2023年安徽省重点高中自主招生数学模拟试卷（二）

这是一份2023年安徽省重点高中自主招生数学模拟试卷（二），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（每小题12分，共60分等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2B．24C．2D．12
2．（5分）有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若，则；③命题“若am2＞bm2，则a＞b”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和﹣．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（5分）[x]表示不大于x的最大整数．学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]可以表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．3B．C．D．
5．（5分）如图，Rt△ABC位于第一象限，AB＝3，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若函数y＝（k≠0）的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（ ）
A．5B．C．D．4
6．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．（5分）黑板上写有1，，，，…，这2020个数字．每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并写上数a+b+ab，则最终黑板上剩下的数是 ．
8．（5分）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝ ．
9．（5分）从﹣3，﹣2，﹣1，，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 ．
10．（5分）已知a＝，则a的值为 ．
11．（5分）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 ．
12．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM．连接DF、CF，则DF+FC的最小值为 ．
三、解答题（每小题12分，共60分
13．（12分）记S（n）为n的各位数字之和，例如S（2019）＝2+0+1+9＝12．
（1）当10≤n≤99时，求的最小值．
（2）当100≤n≤999时，求的最小值．
（3）当1000≤n≤9999时，求的最小值．
14．（12分）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来
的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．
（1）第10个1是这列数的第几项；
（2）该列数的第2018项为多少？
（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝
15．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB．E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，求BH的长．
16．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；
（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由；
（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．
2023年安徽省重点高中自主招生数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共30分
1．（5分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2B．24C．2D．12
【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，即a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
即∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A．
【点评】考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
2．（5分）有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若，则；③命题“若am2＞bm2，则a＞b”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和﹣．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用一元二次方程的解法、分式方程的解法、不等式的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若x2＝4，则x＝±2，本小题说法是假命题；
②x＝时，2x﹣1＝0，无意义，本小题说法是假命题；
③“若am2＞bm2，则a＞b”，需要m≠0本小题说法是假命题；
④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程为（x﹣1）（x﹣2）＝0，即x2﹣3x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴方程cx2﹣bx+a＝0为2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝﹣1和x2＝﹣，本小题说法是真命题．
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（5分）[x]表示不大于x的最大整数．学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据规定10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数为7，8，9时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加3，从而得到解析式．
【解答】解：根据题意得到：余数为7，8，9时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加3，
用取整函数表示为：y＝，
故选：B．
【点评】本题考查了函数关系式，解题的关键是根据给定条件求出函数解析式．
4．（5分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB＝，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，如图，
S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，
解得：OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝，
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
5．（5分）如图，Rt△ABC位于第一象限，AB＝3，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若函数y＝（k≠0）的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（ ）
A．5B．C．D．4
【分析】由题意可知，A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（1，3），B点的坐标为（4，1）可得直线BC解析式y＝﹣，联立反比例函数解析式转化为2x2﹣11x+3k＝0，利用一元二次方程根的判别式求出k的最大值即可．
【解答】解：由题意可知，A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（1，3），B点的坐标为（4，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则：
，解得，
直线BC的解析式为：y＝﹣，
根据题意得，，
整理得：2x2﹣11x+3k＝0，
Δ＝112﹣4×2×3k≥0，
解得k≤，
故k的最大值为，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用判别式求出最值是关键．
