2023-2024学年辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={0,1}，B={x|x2−3x+2=0}，则∁U(A∪B)=( )
A. {−2,1}B. {−2,0}C. {−2,2}D. {−2,−1}
2.复数z=−1+ 3i，则zzz−−2=( )
A. −12+ 32iB. −12− 32iC. −13+ 33iD. −13− 33i
3.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
4.已知对数函数y=f(x)满足f(8)=3，则不等式[f(x)]2−f(x)>0的解集为( )
A. (2,+∞)B. (0,1)∪(2,+∞)
C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (1,2)
5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 96种
6.已知圆M过A(−3,1)，B(−2,4)，C(7,1)三点，则|MB|=( )
A. 2 5B. 2 6C. 5D. 4 2
7.已知锐角α，β满足α+β=5π12，且csα1+sinα=sin2β1+cs2β，则sinβ=( )
A. 6− 24B. 32C. 33D. 12
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则( )
A. f(0)=−2B. f(2)=1C. f(15)=−2D. f(16)=2
9.已知函数f(x)=13x3−x−1，则( )
A. f(x)有一个零点
B. f(x)的极小值为−23
C. f(x)的对称中心为(0,−1)
D. 直线y=−x−1是曲线y=f(x)的切线
10.把函数y=sin(x−π12)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位长度，得到函数y=f(x)的图像，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(7π6)= 32
C. f(x)在[−π12,π12]上递增D. f(x)关于直线x=5π6对称
11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4 3，AB⊥BC，∠BAC=60°，AA1=AB，O为A1C的中点，则( )
A. AA1=2B. 点A到平面A1BC的距离为2 2
C. 直三棱柱的外接球的半径为 5D. 直线AO与BC所成角的余弦值为 105
12.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(2p,0)，直线AM与C交于N，若直线AF与AM的倾斜角互补，则( )
A. 直线AB的斜率为2 103B. |BF|=3p10
C. 线段AN中点的纵坐标为−3 1020D. OA⋅ON=0
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若随机变量X～N(3,σ2)，且P(X>6)=0.1，则P(0≤X≤6)= ______ ．
14.设单位向量a，b的夹角为60°，则(2a+b)⋅b= ______ ．
15.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2−a5=42，则a7= ______ ．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2B=−32F2A，则C的离心率为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.记Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，2Sn=(n+1)an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n−1}的前n项和Tn．
18.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠BAC=120°，b2+c2=a2−2，D是BC边上的点，且AD=AC．
(1)求bc；
(2)若BD：CD=3：4，求b．
19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=4，PB=PC，点M，N分别为△PAB，△ABC的重心．
(1)求证：MN/​/面PBC；
(2)若平面AMN与平面ABC所成的角为45°，且平面PBC⊥平面ABC，求三棱锥P−ABC的体积．
20.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛(任意两人之间只赛一场)，每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行同分加赛，直到排出小组1，2，3名为止，已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为25，平局概率为15；甲、丙对局时，甲胜概率为13，平局概率为13；乙、丙对局时，乙胜概率为12，平局概率为16，各场比赛相互独立．
(1)甲乙丙单循环赛分出胜负的局数为X，求E(X)；
(2)甲乙丙单循环赛结束，乙丙同积4分，设加赛n次后乙获得小组第一名的概率为Pn，证明：P1+P2+…+Pn<35．
