2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线l经过点A(2,−3)、B(3,1)，则以下不是直线l的方程的为( )
A. y+3=4(x−2)B. y−1=4(x−3)C. 4x−y−11=0D. y+31=x−24
2. 在下列双曲线中，与x2−y24=1共渐近线的为( )
A. x216−y24=1B. x24−y216=1C. x22−y2=1D. x2−y22=1
3. 已知椭圆C：x225+y29=1，直线l：(m+2)x−(m+4)y+2−m=0(m∈R)，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
4. 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1(−1,0)、F2(1,0)是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足|PF1|⋅|PF2|=2的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：
①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②动点P的横坐标的取值范围是[− 3, 3]；
③|OP|的取值范围是[1, 3]；
④△PF1F2的面积的最大值为1．
其中正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 直线x−y+3=0的倾斜角为______．
6. 双曲线x22−y23=1的焦距为______ ．
7. 过点(1,1)且与直线x+2y−1=0平行的直线方程为______ ．
8. 已知椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为______ ．
9. 若抛物线y2=8x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为______ ．
10. 如果方程(m+1)x2+(2−m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为______ ．
11. 已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2−6x+8y+25−m2=0(m>0)外切，则实数m的值为______ ．
12. 若直线ax−y+3=0与直线x−2y+4=0的夹角为arccs 55，则实数a的值为______ ．
13. 已知点M(a,b)在直线3x−4y−10=0上，则 a2+b2的最小值为______．
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(8,0)，|PA||PB|=12，则点P的轨迹方程为______ ．
15. 如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为______ (用R、r表示)．
16. 已知点M、N分别是椭圆x24+y23=1上两动点，且直线OM、ON的斜率的乘积为−34，若椭圆上任一点P满足OP=λOM+μON，则λ2+μ2的值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题16.0分)
已知直线l1：(m−1)x+2y−m=0与直线l2：x+my+m−2=0．
(1)若l1与l2垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2平行，求实数m的值．
18. (本小题16.0分)
已知圆C：x2+y2=25，点P(3,4)．
(1)求过点P的圆C的切线l的方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
19. (本小题16.0分)
已知抛物线y2=2px(p>0)，其焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求△AOB的面积．
20. (本小题16.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4 2，离心率为 62.动点P是双曲线C上任意一点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点A(3,0)，求线段AP的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点A(3,0)，求|AP|的最小值．
21. (本小题16.0分)
已知椭圆C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0)，短轴长为2 3，F1、F2是椭圆的两个焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P是椭圆C上的点，且∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面积；
(3)若过点G(3,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTA恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：直线l经过点A(2,−3)、B(3,1)，
