2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y− 2=0的倾斜角为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
2.若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，l⊄α，则下列四组向量中能使1//α的是( )
A. m=(−1,0,1)，n=(1,0,1)B. m=(0,−1,2)，n=(0,1,−2)
C. m=(1,−2,1)，n=(−2,1,−2)D. m=(2,−1,1)，n=(−4,2,−2)
3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为( )
A. 1.5尺B. 3.5尺C. 5.5尺D. 7.5尺
4.已知方程x22+m−y2m+1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A. −32C. m>−1D. −25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，椭圆的左焦点和中心分别是F，O.已知|FO|是|AF|，|FB|的等比中项，则此椭圆的离心率为( )
A. 5−2B. 22C. 12D. 14
6.已知等比数列{an}的首项为−1，前n项和为Sn，若S6S3=78，则a5=( )
A. −16B. −4C. −14D. −116
7.若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为3，则实数a的取值范围是( )
A. (2,4)B. (0,4)
C. (−2 3,2 3)D. (−2 3,0)∪(0,2 3)
8.已知P为双曲线x24−y25=1左支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，N为△PF1F2的内心.若SΔPNF2=SΔPNF1+2 3，则点N到焦点F1的距离是( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：9x2−16y2=144，则( )
A. 双曲线C的离心率为54B. 双曲线C的虚轴长为6
C. 双曲线C的实半轴长为8D. 双曲线C的渐近线方程为y=±43x
10.三棱锥A−BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n=(2,−1,1)，m=(1,1,2)，则二面角A−BD−C的大小可能为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
11.已知A(−1,0)，B(1,0)，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，则( )
A. 当k1⋅k2=−2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B. 当k1⋅k2=−1时，P点的轨迹为除去A，B两点的圆
C. 当k1⋅k2=2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
D. 当k1+k2=2时，P点的轨迹为除去A，B两点的抛物线
12.数列{an}满足a1=12，an−an+1=2anan+1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=1+23Sn(n∈N*)，则下列正确的是( )
A. 12023是数列{an}中的项
B. 数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列
C. 数列{anan+1}的前n项和Tn<14
D. 数列{bnan}的前n项和An=(2n−1)3n+12+32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：mx+y+2=0与l2：x+5y−1=0平行，则m= ______．
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M是抛物线C的准线与x轴的交点，点P在抛物线上(点P在第一象限)，若tan∠PFM=−512，则|PF|= ______．
15.已知数列{an}的前n项的积为Tn，且2an+1Tn=2，则满足T1+T2+⋯+Tn>50的最小正整数n的值为______．
16.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ：x2a2−y2=1(a>0)的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是等差数列，满足a2=5，a4=11，数列{bn+an}是公比为2的等比数列，且b1=2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4．
(1)若直线l过定点A(1,3)，且与圆C相切，求l的方程；
(2)若圆D的半径为1，圆心在直线m：x+y−4=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=3，AB=2，Q为侧棱AA1上的点，且AQ=2，点M，N分别为AB，A1C1的中点．
(1)求异面直线MN与QC1所成角的余弦值；
(2)求直线MN与平面AA1B1B所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=4，Sn+1+4Sn−1=5Sn(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=an+1SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C经过点( 3,12)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求直线PQ的方程．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=−2，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与轨迹C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点共线．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设倾斜角为α，直线 3x+y− 2=0的斜率为− 3，
