+7=0和直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相垂直，
故m−2+3m=0，
故m=12.
故选：B.
直接利用直线垂直的充要条件求出m的值．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，一元一次方程的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：直线x− 3y=0的倾斜角为30∘，
直线x− 3y=0绕原点按顺时针方向旋转30∘后所得的直线l，
则直线l的方程为y=0，即x轴，
圆(x−2)2+y2=3，即圆心为(2,0)，
故直线l与圆(x−2)2+y2=3的位置关系是直线l过圆心(2,0).
故选：A.
先求出直线l的方程，再结合圆的方程，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，在区间(0,1)上，若f′(x)>1，
在函数f(x)上任意一点切线的斜率都大于1，
分析选项，A符合这个特点．
故选：A.
根据题意，由导数的几何意义分析可得在函数f(x)上任意一点切线的斜率都大于1，分析选项即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数导数的几何意义，属于基础题．
5.【答案】8
【解析】解：8− 2与8+ 2的等差中项是12×[(8− 2)+(8+ 2)]=8.
故答案为：8.
根据等差中项的定义计算即可．
本题考查了等差中项的定义与计算问题，是基础题．
6.【答案】x=−a4
【解析】解：抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是：x=−a4.
故答案为：x=−a4.
利用抛物线的标准方程，直接写出准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
7.【答案】120∘
【解析】解：由 3x+y+1=0，得y=− 3x−1，
设直线 3x+y+1=0的倾斜角α(0∘≤α<180∘)，
则tanα=− 3，所以α=120∘.
故答案为：120∘.
化直线方程的一般式为斜截式，利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．
本题考查了直线的一般式方程，考查了一般式化斜截式，考查了斜率是倾斜角的正切值，是基础题．
8.【答案】lnx+1
【解析】解：函数的导数为f′(x)=lnx+x⋅1x=lnx+1，
故答案为：lnx+1
求函数的导数，即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
9.【答案】(23,23,−13)
【解析】解：|a|= 4+4+1=3，
∴a的单位向量的坐标为：a|a|=13(2,2,−1)=(23,23,−13).
故答案为：(23,23,−13).
得出|a|=3，从而得出a的单位向量坐标为：a|a|=13(2,2,−1)，然后进行向量坐标的数乘运算即可．
本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】(−2,−1)
【解析】解：∵x2m+2+y2m+1=1是焦点在x轴上的双曲线，
∴m+2>0，m+1<0，即−2故答案为：(−2,−1).
根据双曲线标准方程的特点求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
11.【答案】x+2y−8=0
【解析】解：由题意，所求的直线与直线x+2y−6=0平行，
可设为x+2y+m=0，又直线过点A(2,3)，则2+2×3+m=0，解得m=−8，
因此过点A(2,3)且与直线x+2y−6=0平行的直线方程是x+2y−8=0.
故答案为：x+2y−8=0.
由所求的直线与直线x+2y−6=0平行，设出直线的方程，再将点A(2,3)代入直线方程，求出参数，可得答案．
本题考查了两直线的平行关系，属于基础题．
12.【答案】arctan3
【解析】解：因为直线x+y−1=0的斜率为k=−1，
直线2x−y=0的斜率为k′=2，
设两条直线的夹角为θ，
则tanθ=|k′−k1+k′k|=|2−(−1)1+2×(−1)|=3，
因为θ∈(0,π2)，
所以θ=arctan3.
则直线x+y−1=0与直线2x−y=0的夹角是arctan3.
故答案为：arctan3.
分别求出两条直线的斜率，然后利用夹角公式求解即可．
本题考查了直线方程的理解与应用，直线斜率的求解，两条直线夹角公式的运用以及反三角函数的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
13.【答案】 22
【解析】解：圆x2+y2−2x+2y+1=0的圆心(1,−1)，
圆x2+y2−2x+2y+1=0的圆心到直线x+y+1=0的距离是：|1−1+1| 2= 22.
故答案为： 22.
求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14.【答案】2n−1
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若S3=72，S6=632，即S3=a11−q(1−q3)=72S6=a11−q(1−q6)=632，变形可得1−q61−q3=1+q3=9，
解可得：q=2；
又由S3=72，即a1(1+q+q2)=a1(1+2+4)=72，解可得a1=12，
故an=a1qn−1=2n−1.
故答案为：2n−1.
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得即S3=a11−q(1−q3)=72S6=a11−q(1−q6)=632，变形可得q的值，进而求出a1的值，计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】x216−y29=1
【解析】解：抛物线y2=20x的焦点为(5,0)，
即有双曲线的焦点为(±5,0)，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
则c=5，
由渐近线方程为y=±bax.
则有有ba=34，
又a2+b2=c2，
解得a=4，b=3，
则双曲线的方程为x216−y29=1.
