2023-2024学年安徽省六安市高三上学期期末教学质量检测数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市高三上学期期末教学质量检测数学试题(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|lg2|x|≤1,x∈Z}，B={x|x2+x−2<0}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {−2,−1}C. {−1,0}D. {−1}
2.已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(2,−2)，则复数1z的虚部为
( )
A. −1B. −iC. −14D. −14i
3.已知向量a=( 3,1)，向量b=(−1,− 3)，则a与b的夹角大小为
( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，若S8=2(a3+am)+4a1，则m=( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
5.函数f(x)=ex+x−4,x<1lnx,x≥1，若f(a2+1)≤f(−10a)−f(5)，则实数a的取值范围是
( )
A. {−1}B. (−∞,−1]C. [−1,+∞)D. −1,−1e
6.已知csπ6−α=2csα+π3，则sin2α+2π3=( )
A. 35B. 45C. −45D. −35
7.圆O：x2+y2=r2(r>0)上一点A12r, 32r关于x轴的对称点为B，点E，F为圆O上的两点，且满足∠EAB=∠FAB，则直线EF的斜率为
( )
A. 3B. 33C. 3D. 13
8.某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂．假设从某个生命体M的生长开始计算，记an表示第n天生命体M的个数，bn表示第n天生命体N的个数，则a1=1，b1=0，则下列结论中正确的是
( )
A. a4=13B. 数列bnan为递增数列
C. i=15bn=63D. 若{an+λbn}为等比数列，则λ=1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=ln|x|B. y=|lnx|C. y=x−2D. y=ex+e−x
10.地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是
( )
A. E1约为E2的10倍B. E3超过E2的100倍
C. E3超过E1的10倍D. E3低于E1的10倍
11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x，都满足f(x)( )
A. f(1)<2f12B. f(1)<12f(2)
C. f(1)<4f12−2D. f(1)<14f(2)+1
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱上一点，满足|PA|+|PC1|=d(d为定值)，记P点的个数为n，则下列说法正确的是
( )
A. 当d= 3时，n=2B. 当 3C. 当d= 5时，n=15D. n的最大值为18
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线y=4x2的焦点F与x轴上一点A的连线的中点P恰在抛物线上，则线段AF的长为__________．
14.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠ADC=120°，AB=2 3，AD=1，CD=2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积为__________．
15.已知函数f(x)=2cs2(ωx)(ω>0)的最小正周期为π，将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y=g(x)的图象，则y=g(x)在π12,π4上的值域为__________．
16.已知F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，圆O：x2+y2=a2与双曲线C的渐近线在第一象限交于点A，点B在双曲线C上，BF2=−2F2A，则双曲线C的渐近线方程为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，(1−λ)Sn=4−λan(λ>0)．
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)当λ=2时，设bn=lgan+1an+2+lgan+2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
(1)若b=12a，6sinB−sinA= 3，求角A的值；
(2)若A=π3，且b是a和3c的等差中项，求cs B的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax−6(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线与x轴平行，求函数f(x)的图象在x=−3处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，CE⊥BD，垂足为点E，AH⊥平面BCD，垂足H在CE上，点F在AC上，且∠CEF=∠CAH．
(1)证明：AC⊥平面BDF；
(2)若BE=2DE=2，CH=2EH=2，三棱锥A−BCD的体积为3 2，求直线BF与平面ABD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