则直线l的斜率为1−(−3)3−2=4，故D选项中的直线不是直线l的方程．
故选：D．
先求出直线l的斜率，再结合选项中的直线方程，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：双曲线x2−y24=1的渐近线方程为y=±2x，
对于选项A，双曲线x216−y24=1的渐近线方程为y=±12x，即选项A不符合题意；
对于选项B，双曲线x24−y216=1的渐近线方程为y=±2x，即选项B符合题意；
对于选项C，双曲线x22−y2=1的渐近线方程为y=± 22x，即选项C不符合题意；
对于选项D，双曲线x2−y22=1的渐近线方程为y=± 2x，即选项D不符合题意．
故选：B．
由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由直线l：(m+2)x−(m+4)y+2−m=0，得2x−4y+2+m(x−y−1)=0，
联立2x−4y+2=0x−y−1=0，解得x=3y=2．
∴直线l过定点P(3,2)，代入椭圆C：x225+y29=1，
有925+49=181225<1，可知点P在椭圆内部，则直线l与椭圆C的位置关系为相交．
故选：A．
由直线系方程求得直线所过定点坐标，代入椭圆方程，可知定点在椭圆内部，则答案可求．
本题考查直线系方程的应用，考查椭圆的简单性质，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设P(x,y)，则 (x+1)2+y2⋅ (x−1)2+y2=2，
所以[(x+1)2+y2[(x−1)2+y2]=4，则(x2−1)2+2y2(x2+1)+y4=4，
将(x,y)、(−x,y)、(−x,−y)代入上述方程后，均有(x2−1)2+2y2(x2+1)+y4=4，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；
令t=y2≥0，则t2+2(x2+1)t+(x2−1)2−4=0，
对于f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2−1)2−4，对称轴为x=−(x2+1)<0，
所以f(t)在[0,+∞)上递增，要使f(t)=0在[0,+∞)上有解，只需f(0)=(x2−1)2−4≤0，
所以−1≤x2−1≤2，即0≤x2≤3，可得− 3≤x≤ 3，②正确；
由|OP|2=x2+y2，由f(t)=0中，Δ=4(x2+1)2−4(x2−1)2+16=16(x2+1)，
所以t=y2=−2(x2+1)+ Δ2=2 x2+1−(x2+1)>0，其中负值舍去，
综上，|OP|2=x2+y2=2 x2+1−1，又0≤x2≤3，即1≤x2+1≤4，
所以|OP|2∈[1,3]，则|OP|∈[1, 3]，③正确；
由|PF1|+|PF2|≥2 |PF1|⋅|PF2|=2 2，仅当|PF1|=|PF2|= 2时等号成立，
△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=sin∠F1PF2，
而cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|≥0，所以0°<∠F1PF2≤90°，
所以△PF1F2的面积的最大值为1，④正确．
所以正确的个数为4个．
故选：D．
设P(x,y)，由题设可得曲线C为(x2−1)2+2y2(x2+1)+y4=4，将(x,y)、(−x,y)、(−x,−y)代入即可判断①；令t=y2≥0，由f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2−1)2−4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得|OP|2=x2+y2=2 x2+1−1，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定∠F1PF2范围，再根据三角形面积公式求最值判断④．
本题考查了动点的轨迹方程以及利用方程研究曲线的性质，属于中档题．
5.【答案】45°
【解析】解：直线x−y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．
故答案为45°．
求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．
本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．
6.【答案】2 5
【解析】解：已知双曲线的方程为x22−y23=1，
则双曲线x22−y23=1的焦距为2 2+3=2 5．
故答案为：2 5．
结合双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
7.【答案】x+2y−3=0
【解析】解：设过点(1,1)且与直线x+2y−1=0平行的直线方程为：x+2y+c=0(c≠−1)，
把(1,1)代入得：
1+2+c=0，解得c=−3，
∴过点(1,1)且与直线x+2y−1=0平行的直线方程为x+2y−3=0．
故答案为：x+2y−3=0．
设过点(1,1)且与直线x+2y−1=0平行的直线方程为：x+2y+c=0，把(1,1)代入，能求出结果．
本题考查直线与直线平行的性质、待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】8
【解析】解：如图，

由椭圆x24+y2=1，得a2=4，a=2，
∴△ABF2的周长为4a=8．
故答案为：8．