6．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OP，OQ，AB，利用AC⊥BC，可得AB为圆的直径，利用点P为BE中点，点Q为AD中点，可得OP，OQ分别为三角形的中位线，则得OP∥AC，OP＝AE，OQ∥BC，OQ＝BD，从而OP⊥OQ，OP＝OQ，则得∠OPQ＝∠OQP＝45°；利用∠CAD＝30°，可得∠CDA＝60°，∠BDA＝120°，∠OQA＝120°，则得∠NQD＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠DNQ＝∠CDA﹣∠NQD＝45°；过点Q作QM⊥CD于点M，则△QMN为等腰直角三角形，MQ＝NQ；在Rt△QDM中，利用直角三角形的边角关系，结论可得．
【解答】解：连接OP，OQ，AB，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∴AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB．
∵点P为BE中点，点Q为AD中点，
∴OP是△BEA的中位线，OQ是△ABD的中位线．
∴OP∥AC，OP＝AE，OQ∥BC，OQ＝BD．
∵AC⊥BC，
∴OP⊥OQ．
∵BD＝AE，
∴OP＝OQ．
∴△OPQ为等腰直角三角形．
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°．
∵∠CAD＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CDA＝60°．
∴∠BDA＝120°．
∵OQ∥BD，
∴∠OQA＝∠BDA＝120°．
∴∠NQD＝180°﹣∠OQA﹣∠OQP＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
∵∠ADC＝∠DNQ+∠DQN，
∴∠DNQ＝∠CDA﹣∠NQD＝45°．
过点Q作QM⊥CD于点M，则△QMN为等腰直角三角形，
∴MQ＝NQ＝．
在Rt△QDM中，
∵sin∠MDQ＝，
∴DQ＝＝×＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，特殊角的三角函数值，解直角三角形，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理及推论．过点Q作QM⊥CD于点M，利用解直角三角形的知识求得结论是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．（5分）黑板上写有1，，，，…，这2020个数字．每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并写上数a+b+ab，则最终黑板上剩下的数是 2020 ．
【分析】由a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），又后来的数加1是被擦去的2个数加1 的乘积．设最终黑板上剩下的数为x，得x+1＝（1+1）×（+1）×（+1）×（+1）ו•••••×（+1），再计算即可．
【解答】解：∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），
又后来的数加1是被擦去的2个数加1 的乘积．设最终黑板上剩下的数为x，
∴x+1＝（1+1）×（+1）×（+1）×（+1）ו•••••×（+1），
∴x+1＝2××ו•••••×，
∴x+1＝2021，
∴x＝2020．
故答案为：2 020．
【点评】本题考查了数字的变化知识，按题意列出等式是解题关键．
8．（5分）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝ ．
【分析】先将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，画图分析即可求解．
【解答】解：将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，
∴方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，
∵化简绝对值可得函数y＝，且函数y＝kx﹣k的图象过定点（1，0），
∴函数图象如下：
由图可知，只有当y＝kx﹣k过点（﹣1，1）时，才有三个交点，
∴﹣k﹣k＝1，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决．
9．（5分）从﹣3，﹣2，﹣1，，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 ．
【分析】解不等式组中每个不等式，根据不等式组无解得出m的取值范围，从而确定9个书中符合此条件的数；再解分式方程，结合分式有非负整数解确定符合条件的m的值，由概率公式求解即可．
【解答】解：解不等式（2x+7）≥3，得：x≥1，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
∵不等式组无解，
∴m≤1，
∴符合此条件的有﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1这7个数，
解分式方程得x＝，
∵方程有非负整数解，
∴在以上7个数中，符合此条件的有﹣3、﹣1这2个，
∴从这9个数中抽到满足条件的m的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式、分式方程的解，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（5分）已知a＝，则a的值为 ﹣ ．
【分析】根据分母有理化的方法分子、分母分别乘以分母的有理化因式进行计算即可．
【解答】解：a＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查分母有理化，分子、分母都乘以分母的有理化因式是正确解答的关键．
11．（5分）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 ．
【分析】连接RQ，根据五角星的性质可知四边形APQR为平行四边形，再由平行四边形的性质可得出△APR与△PQR面积相等，进而可得出SAPQD＝3S1+S2＝．
【解答】解：连接RQ，
∵由五角星的性质可知四边形APQR为平行四边形，
∴△APR与△PQR面积相等，
∴1＝6S1+2S2
∴SAPQD＝3S1+S2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是面积及等积变换，解答此题的关键是由五角星的性质可知四边形APQR为平行四边形，再根据平行四边形的性质进行解答．
12．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM．连接DF、CF，则DF+FC的最小值为 ．
【分析】取BG＝，连接FG，首先证明△BGF∽△BFC，从而可得到FG＝FC，然后依据三角形的三边关系可知DF+FC＝DF+FG≥DG，然后依据勾股定理求得DG的值即可．
【解答】解：如图所示：取BG＝，连接FG．
∵BC＝2，E是BC的中点，
∴BE＝1．
由翻折的性质可知BF＝BE＝1．
∵BF＝1，BC＝2，GB＝，
∴BF2＝BC•GB．
∴．
又∵∠FBG＝∠FBC，
∴△BGF∽△BFC，
∴＝＝，
∴FG＝FC．
∴DF+FC＝DF+FG≥DG＝＝＝．
∴DF+FC的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、三角形的三边关系，够造△BGF使△BGF∽△BFC是解题的关键．
三、解答题（每小题12分，共60分
13．（12分）记S（n）为n的各位数字之和，例如S（2019）＝2+0+1+9＝12．
（1）当10≤n≤99时，求的最小值．
（2）当100≤n≤999时，求的最小值．
（3）当1000≤n≤9999时，求的最小值．
【分析】本题分数函数表达式是一样的，是取值范围不同，所以根据不同的取值范围，利用分式函数化简后的形式找出曲最值的条件，即可解决问题．
【解答】解：（1）设两位数的十位数为a，个位数为b，则
＝
＝1+
＝1+，
值最小，则最大，
∴a＝1，b＝9，
∴．
（2）设三位数的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则要使值最小，
其值最小，
则a＝1，c＝9，
，
∴b＝9，
∴．
（3）设四位数的千位数为a，百位数为b，十位数为c，个位数为d，
则
＝1+，
其值最小，则a＝1，d＝9，
∴＝1+，
类似分析，b＝0，c＝9时符合题意，
最小值为．
【点评】本题考查了分式函数的最值，解题关键是分式函数化简后的形式找出曲最值的条件．
14．（12分）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来
的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．
（1）第10个1是这列数的第几项；
