（全国通用）中考数学总复习 专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共39页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22673" 【考点1 方程的相关概念】 PAGEREF _Tc22673 \h 1
\l "_Tc13068" 【考点2 方程的解】 PAGEREF _Tc13068 \h 2
\l "_Tc22263" 【考点3 等式的性质】 PAGEREF _Tc22263 \h 2
\l "_Tc24076" 【考点4 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc24076 \h 3
\l "_Tc2433" 【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】 PAGEREF _Tc2433 \h 4
\l "_Tc14714" 【考点6 解二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc14714 \h 5
\l "_Tc30002" 【考点7 同解方程（组）】 PAGEREF _Tc30002 \h 5
\l "_Tc30475" 【考点8 解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc30475 \h 5
\l "_Tc19120" 【考点9 由实际问题抽象出一次方程】 PAGEREF _Tc19120 \h 6
\l "_Tc7077" 【考点10 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc7077 \h 6
\l "_Tc32460" 【考点11 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc32460 \h 7
\l "_Tc26158" 【考点12 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc26158 \h 8
【要点1 方程的相关概念】
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【考点1 方程的相关概念】
【例1】（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a−b−3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．29B．2C．32D．1
【变式1-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．4x−y=−1y=2x+3B．1x−1=y3x+y=0C．x−y=1xy=2D．x2−x−2=0y=x+1
【变式1-2】（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2−1=0C．x−y=1D．x+1y=1
【变式1-3】（2022·贵州·一模）已知关于x的方程k2−4x2+k−2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【考点2 方程的解】
【例2】（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【变式2-1】（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【变式2-2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是________．
【变式2-3】（2022·浙江·宁波外国语学校一模）若{x=ay=b是二元一次方程组{x+y=2x−y=4的解，则一次函数y=ax+b的图象不经过第________象限．
【要点2 等式的性质】
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc；ac=bc(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【考点3 等式的性质】
【例3】（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若−13x=6，则x=2
【变式3-1】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【变式3-2】（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（ ）
A．③④B．③⑥C．③⑤D．④⑤
【变式3-3】（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x=m，
等式两边都乘以x，得x2=mx．①
等式两边都减m2，得x2−m2=mx−m2．②
等式两边分别分解因式，得x+mx−m=mx−m．③
等式两边都除以x−m，得x+m=m．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【要点3 解方程的一般步骤】
1.解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
2、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【考点4 解一元一次方程】
【例4】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3x+1−1=2x−2①
去括号，得3x+3−1=2x−2②
移项，得3x−2x=−2−3+1③
合并同类项，得x=−4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式4-1】（2022·海南·中考真题）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5B．−5C．7D．−7
【变式4-2】（2022·云南昆明·二模）某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_________张．
【变式4-3】（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+#＝3时，发现正整数#被污染了；
(1)嘉淇猜#是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
【例5】（2022·江苏扬州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不对
【变式5-1】（2022·重庆南开中学三模）若关于x的方程|x|=ax+1只有一个负根，则a的取值范围是_．
【变式5-2】（2022·河北邢台·模拟预测）对关于x的方程x−1+x+2=a（1）
考虑如下说法：①当a取某些值时，方程（1）有两个整数解；
②对某个有理数a，方程（1）有唯一的整数解；
③当a不是整数时，方程（1）没有整数解；
④不论a为何值时，方程（1）至多有4个整数解．
其中正确的说法的序号是 __．
【变式5-3】（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知c为实数，讨论方程|x−1|−|x−2|+2|x−3|=c解的情况．
【考点6 解二元一次方程（组）】
【例6】（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7B．x+2x−2=7
C．x+x−1=7D．x+2x+2=7
【变式6-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：x−2y=312x+34y=134
