思想方法 第2讲 数形结合思想 2024年高考数学大二轮复习课件（含讲义）
展开数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
几何动态问题中的数形结合
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
思路分析 方程f(x)＝a的根→函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标→作出函数f(x)的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.
函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0
A.(－∞，0] B.(－∞，1]C.[－2,1] D.[－2,0]
思路分析 作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，如图所示.由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，直线l是f(x)在原点处的切线，当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意，
在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].
方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝
(2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是
∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
(2023·山东联考)已知椭圆C： ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为__________.
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1|的最小值.
如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立.∵F2(1,0)，E(4,3)，
几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
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