2023-2024学年浙江省台州市椒江区书生中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市椒江区书生中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式1x−1有意义，则x应满足的条件是( )
A. x≠1B. x≠−1C. x≠0D. x>1
3.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
4.下列运算中，计算结果正确的是( )
A. m10÷m2=m5B. (2m)2=2m2C. m3⋅m2=m5D. m3+m2=m5
5.若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为( )
A. 30B. 27C. 35D. 40
6.如果把分式xx−y中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值( )
A. 缩小为原来的3倍B. 不变C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍
7.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
8.如图，在一张长方形的纸板上找一点P，使它到AB，AD的距离相等，且到点B，C的距离也相等，则下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
10.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(a,0)，C(m,n)(n>0).若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，当0A. 03
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.某种口罩能够过滤掉的最小的颗粒的直径是0.0000003m，其中0.0000003m用科学记数法表示为______m.
12.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为______cm．
13.如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AC=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多1cm，则AB= ______cm．
14.如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形(a>b).观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在直线AC和AC的垂线AX上移动，点P从A点开始且移动的速度为3cm/s，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为______．
16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2.D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1，再从−1，0，1中选择一个合适的数代入求值．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1)2−1+(3−π)0；
(2)(2a−1)2−4a(a−1)．
19.(本小题6分)
如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C′的坐标：______；
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．(保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE/​/BC交AB于点E.若∠A=75°，∠C=37°，求∠BDE的度数．
22.(本小题10分)
一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，求江水的流速为多少？设江水的流速为x km/h．
(1)根据题意，用含有x的式子填写下表：
(2)列出方程，并求出问题的解．
23.(本小题10分)
我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a,b]：如果ac=b，那么[a,b]=c．
例如[2,8]=3，对于任意自然数n，可以证明[3n,4n]=[3,4]．
理由如下：设[3n,4n]=x，则(3n)x=4n，∴(3x)n=4n，∴3x=4，∴[3,4]=x，∴[3n,4n]=[3,4]．
(1)根据以上规定求出：[4,64]= ______；[2014,1]= ______；
(2)①说明等式[3,3]+[3,5]=[3,15]成立的理由；
②并计算[5,2]+[5,7]=[5,______]；
(3)类比猜想：[4,12]−[4,2]=[4,_____]．
24.(本小题12分)
如图，点D，E分别在正△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD，AE交于点F．
(1)①求证：△ACE≌△CBD；②求∠AFD的度数；
(2)如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q.若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积______；
(3)如图3，延长CD到点P，使∠BPD=30°，设AF=a，CF=b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−1≠0
解得：x≠1．
故选：A．
根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x−1≠0，解得x的范围．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设所求多边形边数为n，
则(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
故选A．
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A.m10÷m2=m8，故A不符合题意；
B.(2m)2=4m2，故B不符合题意；
C.m3⋅m2=m5，故C符合题意；
D.m3与m2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=30，
故选：A．
直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：
3x3x−3y=xx−y，
∴如果把分式xx−y中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，
故选：B．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP，
又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM−∠ABC=60°，
故选：D．
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．
本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．
8.【答案】C
【解析】解：由题意满足条件的点是∠DAB与线段BC的垂直平分线的交点．
故选：C．
满足条件的点是∠DAB与线段BC的垂直平分线的交点．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO=S△BDC+S▱ECGF−S△BGF=a⋅a÷2+b⋅b−(a+b)⋅b÷2；①
S△DEF=底EF⋅高DE÷2=b⋅(a−b)÷2； ②
S△CGF=底CG⋅高GF÷2=b⋅b÷2； ③
∴阴影部分面积=①+②+③
=a2÷2+b2−(ab+b2)÷2+(ab−b2)÷2+b2÷2
={a2+2b2−(ab+b2 )+(ab−b2)+b2}÷2
=(a2+b2)÷2，④
由已知 a+b=10，ab=20，构造完全平方公式：
(a+b)2=102，
解得a2+b2+2ab=100，
a2+b2=100−2⋅20，
化简=60代入④式，
得60÷2=30，
∴S阴影部分=30．
故选：C．
观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O(如图)，则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值．
本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A(0,2)，
∴AO=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，
∴∠ABC=90°=∠AOB=∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
∠AOB=∠BDC∠BAO=∠CBDAB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴AO=BD=2，
∵0∴2∵OD=OB+BD=a+2=m，
∴2故选：B．
过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO=BD=2，即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11.【答案】3×10−7
【解析】解：0.0000003=3×10−7，
故答案为：3×10−7
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．熟记相关结论即可．
本题考查的是科学记数法，熟知科学记数法的概念是解题的关键．
12.【答案】22
【解析】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22(cm)．
故填22．
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
∵△ACE的周长比△AEB的周长多1cm，
∴(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=1cm，即AC−AB=1cm，
∵AC=8cm，
∴AB=7cm，
故答案为：7．
根据三角形中线的概念得到CE=BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
14.【答案】(a+b)(a+2b)
【解析】解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+3ab+2b2，
