江西省景德镇市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附答案）

这是一份江西省景德镇市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：程朝鹏（昌江一中）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在空间四边形中，化简（ ）
A．B．C．D．
2．动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．共轭双曲线与，有（ ）
A．相同的离心率B．公共焦点C．公共顶点D．公共渐近线
5．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．B．C．2D．10
6．已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．已知直线过点和点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
8．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（ ）
图2
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．向量的夹角为
10．设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，那么点的横坐标为
C．若，则线段的中点到轴距离为4
D．以线段为直径的圆与轴相切
11．已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使平面
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与直线的夹角为定角
D．平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形
12．若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知，则______．
14．焦点为的椭圆上有一点，若的中点落在轴上，则______．
15．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______．
16．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．
（1）求的值；
（2）求证：．
18．（本小题满分12分）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．
19．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
20．（本小题满分12分）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积．
21．（本小题满分12分）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．
图1 图2
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（本小题满分12分）若椭圆截抛物线的准线所得弦长为．
（1）求的值；
（2）倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，点，是否存在直线满足？如果存在求出直线方程，如果不存在说明理由．
景德镇市2023-2024学年上学期期末质量检测卷
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．14．115．16．
三、解答题：本大题共6大题，满分70分．
17．解：（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
（2）因为，，
（第二问也可找中点，利用平面）
18．解：（1）由已知，得
又，，方程为
（2）联立，得
即
当时，显然有一个解，此时
当时，，
综上，或2．
19．解：（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得
，
即异面直线与夹角的余弦值为
（2）设平面的一个法向量，
，
由，得，于是平面的一个法向量，
点到平面的距离．
（第二问也可以利用等体积法）
20．解：（1）由已知，得
设方程为，则，得
方程为
（2）
联立，得，即
，．
又因为，
21．解：（1）取线段中点，连接
由图1可知，四边形是矩形，且，
在图2中，且，
且，四边形是平行四边形，则，
由于平面，平面，平面．
（2）由已知，
以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
图2
可得，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
由，得，于是平面的一个法向量，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
22．解：（1）设椭圆与抛物线准线的一个交点为，则
，可得．
（2）设的中点为
联立，得
，故
，，
解得，即
但此时，，故不存在．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
D
B
D
C
C
AC
ABD
BCD
AB