21.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x，点A(−2,0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(−2,2)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求证：线段MN的中点为定点．
22.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ln(x+1)和g(x)= x．
(1)求证：f(x)(2)设φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)在(0,+∞)存在极值点，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={0,1}，
B={x|x2−3x+2=0}={1,2}，
∴A∪B={0,1,2}，
则∁U(A∪B)={−2,−1}．
故选：D．
求出集合B，利用并集定义求出A∪B，再由补集定义能求出∁U(A∪B)．
本题考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由已知可得z−=−1− 3i，所以zz−=(−1+ 3i)(−1− 3i)=1+3=4，
则zzz−−2=−1+ 3i4−2=−1+ 3i2=−12+ 3i2．
故选：A．
利用共轭复数的定义以及复数的运算性质化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面展开图面积计算问题，是基础题．
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意列方程组求解即可．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据侧面展开图是面积为2π的半圆，
所以12π⋅l2=2π2πrl=π，
解得l=2，r=1，
所以圆锥的底面半径为1．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：因为对数函数y=f(x)=lgax(a>0且a≠1)满足f(8)=3，
所以lga8=3，即a=2，f(x)=lg2x，
由[f(x)]2−f(x)>0可得f(x)>1或f(x)<0，
即lg2x>1或lg2x<0，
即x>2或0故选：B．
由已知先求出f(x)，然后结合二次及对数不等式的求法即可求解．
本题主要考查了对数函数解析式的求解，还考查了二次不等式及对数不等式的求解，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分两种情况讨论；
①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有2C31A32=36种坐法；
②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有3A32A21=36种坐法．
故共有36+36=72种坐法．
根据题意，按空位的位置分两种情况讨论，①两端恰有两个空座位相邻，②两个相邻的空座位不在两端；分别求出两种情况下的坐法数目，进而相加可得答案．
本题考查排列、组合的综合运用，分类讨论时，按一定的标准，做到补充不漏．
6.【答案】C
【解析】解：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∵圆M过三点A(−3,1)，B(−2,4)，C(7,1)，
9+1−3D+E+F=04+16−2D+4E+F=049+1+7D+E+F=0，
解得D=−4，E=−2，F=−20，
故圆M的方程为x2+y2−4x−2y−20=0，
即(x−2)2+(y−1)2=25，
故M的圆心为(2,1)，
所以|MB|= (2+2)2+(1−4)2= 25=5．
故选：C．
设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将对应的三点代入该方程，即可求解．
本题考查圆的一般式方程，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：csα1+sinα=sin2β1+cs2β=2sinβcsβ2cs2β=sinβcsβ，
则csαcsβ=sinβ+sinαsinβ，即cs(α+β)=sinβ，
α+β=5π12，
则cs(α+β)=cs(π4+π6)=csπ4csπ6−sinπ4sinπ6= 6− 24．
故选：A．
根据已知条件，结合三角恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：令x=1，y=0，
则有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，
又因为f(1)=1，
所以f(0)=2，故A错误；
令x=y=1，
则有f(2)+f(0)=f(1)f(1)=1，
又因为f(0)=2，
所以f(2)=1−2=−1，故B错误；
令y=1，
则有f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)，
两式相加得：f(x+2)+f(x−1)=0，
即f(x+3)+f(x)=0，
f(x+3)=−f(x)，
f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
