专题3.7 函数综合（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题3.7 函数综合（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共18页。

1．平面直角坐标系的有关知识
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；
2．函数的有关概念
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；
3．函数的图象和性质
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；
4．函数的解析式
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．
一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．
【知识网络】

【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系
1．相关概念
（1）平面直角坐标系
（2）象限
（3）点的坐标
2.各象限内点的坐标的符号特征
3.特殊位置点的坐标
（1）坐标轴上的点
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标
（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标
（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标
4.距离
（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离
（3）平面上任意两点间的距离
5.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置
（2）利用坐标表示平移
特别说明：
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
考点二、函数及其图象
1.变量与常量
2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围
4.函数值
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）
6.函数图象
特别说明：
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系
5.利用一次函数解决实际问题
特别说明：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
考点四、反比例函数
1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质
3.利用反比例函数解决实际问题
特别说明：
反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.
∴.
考点五、二次函数
1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系
4.利用二次函数解决实际问题
特别说明：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.


2、函数平移规律：左加右减、上加下减.
考点六、函数的应用
1.一次函数的实际应用
2. 反比例函数的实际应用
3. 二次函数的实际应用
特别说明：
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1．（2021·西藏·中考真题）已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【答案】（1）6；（2）(3，2)；（3）S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），图见解析．
【分析】
（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，
∴点P（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），
∴，
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×y＝4，
∴y＝2，
当y＝2时，即2＝﹣x＋5，
解得x＝3，
∴点P（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】（2020·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）根据下列条件分别确定y关于x的函数表达式：
（1）y与x成正比例，当时，；
（2）直线与平行，且过点．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设，然后把，代入求解即可；
（2）由题意易得k=2，然后把点代入求解即可．
解：（1）因为y与x成正比例，所以设．
因为当时，，所以，
所以，
所以正比例函数的表达式为．
（2）因为直线与平行，
所以．
因为经过点，
所以，
所以表达式为．
【点拨】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式是解题的关键．
类型二、函数图象及性质
2．（2020·辽宁辽阳·中考真题）若一次函数的图象经过点，则_________．
【答案】8
【分析】将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值．
解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中，
即：，
解得：．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可．
举一反三：
【变式】（2021·山东枣庄·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______．
【答案】或
【分析】先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点的横坐标，再利用函数图象法即可得．
解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
则的取值范围是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．
3．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
解：抛物线向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
【点拨】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
4．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
【答案】17
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值
【变式】（2020·河北石家庄·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，如图，点，点，连接，过点B作直线交于A点，设直线的解析式为
（1）求直线的函数关系式；
（2）若直线平分的面积时，求A到x轴的距离；
（3）作点C关于y轴的对称点D，若直线与线段有交点，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）A到x轴的距离1；（3）.
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作于E，于F，利用三角形的面积关系求解；
（3）分别求出直线经过C、D时的解析式，以及k的最值即可求解．
解：（1）设直线的解析式为，
∵点，点在直线上，∴，
解之得，，∴
（2）作于E，于F，
由于，∴，
∵，∴，∴，
∴点A到x轴的距离1．

（3）点关于y轴的对称点
直线经过C时，解析式为，此时k有最小值，最小值为
直线经过D时，有，解之得，，
此时k有最大值，最大值为，
所以.
故答案为（1）；（2）A到x轴的距离1；（3）.
【点拨】本题是待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，正确求出直线的解析式是关键．
类型三、函数综合题
5．（2021·贵州遵义·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案】①③④
【分析】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
解：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点拨】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
举一反三：
【变式】（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
类型四、函数的应用
6．（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【分析】
（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
解：（1）依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2020·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线交于点C．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若点C的坐标为，求线段的长．
（3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为（0，4）； （2）；（3）存在，当点P的坐标为或时，是直角三角形．
【分析】
（1）分别令y=0和x=0求得A、B两点的横坐标和纵坐标，即可确定点A，B的坐标；
（2）过点C作于点H．然后求得AH和CH，最后运用勾股定理解答即可；
（3）分AB为斜边、AB为直角边且点B为直角顶点和点A为直角顶点三种情况解答即可
解：（1）∵，
∴令，则，解得，点A的坐标为；
令，则，所以点B的坐标为；
（2）如图1，过点C作于点H．
∵点在直线上，
∴，解得．
∴点C的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（3）存在．
理由如下：
①当是斜边时，．
∵，
∴当点P与原点O重合时，，
∴当点P的坐标为时，是直角三角形；
②设是直角边，点B为直角顶点，即，如图2．
∵线段在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设点P的坐标为，则．
∵，
∴，，．
∵，
∴，解得，
∴当点P的坐标为时，是直角三角形；
③设是直角边，点A为直角顶点，即．
∵点A在x轴上，P是x轴上的动点，∴．
综上，当点P的坐标为或时，是直角三角形．
【点拨】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键．
【变式2】（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
解：（1）把代入中，


抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：


整理得：



∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，
解得m=±，∴m=-，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴=3，
∴m=，
综上所述，m的值为-或．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 衬衫价格
甲
乙
进价（元件）
售价（元件）
260
180