江西省景德镇市2022-2023学年高一数学上学期11月期中质量检测试题（Word版附解析）

景德镇市2022－2023学年上学期期中质量检测卷

高一数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据并集的运算可得答案.

【详解】因为，，所以.

故选：B.

2. 设命题p：，使得，则为（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ，都有 D. ，都有

【答案】C

【解析】

【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】为，都有.

故选：C

3. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的性质一一判定即可.

【详解】对于A项，举反例即可，若，则，故A错误；

对于B项，举反例即可，若，则，故B错误；

对于C项，∵，∴，则，故C正确；

对于D项，举反例即可，若，则不成立，故D错误.

故选：C

4. 已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】B

【解析】

【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.

【详解】因为x，，x＋2y＝1，

则

，

当且仅当，即时取等.

故选：B.

5. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由分母不为零，解不等式即可得解.

【详解】由题可得：，

则，解得：.

故函数的定义域是：.

故选：A.

6. 已知幂函数的图像经过点，则函数在区间上的最大值是（    ）

A. －2 B. －3 C. －4 D. －5

【答案】D

【解析】

【分析】求出幂函数的解析式，再通过导数求出函数的单调性，从而求得最值.

【详解】设幂函数，因为过点，所以，

解得，.

则函数，

因为函数是单调递增的，所以单调递增，则当时， .

故选：D.

7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.

【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，

因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，

参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，

只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，

所以单独参加数学的有人，

单独参加物理的有人，单独参加化学的有，

故参赛人数共有人，

没有参加任何竞赛的学生共有人.

故选：D.

8. 函数的图象大致为（      ）

A.   B.  

C.   D.  

【答案】D

【解析】

【分析】先根据绝对值定义将函数化分段函数形式，再根据各段形状确定选项.

【详解】因为=，所以选D.

【点睛】本题考查分段函数图象，考查基本分析判断能力.

二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下列不等式的解集为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，，

所以不等式解集为，所以A正确，

对于B，因为，

所以方程的两根为，

所以不等式的解集为，所以B错误，

对于C，因，

所以不等式的解集为，所以C正确，

对于D，因为，

所以方程的根为，

所以不等式的解集为，所以D错误，

故选：AC

10. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】通过分析不同函数中对应的集合中元素的值，即可得出结论.

【详解】由题意，

，

A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误；

B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确；

C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误；

D项，在中，当时，对应的函数值分别为， D正确；

故选：BD.

11. 已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】先解不等式，设，，由题意可得，求解即可.

【详解】由可得：，解得：，设，

，若p是q的必要非充分条件，

所以真包含于A，所以或或均满足.

故选：BCD.

12. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数（），下列说法正确的是（    ）

A. 的解集为 B. 的值域为

C. 为偶函数 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由黎曼函数的定义一一分析即可.

【详解】依题意当为无理数（）时无解，

当为有理数（）时，即，为大于的正整数，、为既约的正整数，

则方程，解得，为大于的正整数，

当时，解得，当时无解，

所以方程的解集为，故A正确；

因为，但是不存在正整数，使得，故B错误；

若为上的无理数，则也为无理数，此时，

若，则，此时，

若为上的有理数，则也为有理数，此时，

综上可得，有，所以关于对称，

即，则为偶函数，故C正确；

由，若为无理数时，此时，

若或时，此时，

若为有理数（且），即，为大于的正整数，、为既约的正整数，

则，所以，故D正确；

故选：ACD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得；

由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得.

综上可得，.

故答案为：

14. 若是上的奇函数，且当时，，则当，______．

【答案】

【解析】

【分析】根据奇函数的定义结合已知条件求解即可.

【详解】设，则，

所以，

因为是上的奇函数，所以，

所以，所以，

故答案为：

15. 已知函数．若，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】作出函数的图象得到，然后结合图象即可求解.

【详解】作出函数的图象，如图所示，

如，则，

又因为，结合图象可知：，

所以实数m的取值范围是，

故答案为：.

16. 函数的定义域为，为奇函数，其中a为正实数，且当时，．若对于任意，不等式恒成立，则实数b的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到为奇函数，进而求出，然后得到函数的解析式和单调性，将所求不等式进行等价转化得到恒成立，根据一次函数的性质列出不等式组，解之即可求解.