平面内一动点P到直线l：y=4的距离，是它到定点F(0,1)的距离的2倍．
(1)求动点P的轨迹Г的方程；
(2)经过点F的直线(不与y轴重合)与轨迹Г相交于M，N两点，过点M作y轴平行线交直线l于点T，求证：直线NT过定点．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lnx+m2x2−(2m+1)x+1(m∈R)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：fx1+fx2<2f 2mm．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的交集及其运算及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题解不等式可得集合A，B，再根据交集的运算即可求解．
【解答】
解：因为A={x|lg2|x|≤1,x∈Z}={−2,−1,1,2}，B={x|x2+x−2<0}={x|−2所以A∩B={−1}．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
根据复数四则运算法则化简1z=14−14i，即可根据复数定义得到虚部．
【解答】
解：由已知得z=2+2i，
1z=2−2i(2+2i)(2−2i)=1−i4=14−14i，
则复数1z的虚部为−14．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案．
【解答】
解： cs ⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=− 3− 32×2=− 32，
因为0∘≤a,b≤180∘，所以⟨a,b⟩=150∘，
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
由S8=8a1+28d，根据等差数列的通项公式化简可得m的值．
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，所以S8=8a1+28d，
则有8a1+28d=2[a1+2d+a1+(m−1)d]+4a1，
即14d=(m+1)d，
又d≠0，所以m+1=14，
所以m=13．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性，是基础题．
由f(a2+1)≤f(−10a)−f(5)得f[5(a2+1)]≤f(−10a)，又因为f(x)在R上单调递增，可得a的取值范围．
【解答】
解：因为f(a2+1)+f(5)=ln(a2+1)+ln5=ln5(a2+1)=f[5(a2+1)]，
所以由f(a2+1)≤f(−10a)−f(5)得f[5(a2+1)]≤f(−10a)，
又因为f(x)在R上单调递增，
所以5(a2+1)≤−10a，解得a=−1．
即实数a的取值范围是{−1}．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
由已知得tan (α+π3)=2，结合同角三角函数的基本关系式，化简整理即可得解．
【解答】
解：因为(π6−α)+(α+π3)=π2，所以cs(π6−α)=sin(α+π3)，
则sin(α+π3)=2cs(α+π3)，即tan(α+π3)=2，
所以sin(2α+2π3)=2sin(α+π3)cs(α+π3)=2sin(α+π3)cs(α+π3)sin2(α+π3)+cs2(α+π3)=2tan(α+π3)tan2(α+π3)+1=45．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线斜率的求解，属于基础题．
有条件可得OB⊥EF，根据kOB=− 3即可得解．
【解答】
解：由∠EAB=∠FAB知∠BOE=∠BOF，
所以OB⊥EF，
而kOB=−kOA=− 3，
∴kEF= 33．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题．
有条件可得an+1=2an+bn，bn+1=2bn+an，进而可得an=3n−1+12，bn=3n−1−12，即可判断选项正误．
【解答】
解：由题意可得an+1=2an+bn，bn+1=2bn+an，
作差得an+1−bn+1=an−bn，
则an−bn=a1−b1=1，
又an+bn=3n−1，解得an=3n−1+12，bn=3n−1−12，
故可判断选项B正确．
9.【答案】AD
【解析】略
10.【答案】BC
【解析】【分析】
略
【解答】
略
11.【答案】BC
【解析】略
12.【答案】AD
【解析】略
13.【答案】316
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的几何性质，是基础题．
由抛物线定义知：点P到焦点F的距离等于它到准线的的距离，可得|PF|，再由|AF|=2|PF|，可得结果．
【解答】解：由抛物线定义知：点P到焦点F的距离等于它到准线的的距离，
所以|PF|=132+116=332，
则|AF|=2|PF|=316．
14.【答案】(12+3 21+2 3)π
【解析】【分析】
本题考查了圆台、圆锥的表面积，是基础题．
根据圆台、圆锥的结构特征求解即可．
【解答】解：作CE⊥AD，CF⊥AB，E，F为垂足，DE=1，CE= 3，CF=2，CB= 7，
所以该几何体的表面积为(2 3)2π+( 3+2 3) 7π+2 3π=(12+3 21+2 3)π．
15.【答案】[12,2]
【解析】【分析】
本题考查了余弦函数性质，是基础题．
先由三角恒等变换和三角函数图像变换得g(x)，再由余弦函数性质可得y=g(x)在π12,π4上的值域．
【解答】解：f(x)=2cs2(ωx)=cs2ωx+1，