【变式6-2】（2022·河北唐山·一模）对于任意的实数x，y，规定运算“※”如下：x※y=ax+by．
(1)当a=3，b=4时，求1※（−2）的值；
(2)若5※3=16，2※（−3）=−2，求a与b的值．
【变式6-3】（2022·四川绵阳·二模）若整数x，y满足方程组y−m=x2x−m=y2，且−2≤x≤4，x≠y，则m的最大值为（ ）
A．0B．-1C．-2D．-3
【考点7 同解方程（组）】
【例7】（2022·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组{2x+5y=−26ax−by=−4和{3x−5y=36bx+ay=−8有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式(2a+b)2020的值．
【变式7-1】（2022·上海杨浦·二模）若关于x的方程4m+x=20的解与方程2x−3=x+1的解相同，则m的值为 __．
【变式7-2】（2022·河北·模拟预测）若方程x+12−2x−15=0与方程x+6a−x2=a3的解相同，则a的值为( )
A．2116B．6316C．−2116D．−6316
【变式7-3】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，则关于x，y的方程组a1x−1+y=c1a2x−1+y=c2的解是__________．
【考点8 解三元一次方程组】
【例8】（2022·江苏南京·中考模拟）已知 {4x−3y−3z=0x−3y−z=0 ，那么x：y：z为（ ）
A．2：（﹣1）：3B．6：1：9C．6：（﹣1）：9D．23:(−19):1
【变式8-1】（2022·广东东莞·中考模拟）已知{x+4y−3z=04x−5y+2z=0，xyz≠0，求3x2+2xy+z2x2+y2的值．
【变式8-2】（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65．求代数式a＋b＋c的值．
【变式8-3】（2022·河北·模拟预测）设a1,a2,...,a2014是从1,0,−1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+...+a2014=69，(a1+1)2+(a2+1)2+...+(a2014+1)2=4001，则a1,a2,...,a2014中为0的个数_______．
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】
【例9】（2022·贵州六盘水·中考真题）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（ ）
A．26×340×60x=12000B．26×340x=12000
C．26×340x1000=12000D．26×340×60x1000=12000
【变式9-1】（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【变式9-2】（2022·山东日照·中考真题）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．y−x=4.52x−y=1 B．x−y=4.52x−y=1
C．x−y=4.5y2−x=1 D．y−x=4.5x−y2=1
【变式9-3】（2022·广东深圳·中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
A．5y−11=7x7y−25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y C．5x−11=7y7x−25=5yD．7x−11=5y5x−25=7y
【考点10 一元一次方程的应用】
【例10】（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25B．75C．81D．90
【变式10-1】（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的15，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【变式10-2】（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
【例11】（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（ ）
A．12B．16C．24D．26
【变式11-1】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式11-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式11-3】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【考点12 三元一次方程组的应用】
【例12】（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个，搭配为A，B，C三种礼盒各一个，其中A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋．经核算，A盒的成本为45元，B盒的成本为75元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则C盒的成本为______元．
【变式12-1】（2022·北京平谷·二模）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A、B两本书共花费100.5元，丽丽买了A、C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵___________元；若又知B、C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A、B、C三本书的总价钱为___________．
【变式12-2】（2022·重庆南开中学三模）端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”买的数量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了______元．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学三模）现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多______kg． 日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
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9
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20
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25
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27
28
29
30
5号电池（节）
7号电池（节）
总质量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96
专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22673" 【考点1 方程的相关概念】 PAGEREF _Tc22673 \h 1
\l "_Tc13068" 【考点2 方程的解】 PAGEREF _Tc13068 \h 3