则tanα=− 3，
∵0≤α<180°，
∴α=120°．
故选：C．
设倾斜角为α，由题意可得tanα=− 3，即可求出．
本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，l⊄α，
若m⋅n=0，即m⊥n，又由l⊄α，则有1//α，
依次分析选项：
对于A，m=(−1,0,1)，n=(1,0,1)，m⋅n=−1+0+1=0，即m⊥n成立，符合题意；
对于B，m=(0,−1,2)，n=(0,1,−2)，m⋅n=0+(−1)+(−4)=−5≠0，即m⊥n不成立，不符合题意，
对于C，m=(1,−2,1)，n=(−2,1,−2)，m⋅n=(−2)+(−2)+(−2)=−6≠0，即m⊥n不成立，不符合题意，
对于D，m=(2,−1,1)，n=(−4,2,−2)，m⋅n=(−8)+(−2)+(−2)=−12≠0，即m⊥n不成立，不符合题意．
故选：A．
根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足m⋅n=0，综合可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2，⋅⋅⋅，a12，
∵小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，
∴a2+a4+a6=3a1+9d=31.5S8=8a1+8×72d=80，
解得a1=13.5，d=−1，
∴谷雨日影长为a9=a1+8d=13.5−8=5.5(尺)．
故选：C．
设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2，⋅⋅⋅，a12，利用等差数列性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵方程x22+m−y2m+1=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴2+m>−(m+1)>0，
解得−32故选：A．
根据题意建立不等式组，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，椭圆的左焦点和中心分别是F，O.已知|FO|是|AF|，|FB|的等比中项，
可得c2=(a−c)(a+c)，可得2c2=a2，
所以e=ca= 22．
故选：B．
利用已知条件，列出方程，转化求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为等比数列{an}的首项为−1，
若S6S3=78，则q≠1，
所以a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=1+q3=78，
所以q=−12，
a5=−1×(−12)4=−116．
故选：D．
由已知结合等比数列的求和公式求出q，再由通项公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为3，
所以圆x2+y2=1与以(a,2)为圆心，3为半径的圆有2个公共点，
所以圆x2+y2=1与圆(x−a)2+(y−2)2=9相交，
所以3−1< a2+4<3+1，即2< a2+4<4，
解得：−2 3所以实数a的取值范围是(−2 3,0)∪(0,2 3)．
故选：D．
将问题转化为圆x2+y2=1与以(a,2)为圆心，3为半径的圆有2个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
本题考查点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知，a2=4，b2=5，所以a=2，b= 5，c= a2+b2= 4+5=3，
又由双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2a=4，
设△PF1F2的内切圆的半径为R，
因为SΔPNF2=SΔPNF1+2 3，所以12|PF2|R−12|PF1|R=2 3，
所以12(|PF2|−|PF1|)R=R=2 3，
所以2R=2 3，所以R= 3，
设圆N与△PF1F2的三边PF1，PF1，F1F2分别相切于A，B，C三点，连接AN，BN，CN，
由内切圆的性质可得|PA|=|PB|，|F2B|=|F2C|，|F1A|=|F1C|，
因为|PF2|−|PF1|=4，所以|F2B|+|PB|−(|PA|+|F1A|)=4，
即|F2C|−|F1C|=4，由|F2C|+|F1C|=|F1F2|=2c=6，
所以|F1C|=1，|F2C|=5，因为NC=R= 3，NC⊥F1C，
所以|NF1|= |F1C |2+|NC|2=2，即点N到焦点F1的距离是2．
故选：B．
根据双曲线的定义可得|PF2|−|PF1|=2a=4，根据SΔPNF2=SΔPNF1+2 3，得△PF1F2的内切圆的半径为R= 3，再根据内切圆的性质可得|F2C|−|F1C|=2a，结合|F2C|+|F1C|=|F1F2|=2c可求得|F1C|，利用勾股定理可求得点N到焦点F1的距离．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：双曲线C：9x2−16y2=144的标准方程为C：x216−y29=1，
则双曲线的实半轴长a=4、虚半轴长b=3，半焦距c= a2+b2=5，
所以双曲线C的离心率e=ca=54，故A正确；
双曲线C的虚轴长为6，B正确；
双曲线C的实半轴长为4，故C错误；
双曲线C的渐近线方程为y=±34x，故D错误．
故选：AB．
根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：cs=n⋅m|n||m|=(2,−1,1)⋅(1,1,2) 22+(−1)2+12⋅ 12+12+22=12，
所以二面角A−BD−C的大小可能为π3或2π3．
故选：BC．
计算cs=n⋅m|n||m|，即可得出答案．
本题考查二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意知：A(−1,0)，B(1,0)，设P(x,y)，
对A选项，∵k1⋅k2=yx+1⋅yx−1=−2，(x≠±1)，
化简可得y22+x2=1，(x≠±1)，
∴P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，∴A选项正确；
