专题4.1 几何初步及三角形（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题4.1 几何初步及三角形（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共16页。

1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；
2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；
3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；
4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；
5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线
和高,了解三角形的稳定性.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、直线、射线和线段
1．直线
代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).
特别说明：
1）．直线的两种表示方法：
(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；
(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.
2)．直线和点的两种位置关系
(1)点在直线上(或说直线经过某点)；
(2)点在直线外(或说直线不经过某点).
3).直线的性质：
过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).
2．射线
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
特别说明：
(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；
(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.
3.线段
直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.
特别说明：
1)．线段的表示方法：
(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；
(2)用一个小写字母表示，如线段a.
2)．线段的性质：
所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).
3)．线段的中点：
线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
4)．两点的距离：
连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
考点二、角
1．角的概念：
(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.
(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
特别说明：
1）．角的表示方法：
(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；
(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；
(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.
2）．角的分类：
(1)按大小分类：
锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);
直角----平角的一半或90°的角(=90°);
钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);
(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，
平角等于180°.
(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于
360°.
(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.
(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.
3）．角的度量：
(1)度量单位：度、分、秒；
(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
4）．角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
2．角的平分线：
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
考点三、相交线
1．对顶角
(1)定义：如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.
(2)性质：对顶角相等.
2．邻补角
(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
(2)性质：邻补角互补.
3．垂线
（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.
特别说明：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4．同位角、内错角、同旁内角
(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示： ∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.
(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.
考点四、平行线
1．平行线定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.
2．平行公理及推论：
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
3．性质：
(1)平行线永远不相交；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)两直线平行，内错角相等；
(4)两直线平行，同旁内角互补；
(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：
若b∥c，b⊥a，则c⊥a.
4．判定方法：
(1)定义；
(2)平行公理的的推论；
(3)同位角相等，两直线平行；
(4)内错角相等，两直线平行；
(5)同旁内角互补，两直线平行；
(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
考点五、命题、定理、证明
1．命题：
(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.
(2)命题的结构：题设+结论=命题；
(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；
(4)命题的分类：真命题和假命题；
(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
2．公理、定理：
(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
3．证明：
用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
考点六、三角形的概念及其性质
1．三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2．三角形的分类
(1)按边分类：

(2)按角分类：

3．三角形的内角和外角
(1)三角形的内角和等于180°.
(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
4．三角形三边之间的关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
5．三角形内角与对边对应关系
在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.
6．三角形具有稳定性.
7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
特别说明：
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.
中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
【典型例题】
类型一、直线、射线及线段
1．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】A
分析：分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
解：①当点A在B、C两点之间，则满足，
即，
解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，
即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，
即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；
故选项D错误；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键．
【变式】 （2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1B．3C．1或3D．2或3
【答案】C
分析：先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD=AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD=AC=3
故选C．
【点拨】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
【答案】
分析：根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cs∠BAC=2×cs30°=，
∴CB′=，
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
举一反三：
【变式】（2021·河北·中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
分析：根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
解: 设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故选择A．
【点拨】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键．
类型二、角
3．（2011·广西贵港·中考真题）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于__.

【答案】
解：∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．
故答案为115°.
举一反三：
【变式】（2021·山东菏泽·中考真题）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于处的济南舰突然发现北偏西方向上的处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里处的西安舰，西安舰测得处位于其北偏西方向上，请问此时两舰距处的距离分别是多少？
【答案】A舰距离为200海里, B舰距离为200海里,
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=∠ACB=30°，解Rt△ADC和Rt△BDC即可.
解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=30°，
∵∠CAD=∠CBA+∠ACB
∠CBA=∠ACB=30°，
∴AB=AC=200（海里），
在Rt△ADC中，
CD=ACsin60°=200×=100，
在Rt△BDC中，
BC=CD÷sin30°=200（海里）.
【点拨】本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的意义，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
类型三、相交线与平行线
4．（2018·江苏南京·中考真题）如图，五边形是正五边形，若，则__________．
【答案】72
解：分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
举一反三：
【变式】（2021·四川达州·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案．
解：如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E
∵，
∴
∴
∵与平行
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
类型四、三角形
5．（2021·四川阿坝·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
解：先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
解：解方程得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2018·甘肃陇南·中考真题）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
【答案】7
解：根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为7．
【点拨】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
6. （2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．
【答案】2＋2
分析：根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2，
故答案为：2＋2．
【点拨】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 （2021·山东威海·中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．
【答案】2-180°
解：先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−，
即∠MAB＋∠NAC＝180°−，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
【点拨】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【变式2】 （2021·湖北十堰·中考真题）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________．
【答案】≤m≤
解：作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
解：作AB的中点M，连接CM、QM．

在以为圆心，为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝AB＝5．
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，
∴MQ＝AP＝．
∴在△CMQ中，5−≤CQ≤＋5，即≤m≤．
故答案是：≤m≤．
【点拨】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．