\l "_Tc22263" 【考点3 等式的性质】 PAGEREF _Tc22263 \h 5
\l "_Tc24076" 【考点4 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc24076 \h 7
\l "_Tc2433" 【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】 PAGEREF _Tc2433 \h 9
\l "_Tc14714" 【考点6 解二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc14714 \h 12
\l "_Tc30002" 【考点7 同解方程（组）】 PAGEREF _Tc30002 \h 14
\l "_Tc30475" 【考点8 解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc30475 \h 17
\l "_Tc19120" 【考点9 由实际问题抽象出一次方程】 PAGEREF _Tc19120 \h 19
\l "_Tc7077" 【考点10 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc7077 \h 21
\l "_Tc32460" 【考点11 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc32460 \h 24
\l "_Tc26158" 【考点12 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc26158 \h 27
【要点1 方程的相关概念】
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【考点1 方程的相关概念】
【例1】（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a−b−3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．29B．2C．32D．1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义得出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值即可求出ab的值．
【详解】解：∵方程x2a−b−3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程
∴2a−b=1a+b=1
解得：a=23b=13
∴ab=23×13=29
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解答本题的关键．
【变式1-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．4x−y=−1y=2x+3B．1x−1=y3x+y=0C．x−y=1xy=2D．x2−x−2=0y=x+1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B、有一个方程不是整式方程，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”是解题的关键．
【变式1-2】（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2−1=0C．x−y=1D．x+1y=1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-3】（2022·贵州·一模）已知关于x的方程k2−4x2+k−2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵方程k2−4x2+k−2x=k+6是关于x的一元一次方程，
∴k2−4=0k−2≠0 ，
解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【考点2 方程的解】
【例2】（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
【变式2-1】（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【分析】先移项再合并同类项即可得结果；
【详解】解：3x＝2x＋7
移项得，3x-2x=7；
合并同类项得，x＝7；
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
【变式2-2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是________．
【答案】14
【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为2a+b2+22a+b−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=2a+b2+22a+b−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
【变式2-3】（2022·浙江·宁波外国语学校一模）若{x=ay=b是二元一次方程组{x+y=2x−y=4的解，则一次函数y=ax+b的图象不经过第________象限．
【答案】二
【分析】将x=a，y=b代入二元一次方程组求出a、b的值，再把a、b的值代入y=ax+b，得到一次函数解析式，根据a、b的符号判定一次函数图象不经过的象限．
【详解】∵{x=ay=b是二元一次方程{x+y=2x−y=4的解，
∴{a+b=2a−b=4，解得，{a=3b=−1，
∴y=3x-1，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一，三，四象限，
∴一次函数y=ax+b的图象不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了方程组的解，解方程组，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握方程组解的定义和性质，解方程组的一般方法，一次函数的性质．
【要点2 等式的性质】
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc；ac=bc(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【考点3 等式的性质】
【例3】（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若−13x=6，则x=2
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若a2=b2，则a=±b，故此选项错误；
C、若ac=bc，则a=b，故此选项正确；
D、若−13x=6，则x=−18，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
【变式3-1】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：I=UR去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
【变式3-2】（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（ ）
A．③④B．③⑥C．③⑤D．④⑤
【答案】D
【分析】根据第一次①+②比③+④重，可得③与④中至少有一个轻球，再由第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，可得⑤与⑥至少有一个轻球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，可得④是轻球，即可求解．
