2019年北京市清华大学自主招生数学试卷

这是一份2019年北京市清华大学自主招生数学试卷，共24页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年北京市清华大学自主招生数学试卷
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．（2019•海淀区自主招生）一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径．
2．（2019•海淀区自主招生）求值：（1﹣sinx）x2dx．
3．（2019•海淀区自主招生）已知P为单位圆上一动点，A（0，2），B（0，﹣1），求|AP|×|BP|2的最大值．
（多选）4．（2019•海淀区自主招生）AB为圆O的直径，CO⊥AB，M为AC中点，CH⊥MB，则下列选项正确的是 （　　）
A．AM＝2OH B．AH＝2OH C．△BOH∽△BMA
5．（2019•海淀区自主招生）已知集合A＝{1，2，3，……，15}，B＝{1，2，3，4，5}，f是A到B的映射，若满足f（x）＝f（y），则称有序对（x，y）为“好对”，求“好对”的个数最小值．
（多选）6．（2019•海淀区自主招生）若对∀c∈R，∃a，b，使得＝f（c）成立，则称函数f（x）满足性质T，下列函数不满足性质T的是 （　　）
A．f（x）＝x3﹣3x2+3x B．f（x）＝
C．f（x）＝ex+1 D．f（x）＝sin（2x+1）
7．（2019•海淀区自主招生）已知||＝||＝1，•＝，（﹣）（﹣）＝0，若|﹣|＝1，求||的最大值．
8．（2019•海淀区自主招生）椭圆+＝1，过F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，点C在直线x＝3上，若△ABC为正三角形，求△ABC的面积．
9．（2019•海淀区自主招生）圆x2+y2＝4上一点（x0，y0）处的切线交抛物线y2＝8x于A，B两点，且满足∠AOB＝90°，其中O为坐标原点，求x0．
10．（2019•海淀区自主招生）设a为44444444各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和，求c的值．
11．（2019•海淀区自主招生）实数x，y满足x2+（y﹣2）2≤1，求的最大值和最小值．

2019年北京市清华大学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．（2019•海淀区自主招生）一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径．
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算．
【分析】设AB＝AC＝AD＝BC＝6，CD＝9，易知△BCD的外接圆O1半径为r1＝，△ACD的外接球O2的半径为r2＝，OO2＝，利用勾股定理即可求出外接球的半径．
【解答】解：设AB＝AC＝AD＝BC＝6，CD＝9，
易知△BCD的外接圆O1半径为r1＝，
同理可得△ACD的外接球O2的半径为r2＝，
设外接圆的圆心为O，易知OO2＝，
则外接球的半径R＝＝，
所以外接球半径为．
【点评】本题主要考查了三棱锥外接球问题，是中档题．
2．（2019•海淀区自主招生）求值：（1﹣sinx）x2dx．
【考点】定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；数学运算．
【分析】利用定积分的运算公式及性质解决问题．
【解答】解：（1﹣sinx）x2dx＝x2dx﹣x2sinxdx＝|﹣0＝，即（1﹣sinx）x2dx＝．
【点评】本题主要考查定积分的运算公式及性质，属于基础题．
3．（2019•海淀区自主招生）已知P为单位圆上一动点，A（0，2），B（0，﹣1），求|AP|×|BP|2的最大值．
【考点】两点间的距离公式；平均值不等式．菁优网版权所有
【专题】转化法；不等式的解法及应用；直线与圆；数学运算．
【分析】设P（cosα，sinα），S＝|AP|×|BP|2＝[cos2α+（1+sinα）2]，整理可得：S＝8，利用均值不等式即可得出．
【解答】解：设P（cosα，sinα），则S＝|AP|×|BP|2＝[cos2α+（1+sinα）2]，
整理可得：S＝8，
利用均值不等式可得：S≤8×＝3，当且仅当sinα＝时，等号成立．
因此|AP|×|BP|2的最大值为3．
【点评】本题考查了单位圆的应用、两点之间的距离公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）4．（2019•海淀区自主招生）AB为圆O的直径，CO⊥AB，M为AC中点，CH⊥MB，则下列选项正确的是 （　　）
A．AM＝2OH B．AH＝2OH C．△BOH∽△BMA
【考点】余弦定理；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】分别对命题所给的选项逐个分析，设圆的半径为r＝2，由题意可得各线段的值，进而可得命题的真假．
【解答】解：A选项，设圆的半径为r＝2，易知BM＝，BH＝，
所以AM＝CM＝，BC＝2，在△OBH，△ABM中，由余弦定理可得cos∠ABM＝＝，
解得OH＝，AM≠2OH，所以A不正确；
B选项：在△AHC中，由中线定理可知AH2+＝+4，解得AH＝，则AH＝2OH，故B正确；
C选项：而＝＝＝，所以△BOH∽△BMA，故C正确．
故选：BC．