对B选项，∵k1⋅k2=yx+1⋅yx−1=−1，(x≠±1)，
化简可得x2+y2=1，(x≠±1)，
∴P点的轨迹为除去A，B两点的圆，∴B选项正确；
对C选项，∵k1⋅k2=yx+1⋅yx−1=2，(x≠±1)，
化简可得x2−y22=1，(x≠±1)，
∴P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，∴C选项正确；
对D选项，∵k1+k2=yx+1+yx−1=2，(x≠±1)，
化简可得y=x−1x，(x≠±1)，
∴P点的轨迹不是除去A，B两点的抛物线，∴D选项错误．
故选：ABC．
针对各个选项，；利用“五步求曲“，即可分别求解．
本题考查轨迹方程的求解，圆锥曲线与圆的几何性质，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：数列{an}满足a1=12，an−an+1=2anan+1(n∈N*)，
可得1an+1−1an=2，即有1an=2+2(n−1)=2n，即an=12n，
由bn=1+23Sn(n∈N*)，可得b1=1+23S1=1+23b1，解得b1=3，
当n≥2时，由bn=1+23Sn，可得bn−1=1+23Sn−1，
两式相减可得bn−bn−1=1+23Sn−1−23Sn−1=23bn，
即为bn=3bn−1，则bn=3n，即数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，故B正确；
令an=12023，解得n=20232，不为整数，故A错误；
anan+1=14n(n+1)=14(1n−1n+1)，则Tn=14(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，故C正确；
bnan=2n⋅3n，An=2(1⋅3+2⋅32+...+n⋅3n)，3An=2(1⋅32+2⋅33+...+n⋅3n+1)，
两式相减可得−2An=2(3+32+...+3n−n⋅3n+1)=2(3(1−3n)1−3−n⋅3n+1)，化为An=32+(2n−1)⋅3n+12，故D正确．
故选：BCD．
由等差数列的定义和通项公式求得an=12n，由数列的通项与前n项和的关系，求得bn=3n，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论．
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】15
【解析】解：因为两条直线平行，所以m1=15≠2−1，解得m=15．
故答案为：15．
由两条直线平行的充要条件，可得m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】26
【解析】解：作PE垂直x轴于点E，
若tan∠PFM=−512，
则tan∠PFE=512，
不妨设PE=5b，
则EF=12b，
由勾股定理可知，PF=13b，
PF=PD=EF+p2+p2=12b+2，
所以13b=12b+2，解得b=2，
故|PF|=13b=26．
故答案为：26．
根据已知条件，结合勾股定理，以及抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：当n=1时，有2T1+1T1=2，所以T1=32；
当n≥2时，由2an+1Tn=2，得2TnTn−1+1Tn=2，即2Tn=2Tn−1+1(n≥2)，
所以数列{2Tn}是等差数列，其中公差为1，首项为2T1=3，
所以2Tn=3+(n−1)×1=n+2，即Tn=n2+1，
所以T1+T2+⋯+Tn=12(1+2+…+n)+n=12×(1+n)n2+n=n2+5n4，
若T1+T2+⋯+Tn>50，则n2+5n4>50，即n2+5n>200，
因为数列{n2+5n}是单调递增数列，且当n=11时，n2+5n=121+55=176<200；当n=12时，n2+5n=144+60=204>200，
所以满足T1+T2+⋯+Tn>50的最小正整数n的值为12．
故答案为：12．
利用an=TnTn−1(n≥2)，结合等差数列的定义与通项公式，可得Tn，再根据等差数列的求和公式，求解即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的定义、通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】[1,+∞)
【解析】解：设P2的对称点P3(x2,−y2)仍在双曲线右支，由x1x2>y1y2，
得x1x2−y1y2>0，即OP1⋅OP3>0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y=1ax的斜率1a≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
取P2的对称点P3(x2,−y2)，结合x1x2>y1y2，可得OP1⋅OP3>0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
本题考查了双曲线的性质，是中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2=5，a4=11，
可得a1+d=5，a1+3d=11，解得a1=2，d=3，
则an=2+3(n−1)=3n−1；
数列{bn+an}是公比为2的等比数列，且b1=2，可得bn+an=bn+3n−1=4×2n−1，
即有bn=2n+1−(3n−1)；
(2)Sn=(4+8+...+2n+1)−(2+5+...+3n−1)=4(1−2n)1−2−12n(2+3n−1)=2n+2−4−12(3n2+n)．
【解析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；
(2)运用数列的分组求和与等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由圆C：(x−3)2+(y−4)2=4得圆心C(3,4)，半径r=2，
(1)设l：y−3=k(x−1)，即kx−y+3−k=0，
所以|3k−4+3−k| k2+1=2，解得k=−34，
所以切线为3x+4y−15=0，
经验证x=1也是圆C的切线，
所以直线l的方程为：3x+4y−15=0或x=1；
(2)设D(a,b)，则a+b−4=0 (a−3)2+(b−4)2=1+2，
解得a=0，b=4；或a=3，b=1，
