2024年高考数学重难点突破专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案147

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答案部分
2019年
1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：
甲：甲乙．
乙：丙乙且丙甲．
丙：丙乙．
因为只有一个人预测正确，
如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．
如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，
则有丙乙，乙甲，
因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确，
所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意．
所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，
甲乙，乙丙．
故选A．
2010-2018年
1．B【解析】解法一 因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
解法二 因为，，
所以，则，
又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
2．D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．
解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．
3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
4．A【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么
，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
5．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．
6．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．
7．D【解析】∵，，，，，，，∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记(,且)的末四位数字为，
则，∴与的末位数字相同，均为8 125，选D．
8．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。
9．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．
10．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则
①，所以，
②当时，，，，，不存在，不符合题意；
当时，，，，，不存在，不符合题意；
当时，，此时，，满足题意．
所以．
11．【解析】通过归纳可得结果为．
12． = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③【解析】对于①，令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故错误；对于②设是单位圆上的点，其“伴随点”为，则有，
所以，所以②正确；对于③设
的“伴随点”为，的“伴随点”
为，易知与关于轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为，其中不同时为0，且为该直线上一点，的“伴随点”为，其中都不是原点，且，则，，
将代入原直线方程，得，
则，由于的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．
13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的 卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．
14．．
【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是．
15．【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形中，斜边，所以，，，．
解法二 求通向：等腰直角三角形中，斜边，
所以，，
，故=
16．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，．综上符合条件的有序数组的个数是6．
17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．
18．【解析】由，得，
可得，故可归纳得．
19．【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得．
20．12－22+32－42+…+n2=·（n∈）
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12－22+32－42+…+=·（∈）．
21．1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，
22．【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为
．
23．（1）6；（2）
【解析】（1）当=16时，
，可设为，
，即为，
，即，
位于中的第6个位置；
（2）在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于中的第个位置上．
24． 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
…… …… ……
所以，
即
25．【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得=
26．962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故．取，则，，代入等式⑤得
，即（1）
取，则，，代入等式⑤得
即（2）
联立（1）（2）得，，所以=．
27．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当时，
，
因此，时，．
28．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
29．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，
假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
记函数
函数在上单调递增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因为
所以得
由得
所以
故
综上， ．