【详解】解：∵第一次①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，
∴④是轻球，
∴另一个轻球为⑤，
∴两个轻球的编号是④⑤．
故选：D
【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键．
【变式3-3】（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x=m，
等式两边都乘以x，得x2=mx．①
等式两边都减m2，得x2−m2=mx−m2．②
等式两边分别分解因式，得x+mx−m=mx−m．③
等式两边都除以x−m，得x+m=m．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以x−m，得x+m=m，前提必须为x−m≠0，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
【要点3 解方程的一般步骤】
1.解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
2、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【考点4 解一元一次方程】
【例4】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3x+1−1=2x−2①
去括号，得3x+3−1=2x−2②
移项，得3x−2x=−2−3+1③
合并同类项，得x=−4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得3x+1−6=2x−2①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
【变式4-1】（2022·海南·中考真题）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5B．−5C．7D．−7
【答案】A
【分析】根据代数式x+1的值为6列方程计算即可．
【详解】∵代数式x+1的值为6
∴x+1=6，解得x=5
故选：A
【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．
【变式4-2】（2022·云南昆明·二模）某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_________张．
【答案】18
【分析】根据摆放规律得出桌子数与座位数的关系式，进而求解即可．
【详解】解：设桌子数为n，根据桌子摆放的规律，可得座位数为2n+6，
∵学生人数为42人，且刚好坐满，
∴2n+6=42，解得：n=18，
∴需要桌子18张，
故答案为：18．
【点睛】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，理解题意，找到摆放规律是解答的关键．
【变式4-3】（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+#＝3时，发现正整数#被污染了；
(1)嘉淇猜#是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由题意得方程3x−12+2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得x=7−2m3，再根据解是正整数求解即可．
（1）
解：3x−12+2=3，
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）
解：设被污染的正整数为m，
则有3x−12+m=3，
解之得，x=7−2m3，
∵7−2m3是正整数，且m为正整数，
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
【例5】（2022·江苏扬州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据x的取值范围x≤0、0＜x≤4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义进行化简即可．
【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；
当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，
故选：C
【点睛】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据绝对值的意义进行化简是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·重庆南开中学三模）若关于x的方程|x|=ax+1只有一个负根，则a的取值范围是_．
【答案】a⩾1
【分析】分别确定x为正，x为负时a的取值，然后即可确定a的范围．
【详解】解：当x>0时，方程是：x=ax+1
解得：x=11−a，根据题意得：1−a>0，
解得：a<1，此时有正根，
则a⩾1时有负根，
当x<0时，−x=ax+1，
解得：x=−11+a，根据题意1+a>0，
解得：a>−1，
综上所述；a⩾1时，方程|x|=ax+1只有一个负根．
故答案是：a⩾1．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程的解法，正确去掉绝对值符号，是解题的关键．
【变式5-2】（2022·河北邢台·模拟预测）对关于x的方程x−1+x+2=a（1）
考虑如下说法：①当a取某些值时，方程（1）有两个整数解；
②对某个有理数a，方程（1）有唯一的整数解；
③当a不是整数时，方程（1）没有整数解；
④不论a为何值时，方程（1）至多有4个整数解．
其中正确的说法的序号是 __．
【答案】①③④
【分析】根据题意,当x⩽−2时；原式=1−x−x−2=a，即x=−a+12；当−2【详解】解：当x⩽−2时；原式=1−x−x−2=a，即x=−a+12；
当−2当x⩾1时；原式=x−1+x+2=a，即x=a−12；
∴①例如：a=5时，x=−5+12=−3或x=5−12=2，故当a取某些值时，方程有两个整数解，故①正确；
②例如：a=5时，x=−5+12=−3或x=5−12=2，对某个有理数a，方程的整数解不止一个，故②错误；
③∵x=−a+12或x=a−12，只有a+1与a−1为整数时，x才能为整数；即只有a为整数时，x才能为整数，故当a不是整数时，方程没有整数解，故③正确；
④∵当x⩽−2时，x=−a+12；当−2∴不论a为何值时，方程至多有4个整数解，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得x的值是解题的关键．
【变式5-3】（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知c为实数，讨论方程|x−1|−|x−2|+2|x−3|=c解的情况．
【答案】c⩾1方程有解，c<1方程无解
【分析】令x−1=0，x−2=0，x−3=0，得x=1，x=2，x=3，再分四段讨论解即可．
【详解】解：当x<1时，原方程为1−x−(2−x)+2(3−x)=c，
x=4−c2，
即4−c2＜1，
解得c＞2时有解，x=4−c2，否则无解；
当1⩽x<2时，原方程等价于x−1−(2−x)+2(3−x)=c，
c=3时，解为：1⩽x<2．否则无解；
当2⩽x<3时，原方程等价于x−1−(x−2)+2(3−x)=c，
x=7−c2，
即2⩽7−c2<3时有解，
解得1当x⩾3时，原方程等价于x−1−(x−2)+2(x−3)=c，
x=5+c2，
即5+c2⩾3时有解，此时：c⩾1，有解：x=5+c2，否则无解.