【点评】本题考查余弦定理及三角形相似的性质的运用，属于中档题．
5．（2019•海淀区自主招生）已知集合A＝{1，2，3，……，15}，B＝{1，2，3，4，5}，f是A到B的映射，若满足f（x）＝f（y），则称有序对（x，y）为“好对”，求“好对”的个数最小值．
【考点】映射．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】分情况讨论，利用柯西不等式观察得到当对应B中有5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当A中每3个元素对应B中一个元素时，等号成立，所以“好对”的个数的最小值为45．
【解答】解：情形一：当只对应B中1个元素时，此时“好对”有15×15＝225对；
情形二：当只对应B中2个元素时，设有a1组f（x）＝f（y），b1组f（x）＝f（y），此时“好对”有对，且a1+b1＝15，
则由柯西不等式可知，＝；
情形三：当只对应B中3个元素时，设有a2组f（x）＝f（y），b2组f（x）＝f（y），c2组f（x）＝f（y），此时“好对”有对，且a2+b2+c2＝15，
则由柯西不等式可知，＝75，
依次可得，易知当对应B中有5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当A中每3个元素对应B中一个元素时，等号成立，
则“好对”的个数的最小值为45．
【点评】本题主要考查了映射的定义，以及柯西不等式，是中档题．
（多选）6．（2019•海淀区自主招生）若对∀c∈R，∃a，b，使得＝f（c）成立，则称函数f（x）满足性质T，下列函数不满足性质T的是 （　　）
A．f（x）＝x3﹣3x2+3x B．f（x）＝
C．f（x）＝ex+1 D．f（x）＝sin（2x+1）
【考点】函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】综合题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】对∀c∈R，∃a，b，使得＝f（c）成立，则f（x）的值域是f′（x）值域的子集，结合已知函数的解析式分别求解函数的值域即可判断．
【解答】解：对∀c∈R，∃a，b，使得＝f（c）成立，
则f（x）的值域是f′（x）值域的子集，
A：f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2∈[0，+∞），而f（x）∈R，则不满足题意；
B：，令x＝tanα，则g（α）＝﹣，
当sin2α，cos2α＞0时，由四元均值不等式可知，
sin22α（1+cos22α）＝，
当且仅当cos2α＝时取等号，，而f（x）∈（0，1]，满足题意．
C：f′（x）＝ex+1∈R，f（x）∈R，满足题意；
D：f′（x）＝2cos（2x+1），f（x）∈[﹣1，1]，f′（x）∈[﹣2，2]，不满足题意，
综上，不满足性质T是A，D符合题意．
故选：AD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的值域的求解，属于中档试题．
7．（2019•海淀区自主招生）已知||＝||＝1，•＝，（﹣）（﹣）＝0，若|﹣|＝1，求||的最大值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知设向量坐标＝（1，0），＝（，），＝（x，y），找出向量的终点轨迹方程为：（x﹣）2+（y﹣）2＝，
再由两点间距离公式得向量的终点在圆上，进而求||的最大值．
【解答】解：建立平面直角坐标系，∵||＝||＝1，•＝，∴＝60°
则可设＝（1，0），＝（，），＝（x，y），∵（﹣）（﹣）＝0，
∴向量的终点轨迹方程为：（x﹣）2+（y﹣）2＝，
由于|﹣|＝1，故||max＝＝，
则||的最大值是．
【点评】本题考查向量的坐标运算与几何意义，考查计算能力．属于中档题．
8．（2019•海淀区自主招生）椭圆+＝1，过F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，点C在直线x＝3上，若△ABC为正三角形，求△ABC的面积．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设过F（2，0）的直线的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，设AB的中点为E，运用中点坐标公式可得E的横坐标，由|CE|＝|xC﹣xE|，求得|CE|，再由等边三角形的性质，解方程可得m，进而得到所求面积．