也可以为(a+b)(a+2b)，
则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的组为(a+b)(a+2b)，
故答案为：(a+b)(a+2b)．
图形中大长方形的面积有两种求法，三个正方形的面积加上三个长方形的面积之和得到；也可以由长为a+2b，宽为a+b的长方形面积得到，两者相等即可得到多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果．
此题考查了因式分解的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键．
15.【答案】2s或4s
【解析】解：①当AP=CB时，∠C=∠QAP=90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
PQ=AB AP=CB ，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA(HL)，
即AP=BC=6cm时，Rt△APQ≌Rt△CBA，
∴t=63=2s；
②当P运动到与C点重合时，即AP=AC时，∠C=∠QAP=90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
PQ=AB AP=AC ，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
即AP=AC=12cm，
∴t=123=4s，
综上所述，t=2s或4s．
故答案为：2s或4s．
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12cm，P、C重合．
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形).由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
16.【答案】83
【解析】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
设AF=x，则BF=4−x，
∵∠B=30°，
∴FH=12BF=2−12x，
∵EF垂直平分AD，
∴AF=FD=x，
∵FD≥FH(当D，H重合时，相等)
∴x≥2−12x，解得x≥43，
∴AF最小值为43，BF的最大值为4−43=83．
故答案为：83．
过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF=x，则BF=4−x，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半，将BF的最大值转化为AF最小值是解决本题的关键，属于压轴题．
17.【答案】解：原式=(x+1x+1−xx+1)⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=x+1−xx+1⋅x+1x−1
=1x−1，
∵x+1≠0，x−1≠0，
∴x≠±1，
当x=0时，
原式=10−1=−1．
【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再结合分式有意义的条件选取合适的x的值，代入求值．
本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)原式=12+1
=32；
(2)原式=4a2−4a+1−4a2+4a
=1．
【解析】(1)根据负整数指数幂和零指数幂计算即可；
(2)根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式和单项式乘多项式，掌握(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
19.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+EC．
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【解析】由BE=CF可得BC=EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．
本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20.【答案】(1,2)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)点C关于y轴的对称点C′的坐标为(1,2)；
故答案为：(1,2)；
(3)如图，点P即为所求．
(1)根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点C′的坐标
(3)连接AC′交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得△PAC周长最小．
本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21.【答案】解：∵∠A=75°，∠C=37°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=68°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=34°，
∵DE/​/BC，
∴∠BDE=∠CBD=34°．
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC，进一步可求∠CBD，再根据DE/​/BC即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(32+x) 9032+x (32−x) 6032−x
【解析】解：(1)根据题意可得顺流航行的速度为(32+x)km/h，逆流航行的速度为(32−x)km/h，
所用时间(h)分别为：9032+x，6032−x；
(2)根据题意，得9032+x=6032−x．
解得x=6.4．
经检验，x=6.4是原分式方程的解．
答：江水的流速为6.4km/h．
(1)根据题意可得顺流航行速度为(32+x)km/h，逆流航行速度为(32−x)km/h，进而得出答案；
(2)根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，表示出顺流航行速度和逆流航行速度，找出题目中等量关系，然后列出分式方程．
23.【答案】3 0
【解析】解：(1)设[4,64]=x，则4x=64=43，
故x=3，即[4,64]=3；
设[2014,1]=x，则2014x=1=20140，
故x=0，即[2014,1]=0；
故答案为：3，0；
(2)①设[3,3]=m，[3,5]=n，则3m=3，3n=5，
故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，
则[3,15]=m+n，
即[3,3]+[3,5]=[3,15]；
②设[5,2]=m，[5,7]=n，则5m=2，5n=7，
故5m×5n=5m+n=2×7=14，
则[5,14]=m+n，
即[5,2]+[5,7]=[5,14]；
故答案为：14；
(3)设[4,12]=m，[4,2]=n，则4m=12，4n=2，
故4m4n=4m−n=122=6，
则[4,6]=m−n，
即[4,12]−[4,2]=[4,6]．
故答案为：6．
(1)根据题意如果ac=b，那么[a,b]=c，进而将原式变形求出答案；
(2)①根据[3,3]与[3,5]的意义，得出[3,3]+[3,5]，再表示出[3,15]的值进而得出答案；②表示出[5,2]与[5,7]的值进而得出答案；
(3)利用同底数幂的除法运算法则将原式变形求出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形分析是解题关键．
24.【答案】13S
【解析】证明：(1)①∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，
∴△BDC≌△CEA(SAS)
②∵△BDC≌△CEA
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB
∴∠AFD=60°
(2)∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，
∴△ABM≌△CAE≌△BCD(SAS)
∴∠CAE=∠ABM=∠BCD，∠AMB=∠AEC=∠BDC，且BD=CE
∴△BDQ≌△CEF(ASA)
∴S△BDQ=S△CEF，
∵BD=DN
∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，
∵D，E是AB，BC上三等分点，
∴S△BDC=S△CEA=13S△ABC=13S，
∵四边形ANQF的面积=S△ABC−S△AEC−S△DNQ−S四边形DFEB=S−13S−13S
∴四边形ANQF的面积=13S
故答案为13S
(3)PC=a+2b
理由如下：如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，
∵AM=CE=BD，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB
∴△CBD≌△ACE≌△BAM(SAS)
∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，且∠ABC=∠ACE
∴∠MBC=∠ACD，且BC=AC，∠EAC=∠BCD
∴△BHC≌△CFA(ASA)
∴BH=CF=b，AF=CH=a，
∵∠PHB=∠MBH+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC
∴∠PHB=60°，且∠BPD=30°
∴∠PBH=90°，且∠BPH=30°
∴PH=2BH=2b，
∴PC=PH+HC=a+2b
(1)①由等边三角形的性质AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，可证△BDC≌△CEA；
②由三角形的外角性质可求∠AFD的度数；
(2)由等边三角形的性质可得BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，可证△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形ANQF的面积；
(3)在AC上截取AM=CE，由题意可证△BHC≌△CFA，可得BH=CF=b，AF=CH=a，∠PHB=60°，即可求PC的长．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．速度(km/h)
时间(h)
距离(km)
顺流航行
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逆流航行
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60