所以函数y=f(x)的周期为6，
所以f(15)=f(2×6+3)=f(3)，
在f(x+3)=−f(x)中，令x=0，
则有f(3)=−f(0)=−2，
所以f(15)=−2，故C正确；
令x=y，
则有f(2x)+f(0)=f2(x)，
所以f(2x)=f2(x)−f(0)=f2(x)−2，
所以f(4)=f2(2)−2=1−2=−1，
f(8)=f2(4)−2=1−2=−1，
f(16)=f2(8)−2=1−2=−1，故D错误．
故选：C．
令x=1，y=0，可得f(0)=2，即可判断A；
令x=y=1，结合f(0)=2，可得f(2)=−1，即可判断B；
令y=1，可得函数y=f(x)的周期为6，求得f(15)=−2，即可判断C；
令x=y，可得f(2x)=f2(x)−2，从而可求得f(16)=−1，即可判断D．
本题考查了利用赋值示求抽象函数的值，考查了求抽象函数的周期，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A.由f(x)=13x3−x−1，得f′(x)=x2−1=(x+1)(x−1)，
令f′(x)<0，得−10，得x<−1或x>1，
则函数f(x)在(−1,1)上单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，
且f(−1)=−13<0,f(1)=−53<0,f(3)=5>0，
所以当x≤1时，f(x)≤f(−1)<0，故函数f(x)在R上只有一个零点，故A正确；
B.由选项A的可知，函数f(x)的极小值为f(1)=−53，故B错误；
C.令ℎ(x)=13x3−x，定义域为R，则ℎ(−x)=−13x3+x=−ℎ(x)，
所以函数ℎ(x)为奇函数，对称中心为(0,0)，
将函数ℎ(x)图象向下平移1个长度单位，得函数f(x)的图象，
所以f(x)的对称中心为(0,−1)，故C正确；
D.由选项A知，f′(x)=x2−1，令f′(x)=−1⇒x=0，又f(0)=−1，
所以切线方程为y+1=−(x−0)，即y=−x−1，
所以直线y=−x−1是曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线，故D正确．
故选：ACD．
利用导数讨论函数f(x)的单调性，判断B，结合f(−1)=−13<0,f(1)=−53<0,f(3)=5>0判断A；证明函数ℎ(x)=13x3−x为奇函数，结合函数平移变换判断C；根据导数的几何意义求出曲线的切线方程判断D．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，函数的对称中心，考查了转化思想，属中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：把函数y=sin(x−π12)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin(12x−π12)的图象，再向左平移π3个单位长度，得到f(x)=sin(12x+π12)的图象；
对于A：函数的最小正周期为4π，故A错误；
对于B：当x=7π6时，f(7π6)=sin(7π12+π12)= 32，故B正确；
对于C：当x∈[−π12,π12]时，12x+π12∈[π24,π8]，故函数f(x)在该区间上单调递增，故C正确；
对于D：当x=5π6时，f(5π6)=sinπ2=1，故D正确．
故选：BCD．
首先求出函数f(x)的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：选项A，因为直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4 3，且AB⊥BC，
所以BB1⋅12AB⋅BC=4 3，即BB1⋅12BB1⋅ 3BB1=4 3，解得BB1=2=AA1，即选项A正确；
选项B，由选项A可知，AB=2，BC=2 3，
所以S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2 3=2 3，
由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，
又AB⊥BC，且BB1∩AB=B，BB1、AB⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
因为A1B⊂平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，
所以S△A1BC=12BC⋅A1B=12BC⋅ AB2+AA12=12×2 3× 22+22=2 6，
设点A到平面A1BC的距离为d，
因为VA−A1BC=VA1−ABC，
所以13⋅d⋅S△A1BC=13⋅AA1⋅S△ABC，即13⋅d⋅2 6=13⋅2⋅2 3，解得d= 2，
所以点A到平面A1BC的距离为 2，即选项B错误；
选项C，因为BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，
所以直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1为邻边构成的长方体的外接球，
所以2R= BA2+BC2+BB12= 22+(2 3)2+22=2 5，其中R为外接球的半径，
所以R= 5，即选项C正确；
选项D，因为BC/​/B1C1，AO与AC1的共线，
所以∠AC1B1或其补角就是直线AO与BC所成角，