由2π2ω=π，得2ω=2，
则f(x)=cs2x+1，所以g(x)=cs(4x−π3)+1，
由x∈π12,π4，得4x−π3∈[0,2π3]，
所以y=g(x)在[π12,π4]上的值域为[12,2]．
16.【答案】y=±2x
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的几何性质，是中档题．
易得点A为BF2的中点，再得出A坐标，可得|AF2|=b，由双曲线定义得出a、b关系，可得双曲线C的渐近线方程．
【解答】解：由BF2=−2F2A得到点A为BF2的中点，记F1为C的左焦点，连接BF1，
所以|BF1|=2|OA|=2a，
由y=baxx2+y2=a2，解得x=a2cy=abc，
所以|AF2|= (c−a2c)2+(abc)2=b，
由双曲线定义得到2b−2a=2a，得ba=2，
所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x．
17.【答案】(1)证明：当n=1时，a1=4．
由(1−λ)Sn=4−λan得(1−λ)Sn+1=4−λan+1，
两式作差得an+1=λan，
所以数列{an}是首项为4，公比为λ的等比数列．
(2)解：当λ=2时，由(1)得an=4×2n−1=2n+1，
则bn=n+3n+2+n+2n+3=n+2+1n+2+n+3−1n+3=2+1n+2−1n+3，
Tn=2n+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+2−1n+3)
=2n+13−1n+3=6n2+19n3n+9．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、“裂项求和”方法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由(1−λ)Sn=4−λan得(1−λ)Sn+1=4−λan+1，两式作差得an+1=λan，即可证明数列{an}为等比数列；
(2)当λ=2时，由(1)得an=2n+1，再得出bn=2+1n+2−1n+3，根据裂项相消法可得Tn．
18.【答案】解：(1)由正弦定理bsinB=asinA得sinB=12sinA，
又6sinB−sinA= 3，所以sinA= 32，
而A∈(0,π)，所以A=π3或2π3；
(2)由b是a和3c的等差中项得2b=a+3c，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得(2b−3c)2=b2+c2−bc，
化简得3b2−11bc+8c2=0，即(3b−8c)(b−c)=0，得b=83c或b=c，
因为a=2b−3c，所以b=83c，a=73c，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac得csB=(73c)2+c2−(83c)22×(73c)c=−17．
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形，是中档题．
(1)由正弦定理得sinB=12sinA，又6sinB−sinA= 3，得出sinA，可得角A的值；
(2)由余弦定理得b=83c，a=73c，再由余弦定理得出csB的值．
19.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+a，
由题意f′(2)=12+a=0，解得a=−12，
所以f(x)=x3−12x−6，f(−3)=3，f′(−3)=15．
f(x)在x=−3处的切线方程为y=15x+48，
(2)f′(x)=3x2+a．
①当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增．
②当a<0时，由f′(x)=0得x=± −a3，f(x)在R上的变化情况如下表：
由上表可得f(x)在(−∞,− −a3)上单调递增，在(− −a3, −a3)上单调递减，在( −a3,+∞)上单调递增．
综上，当a≥0时，增区间为(−∞,+∞)，无减区间;
当a<0时，增区间为(−∞,− −a3)和( −a3,+∞)，减区间为(− −a3, −a3).
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
(1)由f′(2)=12+a=0，求得a的值，再求直线的斜率及切线方程即可，
(2)依题意f′(x)=3x2+a，然后分a≥0和a<0，再讨论单调性即可．
20.【答案】解：(1)由AH⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，得AH⊥BD，
又CE⊥BD，而AH⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AH∩CE=H，
所以BD⊥平面ACE，
又AC⊂平面ACE，
所以BD⊥AC．
再由AH⊥平面BCD，EC⊂平面BCD得AH⊥EC，∠AHC=90∘，
又∠CEF=∠CAH，所以∠EFC=90∘，即AC⊥EF．
又因为EF⊂平面BDF，BD⊂平面BDF，EF∩BD=E，
所以AC⊥平面BDF．
(2)由条件知VA−BCD=13SΔBCD⋅AH=13×12×BD×CE×AH=32AH=3 2，所以AH=2 2．
在Rt△AHC中，AC2=AH2+CH2=12，所以AC=2 3．
由(1)知RtΔAHC∽RtΔEFC，所以FCHC=ECAC，得FC= 3，可知F为AC的中点．
过点H作HG//BD交BC于点G，易得HG，HC，HA两两垂直，
分别以HG、HC、HA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系H−xyz，如图所示
由题意可知，A(0,0,2 2)，B(2,−1,0)，E(0,−1,0)，F(0,1, 2).