【解答】解：设过F（2，0）的直线的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
由可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，
则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
可得|AB|＝|y1﹣y2|＝•＝•＝，
设AB的中点为E，可得xE＝＝＝2﹣＝，
则|CE|＝|xC﹣xE|＝|3﹣|＝，
而＝，解得m2＝1，
所以S△ABC＝×|AB|2＝×6＝．
即△ABC的面积为．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查等边三角形的性质和面积，主要考查化简运算能力，属于中档题．
9．（2019•海淀区自主招生）圆x2+y2＝4上一点（x0，y0）处的切线交抛物线y2＝8x于A，B两点，且满足∠AOB＝90°，其中O为坐标原点，求x0．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由圆上一点处的切线方程可得AB的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件，化简整理解方程可得所求值．
【解答】解：圆x2+y2＝4上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y＝4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得+y0y﹣4＝0，
可得y1y2＝﹣，由∠AOB＝90°，可得•＝0，则x1x2+y1y2＝0，
即•+y1y2＝•（﹣）2﹣＝0，
解得x0＝，
【点评】本题考查圆上一点处的切线方程和直线和抛物线的位置关系，考查化简运算能力，属于中档题．
10．（2019•海淀区自主招生）设a为44444444各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和，求c的值．
【考点】同余的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；算法和程序框图；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用同余的概念的应用求出结果．
【解答】解：由于10004444＜44444444＜100004444，
则：3×4444＜4444×lg4444＜4×4444，
则：a＜9×（4444×4+1）×9＝159993．
情形一：当a的个位为6时，则b≤1+4+9×4＝41．
情形二：当a的个位小于6时，b≤5×9＝45．
由情形一和情形二可知：b≤45．
情形三：当b的个位为2时，则c≤3+9＝12，
情形四：当b的个位为1位数时，则c≤9．
由情形三和情形四可知：c≤12．
又：4444≡7（mod9），73≡1（mod9），
所以44444444≡74444＝（73）1481×7≡7（mod9），
而44444444≡a≡b≡c≡7（mod9），
所以c＝7．
【点评】本题考查的知识要点：余数的概念的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．（2019•海淀区自主招生）实数x，y满足x2+（y﹣2）2≤1，求的最大值和最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；换元法；消元法；转化法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学建模；数学运算．
【分析】利用换元思想，当x≠0时，令t＝，消元，将所求式子变成关于t的函数，再根据直线与圆的位置关系求出t的范围，再次三角换元，即可求出函数的最大最小值．
【解答】解：设P＝，
当x＝0时，P＝．
当x＞0时，令t＝，由直线y＝tx与圆x2+（y﹣2）2＝1在x＞0时有交点，
令＝1，解得t＝（负根舍去），所以t∈[，+∞），
∴P＝，令t＝tanα，α∈[）
P＝2sin（α+）∈（，2]．
当x＜0时，令t＝，由直线y＝tx与圆x2+（y﹣2）2＝1在x＜0时有交点，
同上，＝1，解得t＝﹣（正根舍去），所以
t∈（﹣∞，﹣]，∴P＝，令t＝tanβ，β∈（﹣，﹣]，
∴P＝﹣2sin（β+）∈[1，）．
综上可知，的最大值为2，最小值为1．
【点评】本题主要考查多元变量最值问题的求法，涉及直线与圆的位置关系的应用，属于难题．