（2）该列数的第2018项为多少？
（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝
【分析】（1）根据第1个1是第1项，第2个1是第2项，第3个1是第4项，第4个1是第7项，…，这个规律推算结果便可；
（2）根据“1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…”将其数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…，第k组：20，21，22，…，2k﹣1，由此得到此数列前n项和计算即可；
（3）由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn＝2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可求得N的值．
【解答】解：（1）由题意可知，
第1个1是第1项，
第2个1是第1+1＝2项，
第3个1是第1+2+1＝4项，
第4个1是第1+2+3+1＝7项，
…
由此规律可知：第10个1是第1+2+3+…+9+1＝46项，
故第10个1是第46项；
（2）将其数列分组，使每组第一项均为1，
第一组：20，
第二组：20，21，
第三组：20，21，22，
…
第k组：20，21，22，…，2k﹣1，
共有项数为1+2+3+…+k＝，
当k＝63时，，
则2018项应该为第64组的第二项，
∴该列数的第2018项为2；
（3）由题意得，前n组的和为：S＝20+21+22+，…，+2n﹣1＝2n+1﹣n﹣2
2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可．
∴第n+1组为：1，2，4，8，…，2n
∴前n+1组的和为：2n+2﹣n﹣3
∴只需要再加上第n+2组的前两项即可消除，此时共有项数：1+2+3+…+n+n+1+2＝
∵N＞100，∴令≥100
∴n≥14，
由题意2+n＝2k+1﹣1，
可得n的最小值为29，k的最小值为4，
，此时N＝+5＝440
综上所述，N的最小值为440．
【点评】本题主要考查找规律，熟练掌握规律形式是解答本题的关键．
15．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB．E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，求BH的长．
【分析】（1）连接OC，先由垂径定理可知OC⊥AB，再证明OC为△ABD的中位线，从而OC∥BD，由平行线的性质可得BD⊥AB，然后由切线的判定定理可得结论；
（2）先由OC∥BD证明△OCE∽△BFE，利用相似三角形的性质可得OC的值，则AB的值可得，再在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF的值；然后由直径所对的圆周角为直角可得∠AHB＝90°，最后利用面积法可求得BH的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图
∵AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB
∵CD＝AC，OA＝OB
∴OC为△ABD的中位线
∴OC∥BD
∴BD⊥AB
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵E是OB的中点
∴OE＝BE
∵OC∥BD
∴△OCE∽△BFE
∴＝
∵BF＝1
∴OC＝1
∴在Rt△ABF中，AB＝2，BF＝1
由勾股定理得：AF＝＝
∵AB是⊙O的直径
∴∠AHB＝90°
∵AF•BH＝AB•BF
∴BH＝＝
∴BH的长为．
【点评】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定定理与性质定理、三角形的中位线定理及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点评】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；
（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由；
（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．
【分析】（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；
（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M1M2、M1F、M2F，证出M1F•M2F＝M1M2，最后可求+＝1；
（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1，因为抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x1的值不断增大，所以当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x0处取得，根据题意列出方程求出x0，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）
∴0＝﹣+m，
∴m＝．
∴一次函数的解析式为y＝x+．
∴点C的坐标为（0，）．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+．
∴a的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+．
（2）+为定值；理由如下：
要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小
连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．
令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5，
∴B（5，0），
∵D（0，），
∴直线BD解析式为y＝﹣x+，
∴F（2，）．
令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1，
则＝2k+b1，
∴b1＝﹣2k
则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k．
解法一：
由，
得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0，
∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k，
∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k，
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴M1M2＝
＝
＝
＝
＝
＝4（1+k2），
M1F＝
＝
＝，
同理M2F＝，
∴M1F•M2F＝（1+k2）
＝（1+k2）
＝（1+k2）
＝4（1+k2）＝M1M2，
∴+＝
＝＝1；
解法二：
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴（x﹣2）2＝9﹣4y，
设M1（x1，y1），则有（x1﹣2）2＝9﹣4y1．
∴M1F＝＝＝﹣y1；
设M2（x2，y2），同理可求得：M2F＝﹣y2．
∴+＝＝＝①．
直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k，即：y﹣＝k（x﹣2）．
联立y﹣＝k（x﹣2）与抛物线（x﹣2）2＝9﹣4y，得：
y2+（4k2﹣）y+﹣9k2＝0，
∴y1+y2＝﹣4k2，y1y2＝﹣9k2，代入①式，得：
+＝＝1．
（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1，
∵抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x0′的值不断增大，
∴当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x1处取得
∴当x0＝1时，对应的x1即为m的最大值
将x0＝1代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x得（1﹣h）2＝4，
∴h＝3或﹣1（舍），
将h＝3代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x有：
﹣（x﹣3）2＝﹣x，
∴x0＝1，x1＝9．
∴m的最大值为9．
【点评】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高．
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1