则EA=(0,1,2 2)，EB=(2,0,0)，BF=(−2,2, 2)，
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EA=y+2 2z=0n⋅EB=2x=0，
令z=−1，则y=2 2，
所以平面ABD的一个法向量n=(0,2 2,−1)，
所以cs=n⋅BF|n|⋅|BF|= 55，
故直线BF与平面ABD所成角的正弦值为 55．
【解析】本题考查了线面垂直的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
(1)先得出BD⊥平面ACE，所以BD⊥AC，再证明AC⊥EF，由线面垂直的判定即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，得出平面ABD的法向量，利用空间向量求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意，设动点P的坐标为(x,y)，
则|4−y|=2 x2+(y−1)2，
平方整理得y24+x23=1，
所以点P的轨迹Γ方程为y24+x23=1．
(2)由题意，设直线MN的方程为y=kx+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则T(x1,4)．
将y=kx+1代入y24+x23=1得(3k2+4)x2+6kx−9=0，
所以x1+x2=−6k3k2+4，x1x2=−93k2+4，
所以kx1x2=32(x1+x2).
因为直线NT的方程为y−4=y2−4x2−x1(x−x1)，
令x=0，则y=4x2−x1y2x2−x1
=4x2−x1(kx2+1)x2−x1
=4x2−x1−kx1x2x2−x1
=4x2−x1−32(x1+x2)x2−x1
=52(x2−x1)x2−x1=52，
因此，直线NT过定点(0,52).
【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系和椭圆中的定点问题，是较难题．
(1)由题意，设动点P的坐标为(x,y)，则|4−y|=2 x2+(y−1)2，可得动点P的轨迹Г的方程；
(2)设直线MN的方程为y=kx+1，与椭圆联立，得出直线NT的方程，化简可得直线NT过定点．
22.【答案】解：(1)f′(x)=2x+mx−(2m+1)=mx2−(2m+1)x+2x=(x−2)(mx−1)x(x>0)，
①若m≤0，则f′(2)=0，x∈(0,2)时f′(x)>0，x∈(2,+∞)时f′(x)<0，
所以f(x)极大值=f(2)=2ln2−2m−1，无极小值，
②若m=12，则f′(x)=(x−2)22x≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值．
③若m>12，由f′(x)=(x−2)(mx−1)x=0得x=2或x=1m，
x∈(0,1m)时f′(x)>0，x∈(1m,2)时f′(x)<0，x∈(2,+∞)时f′(x)>0，
所以f(x)展大值=f(1m)=−2lnm−12m−1，f(x)极小值=f(2)=2ln2−2m−1．
④若0x∈(0,2)时f′(x)>0，x∈(2,1m)时f′(x)<0，x∈(1m,+∞)时f′(x)>0，
所以f(x)极大值=f(2)=2ln⁡2−2m−1，f(x)极小值=f(1m)=−2lnm−12m−1，
综上，当m≤0时，f(x)极大值=f(2)=2ln2−2m−1，无极小值;
当0当m=12时，f(x)无极值;
当m>12时，f(x)极大值=f(1m)=−2lnm−12m−1，f(x)极小值=f(2)=2ln2−2m−1．
(2)由(1)知函数f(x)有两个极值点时，m∈(0,12)∪(12,+∞).
f(x1)+f(x2)=f(2)+f(1m)=2ln2−2m−1−2lnm−12m−1=2ln2m−2m−12m−2
2f( 2mm)=4ln 2mm+2−2(2m+1) 2mm+2=2ln2m−4( 2m+1 2m)+4
所以f(x1)+f(x2)−2f( 2mm)=−2m−12m+4( 2m+1 2m)−6=−( 2m+1 2m−2)2，
因为m∈(0,12)∪(12,+∞)，所以 2m+1 2m≠2，
所以f(x1)+f(x2)−2f( 2mm)=−( 2m+1 2m−2)2<0，
即f(x1)+f(x2)<2f( 2mm).
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值以及导数法证明不等式，属于较难题．
(1)求导数，结合函数定义域对m进行分类讨论可得函数的极值情况；
(2)由(1)得出m的范围，表示出f(x1)+f(x2)和2f( 2mm)，利用作差法比较大小．x
(−∞,− −a3)
− −a3
(− −a3， −a3)
−a3
( −a3，+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增