综上所述：c⩾1方程有解，c<1方程无解．
【点睛】本题主要考查了解含字母的一元一次方程，注意分段讨论，不能丢解．
【考点6 解二元一次方程（组）】
【例6】（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7B．x+2x−2=7
C．x+x−1=7D．x+2x+2=7
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
x+2(x−1)=x+2x−2=7，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：x−2y=312x+34y=134
【答案】x=5y=1
【分析】整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13②，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13②，
①×2−②得−7y=−7，
y=1，
把y=1代入①得x−2=3，
解得x=5，
∴方程组的解为x=5y=1.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
【变式6-2】（2022·河北唐山·一模）对于任意的实数x，y，规定运算“※”如下：x※y=ax+by．
(1)当a=3，b=4时，求1※（−2）的值；
(2)若5※3=16，2※（−3）=−2，求a与b的值．
【答案】(1)-5
(2)a的值为2，b的值为2
【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得关于a，b的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．
（1）
当a=3，b=4时，
∴1※（-2）
=3×1+4×（-2）
=3+（-8）
=-5，
∴1※（-2）的值为-5；
（2）
∵5※3=16，2※（-3）=-2，
∴5a+3b＝16①2a−3b＝−2②，
①+②得：2a+5a=14
解得a=2，
把a=2代入①得：10+3b=16，
解得b=2，
∴原方程组的解为a＝2b＝2，
∴a的值为2，b的值为2．
【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．
【变式6-3】（2022·四川绵阳·二模）若整数x，y满足方程组y−m=x2x−m=y2，且−2≤x≤4，x≠y，则m的最大值为（ ）
A．0B．-1C．-2D．-3
【答案】B
【分析】先解方程组得到y=−x−1，进而得出m关于x的二次函数m=−x2−x−1，改为顶点式，找出对称轴，再根据x的取值范围即可求出m的最大值．
【详解】解：y−m=x2①x−m=y2②
①-②得y−x=x2−y2，
∴y−x=(x+y)(x−y)，
∵x≠y，
∴x+y=y−xx−y=−1，
∴y=−x−1，
由①得m=y−x2，
将y=−x−1代入得，
m=−x2−x−1=−(x+12)2−34，
∴m关于x的函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为x=−12，
∴x=0或x=−1时，对应的m值相等，
∵−2≤x≤4且x是整数，
∴x=0或x=−1时，m取最大值，最大值mmax=−(0+12)2−34=−1，
故选B．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和求二次函数的最值，有一定难度，解题的关键时通过解方程组得到x与y的关系，进而得到m关于x的二次函数．
【考点7 同解方程（组）】
【例7】（2022·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组{2x+5y=−26ax−by=−4和{3x−5y=36bx+ay=−8有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式(2a+b)2020的值．
【答案】（1）{x=2y=−6；（2）1.
【分析】（1）由两个方程组同解可得{2x+5y=−263x−5y=36，解方程组可得答案；
（2）把{x=2y=−6代入两个系数未知的方程可得：{2a+6b=−42b−6a=−8，解方程组求解a,b的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：
{2x+5y=−26①3x−5y=36②
①+②得：5x=10,
∴x=2,
把x=2代入①得：4+5y=−26,
∴5y=−30,
∴y=−6,
所以这两个方程组的解是：{x=2y=−6.
（2）把{x=2y=−6代入可得：
{2a+6b=−4③2b−6a=−8④，
③×3+④得：20b=−20,
∴b=−1,
把b=−1代入③得：2a−6=−4,
∴a=1,
所以：{a=1b=−1,
∴(2a+b)2020=(2−1)2020=1.
