【中考专题】专题05 一次方程（组）及其应用（全国通用）（原卷版）

专题二  方程与不等式

01  一次方程（组）及其应用

考点1：方程解的应用

典例1-1：关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式1】若x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（　　）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【变式2】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．

【变式3】若是二元一次方程组的解，则一次函数的图象不经过第________象限

考点2：等式的性质

性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。

性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

典例2：设x，y，c是实数，（　　）

A．若x=y，则x+c=y-c B．若x=y，则xc=yc

C．若x=y，则                      D．若  ，则2x=3y

【变式1】推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令，

等式两边都乘以x，得．①

等式两边都减，得．②

等式两边分别分解因式，得．③

等式两边都除以，得．④

等式两边都减m，得x＝0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

【变式2】在如图解分式方程：的4个步骤中，根据等式基本性质的是（    ）

A．①③ B．①② C．②③ D．①④

【变式3】（2022·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

考点3：解一元一次方程

（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．

（2）理论根据和注意点

①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；

②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；

③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；

④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变

典例3：在解方程 =时，方程两边同时乘以6，正确的是（    ）

A．2x-1+6x=3（3x+1） B．2（x-1）+6x=3（3x+1）

C．2（x-1）+x=3（3x+1） D．（x-1）+x=3（x+1）

【变式1】小明解方程的步骤如下：

解：方程两边同乘6，得①

去括号，得②

移项，得③

合并同类项，得④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【变式2】设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算，则满足等式的x的值为___________

【变式3】嘉淇在解关于x的一元一次方程☆＝3时，发现正整数☆被污染了；

(1)嘉淇猜☆是2，请解一元一次方程；

(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？

考点4：一次方程的实际应用

步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）

关键点：确认等量关系；常见的等量关系：

①行程问题基本等量关系：

路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。

顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）

②工程问题：

工作总量=工作时间×工作效率。

③配套问题：

实际生产比＝配套比。

④商品销售问题：

利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%

总利润＝单利润×数量

现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）

现数量＝原数量－（原数量＋）

⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。

⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，

                                      原数×（1－下降率）＝总数。

典例4：我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程（    ）

A． B．

C． D．

【变式1】《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．

【变式2】闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（    ）

A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120

C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120

【变式3】《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（　　）

A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x

C．240（x+12）＝150x D．240x＝150（x﹣12）

【变式4】我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为___________．

【变式5】（2022·陕西师大附中模拟预测）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“农妇家一共来了多少客人”？

考点5：解二元一次方程组

解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．

典例5：解方程组：（代入消元和加减消元）

【变式1】解方程组：．

小海同学的解题过程如下：

解：由②，得③……（1）

把③代入①，得：……（2）

解得：……（3）

把代入③，得……（4）

∴此方程组的解为……（5）

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．

【变式2】若方程组的解是，则方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【变式3】已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=　    　．

考点6：方程组的实际应用

一般步骤

（1）审题；

（2）设元；

（3）找出能够包含未知数的等量关系；

（4）列出方程(组)；

（5）求出方程(组)的解；

（6）检验并作答．

典例6：某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【变式1】国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【变式2】某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．

(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？

(2)学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？

(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

【变式3】某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．

（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？

巩固训练

一、选择题

1．(2022·白银)已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(　　)

A.＝        B．2a＝3b

C.＝        D．3a＝2b

2．(2022·天津)方程组的解是 (　　)

A.    B.    C.    D.

3. (2022·恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店(　　)

A．不盈不亏      B．盈利20元

C．亏损10元      D．亏损30元

4．(2022·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则(　　)

A．x－y＝20      B．x＋y＝20

C．5x－2y＝60     D．5x＋2y＝60

5．(2022·泰安)夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为(　　)

A.     B.

C.   D.

6．(2022·龙岩质检)我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车有x辆，根据题意，可列出的方程是(　　)

A．3x－2＝2x＋9      B．3(x－2)＝2x＋9

C.＋2＝－9      D．3(x－2)＝2(x＋9)

7．(2022·泉州质检)在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是(　　)

A．8x－3＝7x＋4      B．8(x－3)＝7(x＋4)

C．8x＋4＝7x－3      D.x－3＝x＋4

8．(2022·邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是(　　)

A．大和尚25人，小和尚75人       

B．大和尚75人，小和尚25人

C．大和尚50人，小和尚50人      

D．大、小和尚各100人

二、填空题

9．(2022·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为________．

10.(2022·雅安)若关于x、y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是，则a＝______．

11．(2022·宁波)已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为__________.

12．(2022·随州)已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝______．

三、解答题

13．(2022·泉州质检)解方程：－＝1.

14．(2022·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：

今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？

大意为：

今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？

请解答上述问题．

15．(2022·福州质检)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置完成的．如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是请你根据图②所示的算筹图，列出方程组，并求解．

16.(2022·黄冈)在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多少千克．

17．(2022·扬州)对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下： a⊗b＝2a＋b.例如 3⊗4＝2×3＋4＝10.

(1)求2⊗(－5)的值；

(2)若x⊗(－y)＝2且2y⊗x＝－1，求x＋y的值．

18．(2022·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需

5 200元．

(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？