由题意画出图形，由椭圆方程求出a，结合椭圆定义求得△ABF2的周长．
本题考查投于的简单性质，考查了椭圆的定义，是中档题．
9.【答案】6
【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x=−2，
又A点在抛物线上，由抛物线的定义可得|AF|=d=4−(−2)=6．
故答案为：6．
求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得所求距离．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】(−∞,−1)
【解析】解：(m+1)x2+(2−m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则2−m>0m+1<0，
即m<−1，
则实数m的取值范围为(−∞,−1)．
故答案为：(−∞,−1)．
结合双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
11.【答案】3
【解析】解：圆C1：x2+y2=4，圆心为C1(0,0)，半径r1=2，
圆C2：x2+y2−6x+8y+25−m2=0(m>0)，即(x−3)2+(y+4)2=m2，圆心为C2(3,−4)，半径为m(m>0)，
圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2−6x+8y+25−m2=0(m>0)外切，
则|C1C2|=r1+r2，即 9+16=2+m，解得m=3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
本题主要考查两圆之间的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】−34
【解析】解：∵直线ax−y+3=0与直线x−2y+4=0的夹角为θ=arccs 55，显然，θ为锐角，
∴csθ= 55，∴sinθ= 1−cs2θ=2 55，tanθ=sinθcsθ=2．
再利用两条直线的夹角公式可得tanθ=2=|12−a1+12×a|，
求得实数a=−34．
故答案为：−34．
由题意，利用反三角函数的定义，两条直线的夹角公式，求得实数a的值．
本题主要考查反三角函数的定义，两条直线的夹角公式，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：由题意得3a−4b=10，即a=4b+103，
所以a2+b2=(4b+10)29+b2=25b2+80b+1009，
根据二次函数的性质可知，当b=−85时，上式取得最小值4，
故 a2+b2的最小值2．
故答案为：2．
由已知可用a表示b，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了利用二次函数的性质求解最值，属于基础题．
14.【答案】x2+y2=16
【解析】解：根据题意，设点P(x,y)，则由|PA||PB|=12得，
|PB|=2|PA|⇒ (x−8)2+y2=2 (x−2)2+y2，
化简可得，x2+y2=16，
∴点P的轨迹方程为x2+y2=16．
故答案为：x2+y2=16．
根据阿波罗尼斯圆的定义，即可得到点P的轨迹为圆，从可求得点P的轨迹方程．
本题主要考查学生对定义的理解，以及学生计算能力，属基础题．
15.【答案】R−rR+r
【解析】解：由椭圆的性质知，a+c=R，a−c=r，解得a=R+r2，c=R−r2，
∴椭圆轨道Ⅱ的离心率为e=ca=R−r2R+r2=R−rR+r．
故答案为：R−rR+r．
由已知可得a+c=R，a−c=r，求解可得a与c的值，则答案可求．
本题考查椭圆的简单性质，正确理解题意是关键，是基础题．
16.【答案】1
【解析】解：设P(x,y)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则由OP=λOM+μON，得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)，
即x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，
∵P在椭圆上，∴(λx1+μx2)24+(λy1+μy2)23=1，
∴λ2(x124+y123)+2λμ(x1x24+y1y23)+μ2(x224+y223)=1，
∵M，N在椭圆上，∴x124+y123=1，x224+y223=1，
由直线OM、ON的斜率的乘积为−34，可得y1−0x1−0⋅y2−0x2−0=−34，
∴y1y2=−34x1x2，
∴λ2+μ2+2λμ(x1x24−x1x24)=1，∴λ2+μ2=1．
故答案为：1．
设P(x,y)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，代入计算可得结论．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)l1与l2垂直，
则(m−1)×1+2m=0，解得m=13；
(2)l1与l2平行，
则(m−1)m=2×1，解得m=2或m=−1，
经检验，当m=2或m=−1时，直线l1与l2均不重合，
故m=2或m=−1．
【解析】(1)根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为点P(3,4)在圆上，kOP=4−03−0=43，
∴切线斜率为k=−34，
∴切线方程为y=−34(x−3)+4，即3x+4y−25=0；