【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-1】（2022·上海杨浦·二模）若关于x的方程4m+x=20的解与方程2x−3=x+1的解相同，则m的值为 __．
【答案】4
【分析】解方程2x−3=x+1得x=4，把x=4代入4m+x=20即可求解．
【详解】解：2x−3=x+1，解得x=4，
∵方程4m+x=20的解与方程2x−3=x+1的解相同，
∴x=4是方程4m+x=20的解，
把x=4代入方程4m+x=20，
∴4m+4=20，解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程是解题的关键．
【变式7-2】（2022·河北·模拟预测）若方程x+12−2x−15=0与方程x+6a−x2=a3的解相同，则a的值为( )
A．2116B．6316C．−2116D．−6316
【答案】A
【分析】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程,根据这一定义，可先解第一个方程，将解代入第二个方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：解方程：
x+12−2x−15=0，得x=−7．
把x=−7代入方程x+6a−x2=a3，得
−7+6a+72=a3，
解得a=2116．
故选A.
【点睛】本题考查了解一元一次方程，利用了同解方程的定义得出关于a的一元一次方程是解题关键．
【变式7-3】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，则关于x，y的方程组a1x−1+y=c1a2x−1+y=c2的解是__________．
【答案】x=6y=10
【分析】根据题意得到5a1+10=c15a2+10=c2，结合a1x−1+y=c1a2x−1+y=c2的形式得到x−1=5y=10，从而求解．
【详解】解：∵方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，
∴5a1+10=c15a2+10=c2，
∴由方程组a1x−1+y=c1a2x−1+y=c2可得：x−1=5y=10，
∴a1x−1+y=c1a2x−1+y=c2的解为：x=6y=10，
故答案为：x=6y=10．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．同时考查了二元一次方程组的解的求法．
【考点8 解三元一次方程组】
【例8】（2022·江苏南京·中考模拟）已知 {4x−3y−3z=0x−3y−z=0 ，那么x：y：z为（ ）
A．2：（﹣1）：3B．6：1：9C．6：（﹣1）：9D．23:(−19):1
【答案】C
【详解】分析：将z看成已知数，表示出x与y，即可求出x：y：z．
详解：方程组整理得：4x−3y＝3z①x−3y＝z②,
①-②得：3x=2z，即x=23z，
将x=23z代入②得：y=-19z，
则x：y：z=23z：（-19z）：z=6：（-1）：9．
故选C．
点睛：此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是将z看着已知数．
【变式8-1】（2022·广东东莞·中考模拟）已知{x+4y−3z=04x−5y+2z=0，xyz≠0，求3x2+2xy+z2x2+y2的值．
【答案】165
【分析】将z看作常数解方程组得{x=13zy=23z，再代入分式计算可得．
【详解】解：由题意知{x+4y=3z①4x−5y=−2z②，
①×4−②，得：21y=14z，y=23z，
将y=23z代入①，得：x+83z=3z，x=13z；
所以方程组的解为{x=13zy=23z，
将x、y代入得：
原式=3×(13z)2+2×13z×23z+z2(13z)2+(23z)2
=169z259z2
=165．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化、完全平方公式及解三元一次方程组．
【变式8-2】（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65．求代数式a＋b＋c的值．
【答案】6
【分析】先将每个等式求倒数，然后组成方程组1a+1b=32①1a+1c=43②1b+1c=56③，用(①+②+③)÷2得
1a+1b+1c=116④，然后用④分别减①②③求解即可．
【详解】解：∵aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65，
∴1a+1b=32，1a+1c=43，1b+1c=56，
∴1a+1b=32①1a+1c=43②1b+1c=56③，
(①+②+③)÷2得：
1a+1b+1c=116④，
④-①得1c=116−32=13，解得c=3，
④-②1b=116−43=12，解得b=2，
④-③1a=116−56=1，解得a=1，
∴a＋b＋c=1+2+3=6．
【点睛】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键．
【变式8-3】（2022·河北·模拟预测）设a1,a2,...,a2014是从1,0,−1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+...+a2014=69，(a1+1)2+(a2+1)2+...+(a2014+1)2=4001，则a1,a2,...,a2014中为0的个数_______．
【答案】165．
【详解】试题分析：首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组{x+y+z=20141⋅x+(−1)⋅y+0⋅z=6912x+(−1)2y+02z+2152=4001，解方程组即可确定正确的答案．
试题解析：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014
=a12+a22+…+a20142+2×69+2014
=a12+a22+…+a20142+2152，
设有x个1，y个-1，z个0
{x+y+z=20141⋅x+(−1)⋅y+0⋅z=6912x+(−1)2y+02z+2152=4001
化简得x-y=69，x+y=1849，
解得x=959，y=890，z=165
∴有959个1，890个-1，165个0，
考点：规律型：数字的变化类．
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】
【例9】（2022·贵州六盘水·中考真题）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（ ）
A．26×340×60x=12000B．26×340x=12000
C．26×340x1000=12000D．26×340×60x1000=12000
【答案】D
【分析】结合单位的换算，根据路程=速度×时间建立方程即可得．
【详解】解：因为1分钟=60秒，1公里=1000米，