由选项B知，BC⊥平面ABB1A1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，
又BC/​/B1C1，所以B1C1⊥AB1，
所以tan∠AC1B1=AB1B1C1=2 22 3= 63，所以cs∠AC1B1= 155，
所以直线AO与BC所成角的余弦值为 155，即选项D错误．
故选：AC．
选项A，由棱柱的体积公式即可得解；选项B，利用等体积法求解即可；选项C，采用补形法求外接球的半径；选项D，利用平移的思想找出异面直线所成的角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握等体积法，异面直线夹角的求法，外接球半径的求法等是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：若直线AF与AM的倾斜角互补，F(p2,0)，
不妨设FM中点为Q(5p4,0)，
此时AQ垂直平分FM，
所以xA=xQ=5p4，
因为点A为第一象限上一点，
所以yA2=2p×5p4=5p22，
解得yA= 10p2，
此时A(5p4, 10p2)，
则直线AB的斜率kAB=kAF= 10p25p4−p2=2 103，故选项A正确；
对于选项B：由选项A可知，直线AB的斜率kAB=2 103，
所以直线AB的方程为x=3 1020y+p2，
联立x=3 1020y+p2y2=2px(p>0)，消去x并整理得y2−3 1010py−p2=0，
因为yA= 10p2，
由韦达定理得yAyB=−p2，
解得yB=− 105p，
所以xB=3 1020yB+p2=3 1020×(− 105p)+p2=p5，
此时|BF|=xB+p2=p5+p2=7p10，故选项B错误；
对于选项C：由选项A知kAB=kAF=2 103，
因为直线AF与AM的倾斜角互补，
又M(2p,0)，
所以直线AM的斜率kAM=−kAF=−kAB=−2 103，
此时直线AM的方程为x=−3 1020y+2p，
联立x=−3 1020y+2py2=2px(p>0)，消去x并整理得y2+3 1010py−4p2=0，
由韦达定理得yA+yN=−3 1010p，
所以线段AN中点的纵坐标为−3 1020p，故选项C正确；
对于选项D：由选项C知xN=−3 1020yN+2p=−3 1020×(−4 10p5)+2p=16p5，
所以N(16p5,−4 10p5)，
因为A(5p4, 10p2)，O(0,0)，
所以OA⋅ON=16p5×5p4+(−4 10p5)× 10p2=4p2−4p2=0，故选项D正确．
故选：ACD．
由题意，根据直线AF与AM的倾斜角互补，即AQ垂直平分FM，求出点A的坐标，结合点F的坐标即可判断选项A；将直线AF方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及焦半径公式即可判断选项B；将直线AM方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及中点坐标公式即可判断选项C，进而可推出点N的坐标，再判断选项D即可．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
13.【答案】0.8
【解析】解：因为随机变量X～N(3,σ2)，则该曲线对称轴为μ=3，
又P(X>6)=0.1，P(X<0)=0.1，
则P(0≤X≤6)=1−P(X<0)+P(X>6)]=0.8．
故答案为：0.8．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
14.【答案】2
【解析】解：由题意，|a|=|b|=1，cs=cs60°=12，
所以(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2×1×1×12+1=2．
故答案为：2．
根据向量的模及夹角直接进行数量积运算即可．
本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
15.【答案】32
【解析】解：等比数列{an}的前3项和为168，a2−a5=42，
∴a1+a1q+a1q2=168a1q−a1q4=42，
解得a1=96，q=12，
则a7=a1q6=96×(12)6=32．
故答案为：32．
利用等比数列的通项公式列方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】 55
【解析】解：令椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，
设|AF2|=m，则|AF1|=2a−m，由点B在y轴上，F2B=−32F2A，
得|BF2|=|BF1|=32m，而|AB|=52m，
∵F1A⊥F1B，∴|AF1|2+|BF1|2=|AB|2，
∴(2a−m)2+94m2=254m2，解得m=−2a(舍去)，或m=23a，
在Rt△BF2O中，cs∠OF2B=c32m=2c3m，
在△AF1F2中，由余弦定理得，|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2−2|AF2||F1F2|cs∠AF2F1，
∴16a29=4a29+4c2−2⋅2a3⋅2c⋅(−ca)
整理得，5c2=a2，即e=ca= 55．
故答案为： 55．
设|AF2|=m，利用椭圆定义及对称性求出出|AF1|，|BF1|，|AB|，结合勾股定理，可得m=23a，再利用余弦定理求解即可．