考点卡片
1．映射
【知识点的认识】
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．函数是数集到数集映射，象集A称做函数的定义域，象集C（C⊂B）称做函数的值域．
“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系．
【解题方法点拨】
映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，对应包括“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，至于一一映射，它则是一种特殊的映射，应该指出，一一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过﹣一映射将问题转化，并获得解决的．注意原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域．
【命题方向】
映射通常与集合、排列组合相联系，也常考新定义题目，新课标地区要求比较浅，属于了解范畴．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分＝
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝+
＝（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
5．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
6．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
7．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
8．两点间的距离公式
【知识点的知识】
（1）两点间的距离公式：
点与点的空间距离即为两点的距离，我们设A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），那么这两点的距离公式为d＝．
（2）点到直线的距离公式：；
（3）平行直线间的距离公式：．
9．直线与椭圆的综合
v．
10．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：

2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝1
±＝1
11．相似三角形的判定
【知识点的知识】
相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
12．平均值不等式
【知识点的认识】
平均值不等式
1．定理1（重要不等式）：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．我们常把叫做正数的算术平均，把叫做正数的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于（即大于或等于）它们的几何平均值．
4．关于用不等式求函数最大、最小值
（1）若x≥0，y≥0，且xy＝p（定值），则当x＝y时，x+y有最小值．
（2）若x≥0，y≥0，且x+y＝s（定值），则当x＝y时，xy有最大值．
5．定理3：对任意三个正数a，b，c，有 a3+b3+c3≥3abc（此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号）．
6．定理4：对任意三个正数a，b，c有 （此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号）．
7．一般地，对n个正数a1，a2，…，an（n≥2），我们把数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且≥．
此式当且仅当a1＝a2＝…＝an时取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

1．均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数．
其中：
Hn＝＝，称为调和平均数．
Gn＝＝，称为几何平均数．
An＝＝，称为算术平均数．
Qn＝＝，称为平方平均数．
2．一般形式：
函数D（r）＝，有r＜s时，D（r）＜D（s）．
Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D（﹣1）≤D（0）≤D（1）≤D（2）．
2．特殊情形：
①对实数a，b，有a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取＝号）；
②对非负实数a，b，有a+b≥2，即；
③对非负实数a，b，有（a+b）≥2；
④对实数a，b有a（a﹣b）≥b（a﹣b）；
⑤对实数a，b有a2+b2≥≥2ab；
⑥对实数a，b，c有a2+b2+c2≥；
⑦对非负数a，b有，a2+ab+b2≥；
特殊到一个简单结论：≤≤．
13．同余的性质
【知识点的认识】
同余的基本性质
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为a≡b （modm），
此时也称b是a对模m的同余．
如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为ab （modm）．
定理1 下面的三个叙述是等价的：
（ⅰ） a≡b （modm）；
（ⅱ） 存在整数q，使得a＝b+qm；
（ⅲ） 存在整数q1，q2，使得a＝q1m+r，b＝q2m+r，0£r＜m．
定理2 同余具有下面的性质：
（ⅰ） a≡a （modm）；
（ⅱ） a≡b （modm）⇒b≡a （modm）；
（ⅲ） a≡b，b≡c（modm）⇒a≡c （modm）．

【知识点的知识】
定义：
（同余）设m＞0，若m|（a﹣b），则称a和b对模m同余，记作a≡b（modm）．当0≤b＜m时，a≡b（modm），则称b是a对模m的最小非负剩余．
由带余除法可知，a和b对模m同余的充要条件是a与b被m除得的余数相同．对于固定的模m，模m的同余式与通常的等式有许多类似的性质：



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