所以可列方程为26×340×60x1000=12000，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
【变式9-1】（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【答案】5x+45=7x-3
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【变式9-2】（2022·山东日照·中考真题）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．y−x=4.52x−y=1 B．x−y=4.52x−y=1
C．x−y=4.5y2−x=1 D．y−x=4.5x−y2=1
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得y−x=4.5x−y2=1．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【变式9-3】（2022·广东深圳·中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
A．5y−11=7x7y−25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y C．5x−11=7y7x−25=5yD．7x−11=5y5x−25=7y
【答案】C
【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据题意得：
5x−11=7y7x−25=5y．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【考点10 一元一次方程的应用】
【例10】（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25B．75C．81D．90
【答案】B
【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人均户数+13×城中人均户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+13x=100，
解得：x=75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的15，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【答案】C
【分析】设这批树苗一共有x棵，根据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，列出方程求解即可．
【详解】解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：35x=300，
解得x=500，
∴七年级2班植树的棵数是500×15=100棵，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
【变式10-2】（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
【答案】不能，理由见解析，为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件
【分析】设10日开始每天生产量为x件，根据题意列出一元一次方程，继而根据，如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，列出一元一次不等式，求得从20日开始每天的生产量至少达到130件，即可求解．
【详解】解：设10日开始每天生产量为x件，
根据题意，得3x+25+6x=3830−2855．
解得，x=100．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为900+3830=4730<5000，所以不能按期完成订单，
由5000−3830÷9=130，
所以为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
【变式10-3】（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
（1）
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）
①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
【例11】（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（ ）
A．12B．16C．24D．26
【答案】C
【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案．
【详解】解：设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，
根据表格得2x+2y=72①3x+2y=96② ,
由②-①得x=24，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解本题的关键．
【变式11-1】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-34x．
又∵x，y均为正整数，
∴x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16y=6或x=20y=3，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
【变式11-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】C
【分析】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，8x+10y=200，
∵x、y都为正整数，
∴解得x=20y=4，x=15y=8，x=10y=12，x=5y=16，
∴一共有4种分装方式；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．
【变式11-3】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550 解得a=50b=100
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100y=10000
变形得y=100−12x
由题意得：x≥6100−12x①100−12x≥20②
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W=20x+30y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
【考点12 三元一次方程组的应用】