本题考查直线与椭圆的综合，椭圆的性质和余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由2Sn=(n+1)an，
n≥2时，2Sn=nan−1，
相减可得：2an=(n+1)an−nan−1，
化为：anan−1=nn−1，
∴an=anan−1⋅an−1an−2⋅…a3a2⋅a2a1⋅a1=nn−1⋅n−1n−2⋅…⋅32⋅21⋅1=n，
∴an=n，n=1时也成立．
(2)an2n−1=n2n−1，
∴数列{an2n−1}的前n项和Tn=1+22+322+…+n−12n−2+n2n−1，
∴12Tn=12+222+…+n−12n−1+n2n，
相减可得：12Tn=1+12+122+…+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n，
化为：Tn=4−n+22n−1．
【解析】(1)由2Sn=(n+1)an，n≥2时，2Sn=nan−1，相减化为：anan−1=nn−1，利用an=anan−1⋅an−1an−2⋅…a3a2⋅a2a1⋅a1即可得出结论．
(2)an2n−1=n2n−1，利用错位相减法即可得出数列{an2n−1}的前n项和Tn．
本题考查了数列递推关系、累乘求积、错位相减法、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由已知∠BAC=120°，所以b2+c2−a22bc=−12①，
又b2+c2=a2−2②，联立①②可得bc=2；
(2)因为BD：CD=3：4，且AD=AC，
所以AD=AB+BD=AB+37(AC−AB)=37AC+47AB，
两边平方得AD2=949AC2+2449AB⋅AC+1649AB2
=949b2+2449bc⋅csA+1649c2，将csA=−12代入整理后得：
5b4+3b2−8=0，解得b=±1，结合b>0得b=1．
【解析】(1)结合∠BAC=120°，利用余弦定理得b2+c2−a22bc=−12，再结合已知b2+c2=a2−2，可得bc的值；
(2)结合平面向量的线性运算，将AD=37AC+47AB，两边平方可得结论．
本题考查余弦定理的运用、数量积的运算等，同时考查了方程思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：连接AM并延长交PB于D，连接AN并延长交BC于E，连接DE，

∵在三角形PBC中，D为PB中点，E为BC中点，
∴DE//PC，
∵在三角形ADE中，MN/​/DE，
∴MN/​/PC，又PC⊂面PBC，MN⊄面PBC，
∴MN/​/面PBC；
(2)如图，由(1)知D，E，分别为PB，BC的中点，平面AMN即为平面ADE，

连接PE，∵PB=PC，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，
且PE⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC=BC，
∴PE⊥平面ABC，则取BE的中点H，连接DH，则DH//PE，且PE=2DH，
∴DH⊥平面ABC，过H作HF⊥AE于点F，连接DF，
则由三垂线定理可知平面ADE与平面ABC所成的平面角为∠DFH=45°，
又根据题意可知△ABE为腰为2的等腰直角三角形，H为BE中点，
∴HE=1，∠HEF=45°，∴HF= 22，又在Rt△DFH中，∠DFH=45°，
∴DH=HF= 22，
∴PE=2DH= 2，即P到底面ABC的距离为 2，
∴棱锥P−ABC的体积为13×12×2×4× 2=4 23．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理，即可证明；
(2)根据面面角的概念，三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线面平行的证明，面面角的概念，面面垂直的性质，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)单循环赛共赛3场，故X可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=15×13×16=190，
P(X=1)=45×13×16+15×23×16+15×13×56=1190，
P(X=2)=45×23×16+45×13×56+15×23×56=1945，
P(X=3)=45×23×56=49，
所以E(X)=0×190+1×1190+2×1945+3×49=2.3；
证明：(2)当乙丙同积4分式，说明乙丙各胜1场，各平局1场，而甲负2场得0分．
若乙丙加赛1场后乙胜，此时乙获得小组第一的概率为P1=12；
若乙丙加赛2场后乙胜，说明加赛的第1场平局，第2场乙胜，此时P2=16×12；
若乙丙加赛3场后乙胜，说明加赛的前2场平局，第3场乙胜，此时P3=(16)2×12；
若乙丙加赛4场后乙胜，说明加赛的前3场平局，第4场乙胜，此时P4=(16)3×12；

若乙丙加赛n场后乙胜，说明加赛的前n−1场平局，第n场乙胜，此时Pn=(16)n−1×12，
所以数列{Pn}是以12为首项，以16为公比的等比数列，
故P1+P2+P3+...+Pn=12×[1−(16)n−1]1−16=35−35×(16)n−1<35，即证．
【解析】(1)由题意可知X可能取值为0，1，2，3，利用独立事件的乘法公式分别求出对应的概率，结合数学期望的计算公式求解即可；
