专题一　第1讲　函数的图象与性质 2024年高考数学大二轮复习课件（含讲义）

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1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、 分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、 对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导 数、不等式、创新性问题相结合命题.
1.复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
　(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋　　　的定义域为A.(2,3] B.(－2,3]C.[－2,3] D.(0,3]
故当x≤2时，满足f(x)＝7－x≥5.若a>1，f(x)＝3＋lgax在它的定义域上为增函数，当x>2时，由f(x)＝3＋lgax≥5，得lgax≥2，∴lga2≥2，
若0(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.
　　　(1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝　　　　　　　　则f(8)等于A.10 　　　B.9 　　　C.7　　　 D.6
则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是A.f(x)＝sin xcs x B.f(x)＝ln x＋exC.f(x)＝2x D.f(x)＝x2－2x
B中，函数f(x)＝ln x＋ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为f(x)＝2x>0，故C不是“M函数”；D中，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”.
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.
　(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝　 　　　　　的图象可能为
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－ln |－x|sin(－2x)＝ln |x|sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B，D；当x∈(0,1)时，ln |x|<0，sin 2x>0，所以f(x)＝－ln |x|sin 2x>0，故排除选项C.
(2)(多选)(2023·吉安模拟)已知函数f(x)＝　　　　　　　　若x1设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，由图象可知lg2x4∈(0,4)，则1(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.
　(1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是
对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；
函数f(x)的图象如图所示.f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确.
当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1,2)和(0,0)两点.
1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
3.函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4.函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
考向1　单调性与奇偶性
　(2023·泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－lg25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为A.a因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0.因为g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数.当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0.即g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，因为3＝lg28>lg25.1>lg24＝2>20.8，所以g(3) 　(多选)(2023·盐城统考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列说法正确的有A.函数g(x)的图象关于直线x＝1对称B.函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称C.函数f(x)是以4为周期的周期函数D.函数g(x)是以6为周期的周期函数
考向2　奇偶性、周期性与对称性
对于A选项，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x).由f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，可得g(2＋x)＝g(2－x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，则g(2－x)－f(－2－x)＝3，又因为f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，B正确；
对于C选项，因为函数f(x)为偶函数，且f(x)＋f(－2－x)＝－2，则f(x)＋f(x＋2)＝－2，从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，则f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；对于D选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，且f(x)＝f(x－4)，所以g(x)－f(x)＝3，
又因为f(x)＋g(2－x)＝1，所以g(x)＋g(2－x)＝4，又因为g(2－x)＝g(2＋x)，则g(x)＋g(x＋2)＝4，所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，故g(x＋4)＝g(x)，因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误.
(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.
　(1)(2023·林芝模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为
∵函数f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)的定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，∴由f(x－1)>f(2x)得|(x－1)－2|>|2x－2|，
(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，则下列结论正确的是A.g′(x)为奇函数 B.f(2)＝2C.g′(2)＝2 D.f(2 022)＝2
∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)为奇函数，故A正确；又f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，
解得f(2)＝2，g′(2)＝0，故B正确，C错误；
∵f(x)－g′(4－x)＝2，∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，又g′(x)为奇函数，则f(x＋4)＋g′(x)＝2，又f(x)＋g′(x)＝2，∴f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 022)＝f(2)＝2，故D正确.
D满足①，当x∈(0,1)时，f(x)＝ln(1－x)单调递减，也满足②.
函数定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，
函数为奇函数，排除B，D；
故f(3)>f(4)，排除A.
4.(2023·天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为
由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0，A，B为奇函数，排除；
5.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)
函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，
所以a的取值范围是[2，＋∞).
因为f(2a－1)－1≤0⇒f(2a－1)≤1.①当2a－1≥1时，
f(2a－1)≤1恒成立.
7.(2023·大连模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)都满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N*)的n的个数是A.1 　　　B.2 　　　 C.3　　　 D.4
令y＝1得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－x－1，即f(x＋1)－f(x)＝x＋2，故当x∈N*时，f(x＋1)－f(x)>0，又f(1)＝1，f(2)＝4，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上单调递增，所以满足f(n)＝n(n∈N*)仅有f(1)＝1，即n仅有1个.
因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，所以f(x＋3)＝－f(－x＋3)，则f(x)＝－f(－x＋6)，所以f′(x)＝f′(－x＋6)，即g(x)＝g(－x＋6)，所以g(x＋3)＝g(－x＋3)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝3对称.
所以g(x)的周期为T＝3.
又g(3)＝－3，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＝1.
二、多项选择题9.(2023·大同模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝ 　　　　　它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列函数f(x)的函数值可能是A.3 B.2C.1 D.0
当－2≤x<1时，f(x)＝x2的值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，得到x＝　　 ，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得－11，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误.
对于A，f(x)的定义域为R，
所以f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；对于B，对于任意的x∈R，
所以π为函数f(x)的一个周期，故2π不是函数f(x)的最小正周期，故C错误；
所以函数f(x)的最小值为2，故D正确.
12.(2023·嘉兴模拟)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，则下列结论一定正确的是A.f(1－x)＋f(1＋x)＝3B.f′(2－x)＝f′(2＋x)C.f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x))D.f(f′(x＋2))＝f(f′(x))
f(2x)＋f(2－2x)＝3，令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，令x＝x＋1，得f(1－x)＋f(1＋x)＝3，故A正确；由选项A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式两边同时求导，得f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)，①又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)为偶函数，所以f′(2－x)＝f′(x－2)，②由①②得f′(x)＝f′(x－2)，所以函数f′(x)的周期为2.
所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)，即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正确；由选项B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)，则函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称.
由选项B的分析可知函数f′(x)的周期为2，则f′(x)＝f′(x＋2)，所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正确.
三、填空题13.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋　　　　为偶函数，则a＝_____.
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.
14.(2023·湖州、衢州、丽水三市模拟)定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式__________________________.
由f(2－x)＋f(x)＝0，得出对称中心(1,0)，且由f(－x)＝f(x)得出对称轴为y轴，且周期为4，即满足上述条件的函数都可以.
显然f(x)是偶函数，
当00，当x>2时，ex>e2，
所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.所以当f(x－1)>f(2x)时，有|x－1|>|2x|，
16.(2023·江苏省八市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为______.
因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex，①又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x，②联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，