(2)∵过P的直线被圆C截得的弦长为8，
∴圆心到直线的距离d=3，
当直线斜率k不存在时，直线方程为x=3，满足题意；
当直线斜率存在时，设方程为y−4=k(x−3)，即kx−y−3k+4=0，
圆心到直线的距离d=|−3k+4| k2+1=3，解得k=724，
∴直线方程为7x−24y+75=0，
综上所述，直线的方程为x=3或7x−24y+75=0．
【解析】(1)求得直线OP的斜率可求切线斜率；
(2)分类讨论，利用过P的直线被圆C截得的弦长为8，圆心到直线的距离d=3，即可求该直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
19.【答案】解：(1)因为抛物线焦点F到准线的距离为2，
所以p=2，
所以抛物线的标准方程为y2=4x．
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为(1,0)，
直线l的方程为y=2(x−1)，即y=2x−2，
联立y=2x−2y2=4x，得x2−3x+1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以x1+x2=3，x1x2=1，
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5，
所以点O到直线AB的距离d=|−2| 22+(−1)2=2 55，
所以△AOB的面积为12|AB|×d=12×5×2 55= 5．
【解析】(1)由抛物线焦点F到准线的距离为2，可得p，进而可得答案．
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=2(x−1)，联立抛物线的方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，结合韦达定理可得x1+x2=3，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，点O到直线AB的距离d，进而可得△AOB的面积为12|AB|×d．
本题考查直线与抛物线的相交的问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：(1)依题意2a=4 2，a=2 2，
又离心率为 62，即ca= 62，则c=2 3．
所以b= c2−a2=2，
双曲线C的标准方程x28−y24=1．
(2)设动点Q(x,y)，点A(3,0)，由线段AP的中点为Q，
则P(2x−3,2y)，代入双曲线C的方程得(2x−3)28−y2=1，
所以Q的轨迹方程(2x−3)28−y2=1．
(3)动点P是双曲线C上任意一点，设P(m,n)，则m28−n24=1，
则n2=4(m28−1)=m22−4，m≤−2 2或m≥2 2，
|AP|= (m−3)2+n2= (m−3)2+m22−4= 3m22−6m+5= 32(m−2)2−1，
当m=2 2时，|AP|取最小值，最小值为3−2 2．
【解析】(1)根据实轴长，离心率求出基本量，得出双曲线C的标准方程；
(2)利用相关点代入法求出点Q的轨迹方程；
(3)设P(m,n)，点P是双曲线C上任意一点，则满足双曲线方程，表示|AP|，利用换元法求二次函数的最值．
本题考查双曲线的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为椭圆的右顶点为A(2,0)，短轴长为2 3，则a=2,b= 3，故椭圆C的方程x24+y23=1；
(2)令|PF1|=m，则|PF2|=4−m，而|F1F2|=2，∠F1PF2=π3，
所以cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=m2+(4−m)2−42m(4−m)=12，
整理得m2−4m+4=(m−2)2=0，即m=2，此时|PF1|=|PF2|=2，
所以△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2= 3．
(3)由题设，可设直线l的方程为y=k(x−3)且k≠0，
与椭圆方程联立并整理得：(3+4k2)x2−24k2x+36k2−12=0，
则Δ=576k4−48(3+4k2)(3k2−1)>0，
即− 155所以xM+xN=24k23+4k2,xMxN=12(3k2−I)3+4k2，
若存在T(t,0)使∠MTO=∠NTA恒成立，则|yMxM−t|=|yNxN−t|，
由椭圆对称性，不妨令M，N在x轴上方且xN>xM，显然xM所以yMt−xM=yNxN−t，即yMt−xM+yNt−xN=t(yM+yN)−xNyM−xMyN(t−xM)(t−xN)=0，
所以t(yM+yN)=xNyM+xMyN，
即t=xN(xM−3)+xM(xN−3)xM+xN−6=2xMxN−3(xM+xN)xM+xN−6，
综上，t=24(3k2−1)3+4k2−72k23+4k224k23+4k2−6=72k2−24−72k224k2−18−24k2=43，
所以，存在T(43,0)使∠MTO=∠NTA恒成立．
【解析】(1)根据题意易得a=2,b= 3，即可得椭圆标准方程；
(2)令|PF1|=m，则|PF2|=4−m，在焦点△F1PF2中应用余弦定理求参数m，进而求△F1PF2的面积；
(3)设直线l的方程为y=k(x−3)且k≠0，联立椭圆，根据判别式可得− 155xM，假设存在T(t,0)则有yMt−xM=yNxN−t，代入化简求t，即可判断存在性．
本题主要考查了椭圆的方程和性质以及椭圆中的定点问题，属于中档题．