【详解】∵为奇函数，即为奇函数，

∴关于中心对称．故，且为正实数，∴．

∴，根据二次函数的性质易知在上单调递增．

而，

故恒成立等价于恒成立，

∴，也即．

由一次函数的性质可知，解得，

故答案为：.

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知集合，，．

（1）求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用交集的定义直接求解即可；

（2）由可得分和两种情况求解.

【小问1详解】

因为，，

所以

【小问2详解】

(i)当时，满足，此时，解得；

(ii)当时，要，则 解得，

综上所述：由(i)和(ii)得.

故的取值范围是.

18. 设p：实数x满足，其中a＞0，q：实数x满足．

（1）若，且p，q均成立，求实数x的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式分别求出命题、为真时参数的取值范围，再取交集即可得解；

（2）首先解一元二次不等式求出命题所以对应的的取值范围，再根据充分条件、必要条件得到不等式组，解得即可；

【小问1详解】

当时，由，解得，

而由，得，由于p，q均成立，故所求的.

【小问2详解】

由得，

因为，所以，故.

因为q是p的充分不必要条件，所以，解得.

故实数a的取值范围是.

19. 已知二次函数的对称轴为x＝1，且经过点与．

（1）求的解析式；

（2）已知t＞0，函数在区间上的最小值为－1，求实数t的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的对称性求出两个,设函数点代入求参即可;

（2）根据函数单调性,再根据最值求参.

【小问1详解】

∵二次函数的对称轴为，且经过点，

∴其与轴另一交点为．设，将代入，解得：．

∴.

【小问2详解】

∵二次函数的对称轴为，单调递减, 单调递增,

若，单调递减, 单调递增,则，此时成立；

若，单调递增,则，，解得，舍去．

综上所述，．

20. 景德镇某瓷厂准备批量生产一批餐具，厂家初期投入购买设备的费用为2万元，每生产一套餐具的成本为40元，当生产套餐具后，厂家总收入（单位：元）．

（1）求总利润关于产量x的函数关系；

（2）当产量x为多少时总利润最大？并求出利润的最大值．

【答案】（1）   

（2）当该厂产量为套时总利润最大，最大利润在元．

【解析】

【分析】（1）总利润等于总售价减去总成本，即，分段表示即可；

（2）根据解析式分段判定最值即可；

小问1详解】

．

【小问2详解】

当时，则，由二次函数的单调性可知，当时，的最大值为元；

当时，则，

当且仅当，即时取等号．

而158000＞30000，

综上所述，当该厂产量为套时总利润最大，最大利润在元．

21. 已知函数为偶函数．

（1）判断函数在上的单调性，并加以证明；

（2）当（其中m＞n＞0）时，函数的值域恰为，求正实数m，n的值．

【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用偶函数定义求出的值，再利用函数的单调性定义推理作答；

（2）利用小问（1）得到的结论，探求函数的最值，建立方程，即可求值.

【小问1详解】

∵函数为偶函数，

∴，而，解得：；

所以，

任取，，

所以，

因为，所以，，

即，故函数在上单调递增；

【小问2详解】

由上问可知,函数在上单调递增，

因为，函数的值域恰为，

所以，

即为方程的两根，

整理即：，解得，

又，∴．

22. 已知函数．

（1）若在上有两不等实根，求实数a取值范围；

（2）若，对任意，存在，使得，求实数a取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依据开口向上的二次函数有两个不等实根，知判别式大于0，对称轴在内，端点处的函数值不小于0,从而解出参数;

（2）对于恒成立或存在性下的不等式问题，转化为两个函数的最值问题.

【详解】（1）在上有两不等实根，

又，则，解得；

即所求的取值范围是  

（2）任意，存，使得，则

在上单调递增，则

所以问题转化为存在，.

解法一（直接分类讨论求最小值）.

(i)当对称轴时，即：，由该函数图像可知

，即 又

故此时

(ii)当时，即：，由该函数图像可知

，又，故此时.

(iii)当对称轴时，即：，由该函数图像可知

，又，

故此时.

综上所述，实数的取值范围为.

解法二（分离参数）

存在，等价于

不妨设，

则问题转化为存在，使得，即

又在上单调递减，在上单调递增，

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】与恒成立与存在性相关的不等式问题，一般转化为最值问题，注意在转化时，要能够明晰要求的是最大还是最小值.