故所求圆D的方程为x2+(y−4)2=1或(x−3)2+(y−1)2=1．
【解析】(1)待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线；
(2)根据圆心D在直线m上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可．
本题考查圆的切线的求法以及圆与圆外切时的性质，属于中档题．
19.【答案】解：取A1B1的中点D，连接MD，MC，
∵AA1⊥平面ABC，AA1//MD，
∴MD⊥平面ABC，
∴MB，MC，MD两两垂直，
以M为原点，MB，MC，MD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空问直角坐标系M−xyz，

则M(0,0,0)，N(−12, 32,3),C1(0, 3,3),Q(−1,0,2)，
所以MN=(−12, 32,3),QC1=(1, 3,1)，
(1)由于cs〈MN,QC1>=MN⋅QC1|MN||QC1|=4 10× 5=2 25，
所以异面直线MN与QC1所成角的余弦值为2 25；
(2)因为MC⊥平面AA1B1B，所以平面AA1B1B的一个法向量为n=(0,1,0)，
则cs〈MN,n〉=MN⋅n|MN||n|= 321× 10= 3020，
设直线MN与平面AA1B1B所成角为θ，
则sinθ=|cs〈MN,n>|= 3020，
即直线MN与平面AA1B1B所成角的正弦值为 3020．
【解析】取A1B1的中点D，连接MD，MC，利用已知条件可证MB，MC，MD两两垂直，然后建系利用向量法即可求解(1)(2)．
本题考查了向量法在解决空间角上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由Sn+1+4Sn−1=5Sn(n≥2)得，Sn+1−Sn=4(Sn−Sn−1)(n≥2)，
即an+1=4an(n≥2)，
又∵a1=1，a2=4，
∴an+1=4an(n∈N*)，
即数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴an=1×4n−1=4n−1；
(2)由(1)知，Sn=1−4n1−4，Sn+1=1−4n+11−4，
则bn=an+1SnSn+1=4n1−4n1−4⋅1−4n+11−4=9×4n(4n−1)(4n+1−1)=3×(14n−1−14n+1−1)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=3×(141−1−142−1+142−1−143−1+…+14n−1−14n+1−1)=1−34n+1−1，
∴数列{bn}的前n项和Tn=1−34n+1−1．
【解析】(1)由Sn+1+4Sn−1=5Sn(n≥2)得，Sn+1−Sn=4(Sn−Sn−1)(n≥2)，即an+1=4an(n≥2)，进而证得数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
(2)由(1)知Sn=1−4n1−4，Sn+1=1−4n+11−4，则bn=an+1SnSn+1=3×(14n−1−14n+1−1)，再利用裂项相消法求和即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由短轴长为2，可得2b=2，即b=1，
将( 3,12)代入可得：3a2+14=1，解得a=2，
所以椭圆的方程为：x24+y2=1；
(2)显然直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x=my+1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=my+1x24+y2=1，整理可得：(4+m2)y2+2my−3=0，
可得y1+y2=−2m4+m2，y1y2=−34+m2，
因为OP⊥OQ，所以OP⋅OQ=0，
所以x1x2+y1y2=0，
即(my1+1)(my2+1)+y1y2=0，
即(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+1=0，
所以(1+m2)⋅−34+m2+m⋅−2m4+m2+1=0，
整理可得：m2=14，
解得m=±12，
所以直线PQ的方程为：x=±12y−1，
即2x±y+2=0．
【解析】(1)由短轴长，可得b的值，再将点的坐标代入椭圆的方程，可得a的值，进而求出椭圆的方程；
(2)由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，因为OP⊥OQ，所以OP⋅OQ=0，整理可得参数的值，即求出直线PQ的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，用向量的方法解决两条直线的垂直，属于中档题．
22.【答案】(1)解：由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，
即|QP|=|QF|，又因为PQ⊥l，即点Q到点F的距离与到直线l的距离相等，
设Q(x,y)，则|x+2|= (x−2)2+y2，
化简得y2=8x，
所以动点Q的轨迹C的方程为y2=8x(x≠0)．
(2)证明：设直线AB的方程为x=my+2，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+2y2=8x，得y2−8my−16=0，
由韦达定理可得y1+y2=8m，y1y2=−16，
又因为直线AO的方程为y=y1x1x=8y1x，
将y=y2代入，可得x=y1y28=−2，即点D(−2,y2)，
所以kDF=−y24，
因为AE⊥DF，则kAE=4y2，
所以直线AE的方程为y−y1=4y2(x−x1)，
联立y−y1=4y2(x−x1)y2=8x，
得y2−2y2y−8x1−32=0，则y1+yE=2y2，
故yE=2y2−y1，yG=y1+yE2=y2，
故G，B，D三点共线．
【解析】(1)由题意得点Q到点F的距离与到直线l的距离相等，设Q(x,y)，则|x+2|= (x−2)2+y2，化简可得结论；
(2)设直线AB的方程为x=my+2，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理求解即可．
本题考查抛物线的方程和性质，主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．