【例12】（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个，搭配为A，B，C三种礼盒各一个，其中A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋．经核算，A盒的成本为45元，B盒的成本为75元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则C盒的成本为______元．
【答案】45
【分析】根据题意确定B礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出方程组，进而可求C盒的成本．
【详解】解：∵甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个；A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋，
∴B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22−2+3+1−1+3+2=10（个），
∵B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2，
∴B盒中有肉馅粽10×12=5（个），
甜味粽有5×33+2=3（个），
咸鸭蛋有10−5−3=2（个）；
设甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本价分别为a元，b元，c元，则C盒的成本为a+3b+2c元，依题意得：
2a+3b+c=45①3a+5b+2c=75②
3×②－4×①，得：
33a+5b+2c−42a+3b+c=3×75−4×45，
∴a+3b+2c=45，
∴C盒的成本为45元．
故答案为：45．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．解题关键是根据题目信息求出B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的数量从而列出代数式表示C盒的成本，并根据题意列出方程组．
【变式12-1】（2022·北京平谷·二模）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A、B两本书共花费100.5元，丽丽买了A、C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵___________元；若又知B、C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A、B、C三本书的总价钱为___________．
【答案】 12 126
【分析】设A、B、C书的单价分别是x、y、z元，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】设A、B、C书的单钱分别是x、y、z元，根据题意可得：
x+y=100.5x+z=88.5
∴y−z=12（元），
即B书比C书贵12元，
∵y+z=x，
∴x+y=100.5x+z=88.5y+z=x
整理得：3x=189，
解得：x=63，
∴y−z=12y+z=63
解得：y=37.5z=25.5
∴A、B、C三本书的总价钱为x+y+z=63+37.5+25.5=126（元），
故答案为：12；126．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组．
【变式12-2】（2022·重庆南开中学三模）端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”买的数量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了______元．
【答案】47
【分析】设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，根据题意列三元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，
∴甲比乙多购买的粽子为：“我最出粽”y个+“年年高粽”z个，
乙比丙多购买的粽子为：“情有独粽”x个+“年年高粽”z个，
甲比丙多购买的粽子为：“情有独粽”x个+“我最出粽”y个，
∴8y+9z=86−1007x−9z=100−977x+8y=86−97
∵每个人购买的每种粽子均不超过10个，即−10≤x≤10−10≤y≤10−10≤z≤10
∴8y+9z=86−100的解为：y=5，z=−6或y=−4，z=2
7x+8y=86−97的解为：x=3，y=−4或x=5，y=3
∴x=3y=−4z=2
∴丁花了：86−7x+9z=47元
故答案为：47．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是熟练掌握三元一次方程组的性质，从而完成求解．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学三模）现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多______kg．
【答案】102
【分析】由题意可设设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，根据题意，利用溶质质量溶液质量=浓度，溶质质量=浓度×溶液质量列出两个等量关系，在利用等量关系即可求得3x+z−4y的值，即可求得答案．
【详解】解：由A、B、C三个容器三种盐水的浓度之比为1:2:3，设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，由题意得，
20⋅k+10⋅3k+y⋅2ky+30=3k⋅(z−10)+k⋅(x−20)x+z−30，
整理得2y+50y+30=x+3z−50x+y−30，
交叉相乘得(2y+50)⋅(x+y−30)=(y+30)⋅(x+3z−50)，
去括号得2xy+2yz−60y+50x+50z−150=xy+3yz−50y+30x+90z−150，
整理得20x−10y−40z+xy−yz=0①，
又3k⋅(z+25)=3k⋅(x−5)，即x−z=30②，
由①式和 ②式可得，
20x−10y−40z+xy−yz
=20(x−z)−10y−20z+y(x−z)
=60−10y−20z+30y
=20y−20z+60
=20(y−z)+60=0，
得z−y=3，
则3x+z−4y=3x−3z+3z+z−4y=3(x−z)+4(z−y)=90+12=102，
故答案为：102．
【点睛】本题考查了方程的实际应用、已知式子的值求代数式的值问题，解题的关键根据溶质质量溶液质量=浓度，溶质质量=浓度×溶液质量公式找出等量关系列出方程求解． 日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
5号电池（节）
7号电池（节）
总质量（克）
第一天
2
2
72
第二天
3
2
96