(2)根据题意依次分析乙丙加赛1场、2场、、n场后乙胜的情况，表示出对应的概率，结合等比数列的概念和等比数列前n项求和公式计算，即可证明．
本题考查离散型随机变量的期望，考查等比数列的应用，是难题．
21.【答案】解(1)解：因为点A(−2,0)在双曲线C上，则4a2=1，又因为a>0，则a=2，
又因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±x，则b=a=2，
因此，双曲线C的方程为x24−y24=1；
(2)证明：若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=−2，
此时，直线PQ与双曲线C相切，不合乎题意；
所以，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y−2=k(x+2)，即y=kx+(2k+2)，
设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，
联立y=kx+(2k+2)x2−y2=4，消去y化简得：(k2−1)x2+4k(k+1)x+4(k+1)2+4=0，
由题意可知k2−1≠0Δ=16k2(k+1)2−16(k2−1)[(k+1)2+1]>0，解得：k>−1，
由韦达定理可得：x1+x2=−4k(k+1)k2−1,x1x2=4(k+1)2+4k2−1，
直线AP的方程为：y=y1x1+2(x+2)，
在直线AP的方程中，令x=0，得y=2y1x1+2，即点M(0,2y1x1+2)，
同理可得点N(0,2y2x2+2)，
因为2y1x1+2+2y2x2+2=2kx1+4k+4x1+2+2kx2+4k+4x2+2=4k+4x1+2+4x2+2
=4k+4(x1+x2+4)x1x2+2(x1+x2)+4=4k+4⋅(4−4k2+4kk2−1)4(k+1)2+4−8k(k+1)k2−1+4=−4，
所以，线段MN的中点坐标为(0,−2)，即线段MN的中点为定点．
【解析】(1)根据点A在双曲线C上可得出a的值，结合双曲线C的渐近线方程可得出b的值，由此可得出双曲线C的方程；
(2)分析可知，设直线PQ的方程为y−2=k(x+2)，设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，将直线PQ的方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，写出直线AP、AQ的方程，进而可求得点M、N的坐标，即可求得线段MN中点的坐标．
本题考查双曲线的性质及圆锥曲线中直线过定点的问题，属于中档题．
22.【答案】(1)证明：记m(x)=f(x)−g(x)(x∈(0,+∞))，所以m′(x)=1x+1−12 x=−2 x−x−12 x(x+1)=−−( x+1)22 x(x+1)<0，
因此m(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，故m(x)故f(x)(2)解：φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)=(4x+t)ln(x+1)，
则φ′(x)=−4x2ln(x+1)+(4x+t)1x+1，
由于φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)在(0,+∞)存在极值点，
所以φ′(x)=−4x2ln(x+1)+(4x+t)1x+1=0有正的实数根，
即方程4xln(x+1)=(4+tx)1x+1有正的实数根，
令ln(x+1)=m，则x=em−1，且m>0，
故变形为4mem−1=4+t(em−1)em，
进而等价于t(em−1)2+4(em−1)−4mem=0有正的实数根，
令ℎ(m)=t(em−1)2+4(em−1)−4mem，m>0，
则ℎ′(m)=2t(em−1)em−4mem=em[2t(em−1)−4m]，
令p(m)=2t(em−1)−4m，则p′(m)=2tem−4，
当t≥2时，则p′(m)=2tem−4≥4em−4>4e0−4=0，
所以p(m)在m>0单调递增，故p(m)>p(0)=0，进而ℎ′(m)=emp(m)>0，
此时ℎ(m)在m>0单调递增，故ℎ(m)>ℎ(0)=0，此时不符合要求，
当t≤0时，则p′(m)=2tem−4<0，所以p(m)在m>0单调递减，
故p(m)0单调递减，故ℎ(m)<ℎ(0)=0，此时不符合要求，
当00单调递增，由于p′(0)=2t−4<0，
当m→+∞时，p′(m)→+∞，故存在m0>0，使得p′(m0)=0，
故当m∈(0,m0)，p′(m)<0，p(m)单调递减，当m∈(m0,+∞)，p′(m)>0，p(m)单调递增，
又当m→+∞时，p(m)→+∞，
因此存在m1∈(m0,+∞)，使得m∈(0,m1)，ℎ′(m)<0，ℎ(m)单调递减，
当m∈(m1,+∞)，ℎ′(m)>0，ℎ(m)单调递增，故当m是ℎ(m)的零点，
综上可得0【解析】(1)构造函数m(x)=f(x)−g(x)，利用导数求单调性，即可求证；
(2)将问题转化为4xln(x+1)=(4+tx)1x+1有正的实数根，利用换元法将问题进一步等价于t(em−1)2+4(em−1)−4mem=0有正的实数根，构造函数ℎ(m)=t(em−1)2+4(em−1)−4mem，即可求导分类讨论求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．