故答案为：x216−y29=1.
求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有ba=34，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．
本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属基础题．
16.【答案】2 30
【解析】解：由已知得AB=(3,1,−1)，AC=(1,−1,3)，
故|AB|= 32+1+1= 11，同理|AC|= 11，
AB⋅AC=3×1+1×(−1)+(−1)×3=−1，
故csA=cs=AB⋅AC|AB||AC|=−111，sinA=2 3011，
所以所求四边形的面积为|AB||AC|sinA=2 30.
故答案为：2 30.
求出AB,AC的模长和夹角的正弦值，套用三角形的面积公式求解．
本题考查空间向量坐标条件下数量积的计算，模长和夹角的计算等，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知可得c=12b=(−1,1,2)，a=(1,4,−2)，
∴cs=a⋅c|a||c|=1×(−1)+4×1+(−2)×2 1+16+4× 1+1+4=−1 21 6=− 1442.
(2)ka+b=(k−2,4k+2,−2k+4)，a−3b=(7,−2,−14)，
∵(ka+b)//(a−3b)，∴存在实数m使得ka+b=m(a−3b)，
∴k−2=7m，4k+2=−2m，−2k+4=−14m，联立解得k=−13.
【解析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解．
本题空间向量夹角公式以及向量的共线定理，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当α=34π时，直线AB的方程为y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，
设圆心到直线AB的距离为d，则d=−1 2= 22，
∴|AB|=2 r2−d2= 30.
(2)当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，
∵kOP0=−2，
∴kAB=12，
∴直线AB的方程为y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0.
【解析】本题考查直线方程，考查两条直线垂直的条件，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
(1)当α=3π4时，求出直线AB的方程，圆心到直线AB的距离，即可求AB的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，求出直线AB的斜率，即可写出直线AB的方程．
19.【答案】(1)证明：由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，
当n≥2时，由Sn=2an−n，
可得Sn−1=2an−1−(n−1)，
两式相减，
可得an=2an−2an−1−1，
整理，得an=2an−1+1，
两边同时加1，
可得an+1=2an−1+1+1=2(an−1+1)，
∵a1+1=1+1=2，
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得，an+1=2⋅2n−1=2n，
则bn=lg2(an+1)=lg22n=n=1+1⋅(n−1)，
故数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴数列{bn}的前n项和为1⋅n+n(n−1)2⋅1=n(n+1)2.
【解析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值，当n≥2时，由Sn=2an−n，可得Sn−1=2an−1−(n−1)，两式相减进一步推导转化即可证得数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{an+1}的通项公式，进一步计算出数列{bn}的通项公式，即可发现数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可推导出数列{bn}的前n项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的通项公式及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=13x3−4x+4，所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
由f′(x)>0得x<−2或x>2，
故函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)，(2,+∞)；
由f′(x)<0得−2故函数f(x)的单调递减区间为(−2,2).
(2)令f′(x)=x2−4=0得x=±2，
由(1)可知，在[−3,4]上f(x)有极小值f(2)=−43，极大值f(−2)=958，
而f(−3)=7，f(4)=283，
所以f(x)在[−3,4]上的最大值为283，最小值为−43.
【解析】(1)求导数，利用导数的正负，即可求f(x)的单调区间；
(2)由(1)可知，在[−3,4]上f(x)有极小值f(2)=−43，极大值f(−2)=958，而f(−3)=7，f(4)=283，即可求f(x)在[−3,4]上的最大值和最小值．
本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由椭圆的方程：x24+y22=1，
可得a=2，b= 2，c= a2−b2= 2，
所以离心率e=ca= 22；
(2)由(1)可得F1(− 2,0)，F( 2,0)，设P(x0,y0)，
则PF1⋅PF2=1，即(− 2−x0,−y0)⋅( 2−x0,−y0)=1，
可得x02−2+y02=1，而x024+y022=1，
可得y02=1，可得y0=±1，x0=± 2，
所以P( 2,1)或( 2,−1)或(− 2,1)或(− 2,−1)；
(3)设直线l与椭圆的交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=x+mx24+y22=1，整理可得：3x2+4mx+2m2−4=0，
Δ=16m2−3×4×(2m2−4)>0，即m2<6，且x1+x2=−43m，x1x2=2m2−43，
所以弦长|AB|= 1+12⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 2⋅ 16m29−4⋅2m2−43=4 53，
解得：m=±1，
所以直线l的方程为y=x±1.
【解析】(1)由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再求离心率的值；
(2)由(1)可得左右焦点的坐标，设P的坐标，代入椭圆的方程，可得P点的横纵坐标的关系，再由PF1⋅PF2=1，可得P的横纵坐标的关系，进而求出P的坐标；
(3)联立直线l与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，求出弦长的表达式，由题意可得m的值，进而求出直线l的方程．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．